Polinoms — definīcija, īpašības un piemēri

Polinoms — skaidra definīcija, galvenās īpašības un praktiski piemēri algebrā. Uzzini, kā atpazīt polinomus un lietot tos vienādojumos, funkcijās un risināšanā.

Polinoms ir matemātiska izteiksme. Tā ir vairāku matemātisku locekļu summa. Katrs termins ir monomāls, t. i., tas ir skaitlis, mainīgais vai vairāku mainīgo reizinājums. Ja redzat algebrisku izteiksmi, kurā burti sajaukti ar cipariem un aritmētiskiem skaitļiem, piemēram, 7x⁴-3x³+19x²-8x+197, pastāv liela iespēja, ka tas ir polinoms. Matemātiķi, zinātnieki un inženieri izmanto polinomus, lai risinātu problēmas. Polinomus māca algebrā, kas ir ievadkurss visos tehniskajos priekšmetos.

Algebrā, kad redzat burtus, ciparus un aritmētiskos simbolus, tiek saprasts, ka burti apzīmē mainīgos lielumus, kas ir vai nu vēl nezināmi skaitļi, vai arī skaitļi, kas mainās problēmas risināšanas gaitā, piemēram, laiks. Polinoms ir algebriska izteiksme, kurā vienīgā aritmētiskā darbība ir saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un veselu skaitļu eksponenti. Ja tiek izmantotas grūtākas darbības, piemēram, dalīšana vai kvadrātsaknes, tad šī algebriskā izteiksme nav polinoms. Polinomus bieži vien ir vieglāk lietot nekā citas algebriskās izteiksmes.

Polinomus bieži izmanto, lai veidotu polinomu vienādojumus, piemēram, vienādojumu 7x⁴-3x³+19x²-8x+197 = 0, vai polinomu funkcijas, piemēram, f(x) = 7x⁴-3x³+19x²-8x+197.

Definīcija un būtiskie noteikumi

Polinoms vienā mainīgajā ir izteiksme veidā a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, kur katrs a_i ir skaitlis (koeficients) un katra eksponenta i vērtība ir vesels nenegatīvs skaitlis. Tas nozīmē, ka eksponenti var būt 0, 1, 2, ... un nevar būt negatīvi, frakcionāri vai mainīgas funkcijas (piem., saknes vai dalījumi).

Pamata elementi

• Monomāls (terms) — viens polinoma loceklis, piemēram, 3x² vai -5x.
• Koeficients — skaitlis, kas reizināts ar mainīgo, piemēram, 3 polinomā 3x².
• Pakāpe (deg) — monomāla eksponents (vai polinoma pakāpe ir lielākais eksponents, kam ir nenulles koeficients).
• Vadošais koeficients — koeficients pie visaugstākās pakāpes.
• Nulelais polinoms — polinoms, kurš visi koeficienti ir 0; tā pakāpe tehniski nav noteikta.

Pakāpe un klasifikācija pēc pakāpes

Polinomu klasificē pēc augstākās pakāpes:

• Konstants (pakāpe 0): piemērs 5.
• Lineārs (pakāpe 1): piemērs 2x + 3.
• Kvadrātiska (pakāpe 2): piemērs x² − 4x + 4.
• Kubiska (pakāpe 3): piemērs x³ − 2x² + x − 1.
• Kvartiska (pakāpe 4): piemērs 7x⁴ − 3x³ + 19x² − 8x + 197 (kā dotais).

Pamatdarbības ar polinomiem

Polinomiem var veikt pamatdarbības, un rezultāts bieži ir atkal polinoms:

• Saskaitīšana/Atņemšana — saskaita/atņem tikai līdzīgus locekļus (tos pašus eksponentus). Piemērs: (3x² + 2x) + (x² − 4x + 1) = 4x² − 2x + 1.
• Reizināšana — reizinot monomālus, reizinām koeficientus un saskaitām eksponentus: (2x³)·(3x²) = 6x⁵. Piemērs ar polinomiem: (x + 2)(x² − x + 3) = x³ − x² + 3x + 2x² − 2x + 6 = x³ + x² + x + 6.
• Pakāpju celšana — pacelšana veselā skaitļa pakāpē; rezultāts ir polinoms (izmantojot binomiālo teorēmu, ja nepieciešams).
• Dalīšana — dalot vienu polinomu ar otru, var iegūt kvocientu un atlikušu daļu; nav garantēts, ka dalījums ir polinoms bez atlikuma (izņemot gadījumus, kad dalītājs dalās precīzi).

Novērtēšana, saknes un faktorizācija

Polinoma novērtēšana nozīmē aizvietot mainīgo ar konkrētu skaitli un aprēķināt vērtību. Piemēram, lai novērtētu f(x) = 7x⁴ − 3x³ + 19x² − 8x + 197 pie x = 1, iegūst f(1) = 7 − 3 + 19 − 8 + 197 = 212.

Sakne (nula) vai root ir x vērtība, pie kuras polinoms kļūst par nulli. Piemērs: polinoms x² − 5x + 6 = 0 ir faktorizējams kā (x − 2)(x − 3), tāpēc saknes ir x = 2 un x = 3.

Faktorizācija sadala polinomu reizinājuma veidā. Faktorizācija palīdz atrast saknes, vienkāršot izteiksmes un risināt vienādojumus.

Fundamentālā algebras teorēma saka, ka katram nenulles kompleksam polinomam pakāpes n ir tieši n kompleksas saknes, skaitot multiplicitāti.

Daudzmainīgie polinomi

Pastāv arī polinomi vairākos mainīgajos, piemēram, P(x,y) = 3x²y − 2xy² + 7. Šādos gadījumos katram monomālam pakāpe ir mainīgo eksponentu summa un parastie noteikumi par saskaitīšanu un reizināšanu paliek spēkā.

Lietojums

Polinomi ir plaši izmantojami matemātikā, fizikā, inženierzinātnēs un datu zinātnē. Dažas lietojuma jomas:

• modeļu izteikšana un aproksimācija (Taylor un Maclaurin rindas);
• vienādojumu risināšana un raksturvērtību aprēķins lineārajā algebrā;
• krāsu un signālu modelēšana inženierijā;
• numeriskās metodes un optimizācija;
• kriptogrāfijas un skaitliskās metodes teorētiskie piemēri.

Vairāki vienkārši piemēri kopsavilkumā

• Saskaitīšana: (x² + 3x + 2) + (2x² − x − 5) = 3x² + 2x − 3.
• Reizināšana: (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2.
• Faktorizācija: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
• Novērtēšana: f(x) = x³ − 2x; f(2) = 8 − 4 = 4.

Ja vēlaties, varu pievienot papildu piemērus ar soli-pa-solim izklāstu, izskaidrot polinomu dalīšanu ar dalītāju vai parādīt, kā atrast reālās un kompleksās saknes konkrētam polinomam.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir polinoms?

J: Kā matemātiķi, zinātnieki un inženieri izmanto polinomus?

J: Kādas darbības var izmantot algebriskā izteiksmē, lai to padarītu par polinomu?

J: Kāda veida vienādojumus var veidot, izmantojot polinomus?

J: Kādu priekšmetu ir jāpārzina, lai varētu strādāt ar polinomiem?

Meklēt pēc burta