Hilberta problēmas — 1900. gadā publicēts 23 matemātikas problēmu saraksts
Hilberta problēmas (1900): 23 ietekmīgas neatrisinātas matemātikas mīklas, to risinājumu vēsture, mūsdienu nozīme un saikne ar Tūkstošgades problēmām. Uzzini vairāk.
1900. gadā matemātiķis Deivids Hilberts Parīzes konferencē publicēja sarakstu ar 23 neatrisinātām matemātiskām problēmām, kas bija domātas, lai virzītu matemātikas pētījumus 20. gadsimtā. Šis problēmu saraksts izrādījās ārkārtīgi ietekmīgs — tas noteica daudzu nozaru attīstības virzienus un motivēja virkni teorētisku atklājumu un jaunu metožu izstrādi. Pēc Hilberta nāves viņa piezīmēs tika atrasta vēl viena problēma, ko mūsdienās dažkārt dēvē par Hilberta 24. problēmu; tā attiecas uz kritēriju atrašanu, lai pierādītu, ka pierādījums ir visvienkāršākais iespējamais un ka nav lieku vai sarežģītu soļu.
Vēsture un nozīme
Hilberta 23 problēmas tika izvirzītas 1900. gada starptautiskā matemātiķu kongresa runā un kalpoja gan kā iedvesmas avots, gan darba programma daudzām nākamajām paaudzēm. Dažas no tām sneloma vairākus pavērsienus matemātikā — piemēram, darbības loģikā, skaitļu teorijā, topoloģijā un analīzē — un noveda pie jauniem rīkiem, piemēram, loģikas formalizācijām, topoģiskām metodēm un skaitļu teorijas tehnoloģijām.
Izcili piemēri un to risinājumi
- 1. problēma — Kontinua hipotēze: jautājums par to, vai pastāv kopas izmēra starpība starp naturālo skaitļu un reālo skaitļu kopu. Kurt Gēdel (Gödel) parādīja, ka Kontinua hipotēze nevar tikt pierādīta no ZF aksiomām, bet Pauls Koens (Cohen) vēlāk pierādīja, ka to nevar arī noliegt — tātad tā ir neatkarīga no plaši pieņemtā Zermelo–Fraenkel aksiomu kopas ar izvēles aksiomu (ZFC).
- 2. problēma — Aritmētikas konsekvence: Hilberta programma centās pierādīt matemātikas pamatu nesaistāmību ar finītu metodēm. Kurt Gēdeles nepilnības teoremas (1931) parādīja, ka šādas cerības ir ierobežotas — ierobežotas sistēmas nevar paša iekšienē pilnībā pierādīt savu konsekvenci, ja tās spēj izteikt pietiekami daudz aritmētikas.
- 3. problēma — Skarības (scissors) kongruence: Maks Dehns (Max Dehn) ātri atrisināja šo problēmu, parādot, ka divas poliedra formas ne vienmēr var tikt sadalītas un pārgrupētas vienu no otras, ja tām ir atšķirīgs tā sauktais Dehns invariants.
- 5. problēma — Lie grupu regularitāte (Hilberta 5.): jautājums, vai lokāli kompaktas grupa, kas ir topoloģiski grupa un manifolde, ir gluda Lie grupa. Šo problēmu 20. gadsimta vidū atrisināja vairāki matemātiķi, tostarp Gleasons, Montgomery, Zippin un Yamabe, izstrādājot pilnīgu teoriju par šādu grupu struktūru.
- 7. problēma — Transcendences jautājumi: Hilberts jautāja par skaitļu veidiem, piemēram, vai a^b (kur a ir algebraiska, nevienādā 0 vai 1, un b ir algebraisks nepāra skaitlis) var būt algebrisks. Gelfonds un Šneideris (Gelfond–Schneider teorema, 1934) atrisināja šo konkrēto jautājumu, pierādot, ka šāds izteiciens ir transcendents.
- 8. problēma — Primstskaitļu izplatība un Rimana hipotēze: Hilberts iekļāva jautājumus par primu skaitļu izplatību un saistītajām analītiskajām problēmām, no kurām pati Rimana hipotēze paliek neatrisināta un joprojām ir viens no centrālajiem nezināmajiem matemātikā. Problemen aptver arī Goldbaha hipotēzi — par šo jautājumu ir panākta virkne daļēju rezultātu, bet pilnīgs risinājums nav atrasts.
- 10. problēma — Diofantiskas vienādojumu izšķiršana: jautājums, vai eksistē algoritms, kas izlems, vai dotajam diofantiskam multivariālam polinomam ir veselu skaitļu risinājums. Šo problēmu negatīvi atrisināja Matijaševiča (1970), papildinot darbu ar Davis, Putnam un Robinson — viņi parādīja, ka nav algoritma, kas atrisinātu vispārējo diofantisko jautājumu (t.i., problēma ir nealgoritmizējama/neviennozīmīgs).
- 13. problēma — Septītās pakāpes vienādojumi: Hilberts jautāja par tā saukto 13. problēmu (kuras formulācija ietvēra arī jautājumu par septīto pakāpes vienādojumu risināšanu ar superpozīciju). Kolmogorovs un Arnolds pierādīja, ka jebkuru daudzmainīgā kontinūta funkciju var izteikt kā dažādu divmainīgu funkciju kompozīciju, kas sniedza negaidītu pozitīvu risinājumu nepārtrauktības kategorijā; tomēr jautājums par ģeometrisku/algebrisku versiju paliek niansēts.
Problēmu statuss un ietekme
Dažas no Hilberta problēmām tika pilnībā atrisinātas, citas — daļēji; vēl dažas izrādījās neatrisināmas attiecībā uz pieņemtajiem aksiomu kopumiem vai parādījās neatkarīgas no tiem. Turklāt daudzas problēmas izraisīja jaunu apakšnozaru attīstību vai radīja rīkus, kas vēlāk tika pielietoti citur matemātikā un informātikā (piemēram, loģikas, teorijas par lēmumu sarežģītību un skaitļu teorijas metodes).
Īsi sakot, Hilberta 23 problēmas nav tikai atsevišķu jautājumu kopums — tās bija stratēģiska programa, kas virzīja pētījumus un definēja virzienus daudziem svarīgiem atklājumiem 20. gadsimtā. Šīs ietekmes dēļ Klejs Matemātikas institūts 2000. gadā publicēja savu sarakstu ar mūsdienu „lielajām” problēmām — Tūkstošgades balvas problēmām —, kas tajā brīdī pildīja līdzīgu funkcionālu lomu mūsdienu matemātikas kopienā.
Piezīmes par Hilberta 24. problēmu
Hilberta 24. problēma, kas atklāta vēlāk Hilberta piezīmēs, vērš uzmanību uz pierādījumu vienkāršošanas un optimizācijas jautājumiem: meklēšanas kritērijiem, kas ļautu noteikt, vai kāds pierādījums ir „visvienkāršākais” vai „bez liekiem soļiem”. Lai gan šī problēma netika iekļauta sākotnējā 23 punktu sarakstā, tā tomēr atspoguļo Hilberta interesi par matemātikas metamatemātiku un efektivitāti.
Ja lasītājam interesē padziļinātāka informācija par konkrētu Hilberta problēmu, to vēsturisko attīstību un galvenajiem risinājumiem vai daļējiem risinājumiem, var piedāvāt detalizētāku pārskatu par katru no šīm problēmām un nozīmīgākajiem ar tām saistītajiem rezultātiem.
Kopsavilkums
Dažu problēmu formulējums ir labāks nekā citu problēmu formulējums. No tīri formulētajām Hilberta problēmām 3., 7., 10., 11., 13., 14., 17., 19., 20. un 21. problēma ir atrisināta vienprātīgi. No otras puses, 1., 2., 5., 9., 15., 18.+ un 22. problēmai ir risinājumi, kas ir daļēji pieņemti, bet pastāv domstarpības par to, vai tas atrisina problēmu.
Risinājumā 18. uzdevumam, Keplera hipotēzei, ir izmantots datorizēts pierādījums. Tas ir strīdīgs, jo cilvēks lasītājs nespēj pārbaudīt pierādījumu saprātīgā laikā.
Atliek 16, 8 (Rīmana hipotēze) un 12 neatrisināti. Šajā klasifikācijā 4, 16 un 23 ir pārāk neskaidri, lai tos varētu raksturot kā atrisinātus. Šajā klasē būtu arī izņemtais 24. jautājums. 6 ir uzskatāma par fizikas, nevis matemātikas problēmu.
Problēmas tabula
Hilberta divdesmit trīs problēmas:
| Problēma | Īss skaidrojums | Statuss | Atrisināts gads |
| 1. | Nepārtrauktības hipotēze (t. i., nav kopas, kuras kardinālums būtu stingri starp veselu skaitļu un reālo skaitļu kardinālumu). | Pierādīts, ka ir neiespējami pierādīt vai atspēkot Zērmela-Frenkela kopu teorijā ar vai bez izvēles aksiomas (ar nosacījumu, ka Zērmela-Frenkela kopu teorija ar vai bez izvēles aksiomas ir konsekventa, t.i., tajā nav divu tādu teorēmu, no kurām viena ir otras noliegums). Nav vienprātības par to, vai tas ir problēmas risinājums. | 1963 |
| 2. | Pierādiet, ka aritmētikas aksiomas ir konsekventas. | Nav vienprātības par to, vai Gēdela un Gencena rezultāti dod Hilberta formulētās problēmas risinājumu. Gēdela otrā nepilnības teorēma, kas tika pierādīta 1931. gadā, parāda, ka tās konsekvences pierādījumu nevar veikt pašā aritmētikā. Gencena konsekvences pierādījums (1936) parāda, ka aritmētikas konsekvence izriet no kārtas ε0 . | 1936? |
| 3. | Vai, ņemot divus vienāda tilpuma daudzstūrus, pirmo vienmēr ir iespējams sagriezt galīgi daudzos daudzstūra gabalos, kurus var atkal salikt, lai iegūtu otro? | Atrisināts. Rezultāts: nē, pierādīts, izmantojot Dehna invariantus. | 1900 |
| 4. | Konstruēt visas metrikas, kurās līnijas ir ģeodēziskās līnijas. | Pārāk neskaidrs, lai varētu apgalvot, vai tas ir atrisināts vai nav. | - |
| 5. | Vai nepārtrauktas grupas automātiski ir diferenciālas grupas? | Atkarībā no tā, kā tiek interpretēts sākotnējais apgalvojums, to atrisināja Andrew Gleason vai Hidehiko Yamabe. Tomēr, ja to saprot kā Hilberta-Smita pieņēmuma ekvivalentu, tas joprojām nav atrisināts. | 1953? |
| 6. | Aksiomatizēt visu fiziku | Daļēji atrisināts. | - |
| 7. | Vai a b ir transcendentāls, ja algebriskais a ≠ 0,1 un iracionālais algebriskais b ? | Atrisināts. Rezultāts: jā, to ilustrē Gelfonda teorēma vai Gelfonda-Šneidera teorēma. | 1934 |
| 8. | Rīmana hipotēze ("jebkuras Rīmana zetas funkcijas nulles, kas nav triviāla, reālā daļa ir ½") un citas pirmskaitļu problēmas, tostarp Goldbaha hipotēze un dvīņu pirmskaitļu hipotēze. | Neatrisināts. | - |
| 9. | Atrast vispārīgāko savstarpības teorēmas likumu jebkurā algebrisko skaitļu laukā | Daļēji atrisināts. | - |
| 10. | Atrodiet algoritmu, lai noteiktu, vai dotajam polinomam ar veselu skaitli ir vesels atrisinājums. | Atrisināts. Rezultāts: neiespējami, Matjaševiča teorēma nozīmē, ka šāda algoritma nav. | 1970 |
| 11. | Kvadrātformu ar algebriskiem skaitliskajiem koeficientiem risināšana. | Daļēji atrisināts. [] | - |
| 12. | Paplašināt Kronekera-Vēbera teorēmu par racionālo skaitļu ābeļa paplašinājumiem uz jebkuru bāzes skaitļu lauku. | Daļēji atrisina klases lauka teorija, lai gan risinājums nav tik nepārprotams kā Kronekera-Vēbera teorēma. | - |
| 13. | 7. pakāpes vienādojumu risināšana, izmantojot divu parametru nepārtrauktas funkcijas. | Neatrisināts. Problēmu daļēji atrisināja Vladimirs Arnolds, pamatojoties uz Andreja Kolmogorova darbu. | 1957 |
| 14. | Vai algebriskās grupas invariantu gredzens, kas darbojas uz polinomu gredzena, vienmēr ir galīgi ģenerēts? | Atrisināts. Rezultāts: nē, pretparaugu konstruēja Masajošs Nagata. | 1959 |
| 15. | Šūberta enumeratīvā skaitļa stingrais pamats. | Daļēji atrisināts. [] | - |
| 16. | Aprakstīt ovālu, kas izriet no reālas algebriskas līknes un kā polinomu vektoru lauka robežciklus plaknē, relatīvo stāvokli. | Neatrisināts. | - |
| 17. | Noteiktas racionālas funkcijas izteikšana kā kvadrātu summu kvantients | Nolemj Emil Artin un Charles Delzell. Rezultāts: Tika noteikta augšējā robeža nepieciešamajam kvadrātveida locekļu skaitam. Apakšējās robežas atrašana joprojām ir atklāta problēma. | 1927 |
| 18. | (a) Vai ir tāds daudzstūris, kas pieļauj tikai anizoēdriskas kārniņas trīs dimensijās? | (a) nolemts. Rezultāts: jā (autors Karl Reinhardt). | (a) 1928. gads ( |
| 19. | Vai Lagranjana risinājumi vienmēr ir analītiski? | Atrisināts. Rezultāts: jā, to pierādīja Ennio de Giorgi un, neatkarīgi un izmantojot atšķirīgas metodes, Džons Forbess Nešs. | 1957 |
| 20. | Vai visām variāciju problēmām ar noteiktiem robežnosacījumiem ir risinājumi? | Atrisināts. Nozīmīgs pētījumu temats 20. gadsimtā, kura kulminācija bija risinājumi[] nelineārajam gadījumam. | - |
| 21. | Lineāru diferenciālvienādojumu, kam ir noteikta monodromiskā grupa, pastāvēšanas pierādījums | Atrisināts. Rezultāts: Jā vai nē, atkarībā no precīzākiem problēmas formulējumiem. . [] | - |
| 22. | Analītisko attiecību unifikācija ar automorfisko funkciju palīdzību | Atrisināts. [] | - |
| 23. | Variāciju kalkulusa tālāka attīstība | Neatrisināts. | - |
Jautājumi un atbildes
J: Kurš 1900. gadā publicēja 23 neatrisināto matemātisko problēmu sarakstu?
A: Deivids Hilberts 1900. gadā publicēja 23 neatrisināto matemātisko problēmu sarakstu.
J: Vai Hilberta 24. problēma bija iekļauta sākotnējā sarakstā?
A: Nē, Hilberta 24. problēma tika atrasta Hilberta rakstos pēc viņa nāves.
J: Par ko ir Hilberta 24. problēma?
A: Hilberta 24. problēma ir par kritēriju atrašanu, lai pierādītu, ka problēmas risinājums ir visvienkāršākais iespējamais.
Vai līdz 2012. gadam tika atrisinātas visas 23 Hilberta sarakstā iekļautās problēmas?
A: Nē, trīs no 23 Hilberta sarakstā iekļautajām problēmām 2012. gadā nebija atrisinātas.
Vai kāda no Hilberta sarakstā minētajām problēmām bija pārāk neskaidra, lai to atrisinātu?
A: Jā, trīs no Hilberta sarakstā minētajām problēmām bija pārāk neskaidras, lai tās varētu atrisināt.
Jautājums: Cik no Hilberta sarakstā minētajām problēmām varēja daļēji atrisināt?
A: Sešas no Hilberta sarakstā minētajām problēmām varēja daļēji atrisināt.
J: Vai Klejas Matemātikas institūts izveidoja Hilberta problēmām līdzīgu sarakstu?
A: Jā, Māla matemātikas institūts 2000. gadā izveidoja līdzīgu sarakstu ar nosaukumu "Tūkstošgades balvas problēmas".
Meklēt