Hilberta problēmas
1900. gadā matemātiķis Deivids Hilberts publicēja sarakstu ar 23 neatrisinātām matemātiskām problēmām. Šis problēmu saraksts izrādījās ļoti ietekmīgs. Pēc Hilberta nāves viņa rakstos tika atrasta vēl viena problēma, kuru mūsdienās dažkārt dēvē par Hilberta 24. problēmu. Šī problēma attiecas uz kritēriju atrašanu, lai pierādītu, ka problēmas risinājums ir visvienkāršākais iespējamais.
No 23 problēmām 2012. gadā trīs nebija atrisinātas, trīs bija pārāk neskaidras, lai tās varētu atrisināt, un sešas bija daļēji atrisināmas. Ņemot vērā problēmu ietekmi, Klejs Matemātikas institūts 2000. gadā formulēja līdzīgu sarakstu, ko nosauca par Tūkstošgades balvas problēmām.
Kopsavilkums
Dažu problēmu formulējums ir labāks nekā citu problēmu formulējums. No tīri formulētajām Hilberta problēmām 3., 7., 10., 11., 13., 14., 17., 19., 20. un 21. problēma ir atrisināta vienprātīgi. No otras puses, 1., 2., 5., 9., 15., 18.+ un 22. problēmai ir risinājumi, kas ir daļēji pieņemti, bet pastāv domstarpības par to, vai tas atrisina problēmu.
Risinājumā 18. uzdevumam, Keplera hipotēzei, ir izmantots datorizēts pierādījums. Tas ir strīdīgs, jo cilvēks lasītājs nespēj pārbaudīt pierādījumu saprātīgā laikā.
Atliek 16, 8 (Rīmana hipotēze) un 12 neatrisināti. Šajā klasifikācijā 4, 16 un 23 ir pārāk neskaidri, lai tos varētu raksturot kā atrisinātus. Šajā klasē būtu arī izņemtais 24. jautājums. 6 ir uzskatāma par fizikas, nevis matemātikas problēmu.
Problēmas tabula
Hilberta divdesmit trīs problēmas:
| Problēma | Īss skaidrojums | Statuss | Atrisināts gads |
| 1. | Nepārtrauktības hipotēze (t. i., nav kopas, kuras kardinālums būtu stingri starp veselu skaitļu un reālo skaitļu kardinālumu). | Pierādīts, ka ir neiespējami pierādīt vai atspēkot Zērmela-Frenkela kopu teorijā ar vai bez izvēles aksiomas (ar nosacījumu, ka Zērmela-Frenkela kopu teorija ar vai bez izvēles aksiomas ir konsekventa, t.i., tajā nav divu tādu teorēmu, no kurām viena ir otras noliegums). Nav vienprātības par to, vai tas ir problēmas risinājums. | 1963 |
| 2. | Pierādiet, ka aritmētikas aksiomas ir konsekventas. | Nav vienprātības par to, vai Gēdela un Gencena rezultāti dod Hilberta formulētās problēmas risinājumu. Gēdela otrā nepilnības teorēma, kas tika pierādīta 1931. gadā, parāda, ka tās konsekvences pierādījumu nevar veikt pašā aritmētikā. Gencena konsekvences pierādījums (1936) parāda, ka aritmētikas konsekvence izriet no kārtas ε0 . | 1936? |
| 3. | Vai, ņemot divus vienāda tilpuma daudzstūrus, pirmo vienmēr ir iespējams sagriezt galīgi daudzos daudzstūra gabalos, kurus var atkal salikt, lai iegūtu otro? | Atrisināts. Rezultāts: nē, pierādīts, izmantojot Dehna invariantus. | 1900 |
| 4. | Konstruēt visas metrikas, kurās līnijas ir ģeodēziskās līnijas. | Pārāk neskaidrs, lai varētu apgalvot, vai tas ir atrisināts vai nav. | - |
| 5. | Vai nepārtrauktas grupas automātiski ir diferenciālas grupas? | Atkarībā no tā, kā tiek interpretēts sākotnējais apgalvojums, to atrisināja Andrew Gleason vai Hidehiko Yamabe. Tomēr, ja to saprot kā Hilberta-Smita pieņēmuma ekvivalentu, tas joprojām nav atrisināts. | 1953? |
| 6. | Aksiomatizēt visu fiziku | Daļēji atrisināts. | - |
| 7. | Vai a b ir transcendentāls, ja algebriskais a ≠ 0,1 un iracionālais algebriskais b ? | Atrisināts. Rezultāts: jā, to ilustrē Gelfonda teorēma vai Gelfonda-Šneidera teorēma. | 1934 |
| 8. | Rīmana hipotēze ("jebkuras Rīmana zetas funkcijas nulles, kas nav triviāla, reālā daļa ir ½") un citas pirmskaitļu problēmas, tostarp Goldbaha hipotēze un dvīņu pirmskaitļu hipotēze. | Neatrisināts. | - |
| 9. | Atrast vispārīgāko savstarpības teorēmas likumu jebkurā algebrisko skaitļu laukā | Daļēji atrisināts. | - |
| 10. | Atrodiet algoritmu, lai noteiktu, vai dotajam polinomam ar veselu skaitli ir vesels atrisinājums. | Atrisināts. Rezultāts: neiespējami, Matjaševiča teorēma nozīmē, ka šāda algoritma nav. | 1970 |
| 11. | Kvadrātformu ar algebriskiem skaitliskajiem koeficientiem risināšana. | Daļēji atrisināts. [] | - |
| 12. | Paplašināt Kronekera-Vēbera teorēmu par racionālo skaitļu ābeļa paplašinājumiem uz jebkuru bāzes skaitļu lauku. | Daļēji atrisina klases lauka teorija, lai gan risinājums nav tik nepārprotams kā Kronekera-Vēbera teorēma. | - |
| 13. | 7. pakāpes vienādojumu risināšana, izmantojot divu parametru nepārtrauktas funkcijas. | Neatrisināts. Problēmu daļēji atrisināja Vladimirs Arnolds, pamatojoties uz Andreja Kolmogorova darbu. | 1957 |
| 14. | Vai algebriskās grupas invariantu gredzens, kas darbojas uz polinomu gredzena, vienmēr ir galīgi ģenerēts? | Atrisināts. Rezultāts: nē, pretparaugu konstruēja Masajošs Nagata. | 1959 |
| 15. | Šūberta enumeratīvā skaitļa stingrais pamats. | Daļēji atrisināts. [] | - |
| 16. | Aprakstīt ovālu, kas izriet no reālas algebriskas līknes un kā polinomu vektoru lauka robežciklus plaknē, relatīvo stāvokli. | Neatrisināts. | - |
| 17. | Noteiktas racionālas funkcijas izteikšana kā kvadrātu summu kvantients | Nolemj Emil Artin un Charles Delzell. Rezultāts: Tika noteikta augšējā robeža nepieciešamajam kvadrātveida locekļu skaitam. Apakšējās robežas atrašana joprojām ir atklāta problēma. | 1927 |
| 18. | (a) Vai ir tāds daudzstūris, kas pieļauj tikai anizoēdriskas kārniņas trīs dimensijās? | (a) nolemts. Rezultāts: jā (autors Karl Reinhardt). | (a) 1928. gads ( |
| 19. | Vai Lagranjana risinājumi vienmēr ir analītiski? | Atrisināts. Rezultāts: jā, to pierādīja Ennio de Giorgi un, neatkarīgi un izmantojot atšķirīgas metodes, Džons Forbess Nešs. | 1957 |
| 20. | Vai visām variāciju problēmām ar noteiktiem robežnosacījumiem ir risinājumi? | Atrisināts. Nozīmīgs pētījumu temats 20. gadsimtā, kura kulminācija bija risinājumi[] nelineārajam gadījumam. | - |
| 21. | Lineāru diferenciālvienādojumu, kam ir noteikta monodromiskā grupa, pastāvēšanas pierādījums | Atrisināts. Rezultāts: Jā vai nē, atkarībā no precīzākiem problēmas formulējumiem. . [] | - |
| 22. | Analītisko attiecību unifikācija ar automorfisko funkciju palīdzību | Atrisināts. [] | - |
| 23. | Variāciju kalkulusa tālāka attīstība | Neatrisināts. | - |
Jautājumi un atbildes
J: Kurš 1900. gadā publicēja 23 neatrisināto matemātisko problēmu sarakstu?
A: Deivids Hilberts 1900. gadā publicēja 23 neatrisināto matemātisko problēmu sarakstu.
J: Vai Hilberta 24. problēma bija iekļauta sākotnējā sarakstā?
A: Nē, Hilberta 24. problēma tika atrasta Hilberta rakstos pēc viņa nāves.
J: Par ko ir Hilberta 24. problēma?
A: Hilberta 24. problēma ir par kritēriju atrašanu, lai pierādītu, ka problēmas risinājums ir visvienkāršākais iespējamais.
Vai līdz 2012. gadam tika atrisinātas visas 23 Hilberta sarakstā iekļautās problēmas?
A: Nē, trīs no 23 Hilberta sarakstā iekļautajām problēmām 2012. gadā nebija atrisinātas.
Vai kāda no Hilberta sarakstā minētajām problēmām bija pārāk neskaidra, lai to atrisinātu?
A: Jā, trīs no Hilberta sarakstā minētajām problēmām bija pārāk neskaidras, lai tās varētu atrisināt.
Jautājums: Cik no Hilberta sarakstā minētajām problēmām varēja daļēji atrisināt?
A: Sešas no Hilberta sarakstā minētajām problēmām varēja daļēji atrisināt.
J: Vai Klejas Matemātikas institūts izveidoja Hilberta problēmām līdzīgu sarakstu?
A: Jā, Māla matemātikas institūts 2000. gadā izveidoja līdzīgu sarakstu ar nosaukumu "Tūkstošgades balvas problēmas".
