1900. gadā matemātiķis Deivids Hilberts Parīzes konferencē publicēja sarakstu ar 23 neatrisinātām matemātiskām problēmām, kas bija domātas, lai virzītu matemātikas pētījumus 20. gadsimtā. Šis problēmu saraksts izrādījās ārkārtīgi ietekmīgs — tas noteica daudzu nozaru attīstības virzienus un motivēja virkni teorētisku atklājumu un jaunu metožu izstrādi. Pēc Hilberta nāves viņa piezīmēs tika atrasta vēl viena problēma, ko mūsdienās dažkārt dēvē par Hilberta 24. problēmu; tā attiecas uz kritēriju atrašanu, lai pierādītu, ka pierādījums ir visvienkāršākais iespējamais un ka nav lieku vai sarežģītu soļu.

Vēsture un nozīme

Hilberta 23 problēmas tika izvirzītas 1900. gada starptautiskā matemātiķu kongresa runā un kalpoja gan kā iedvesmas avots, gan darba programma daudzām nākamajām paaudzēm. Dažas no tām sneloma vairākus pavērsienus matemātikā — piemēram, darbības loģikā, skaitļu teorijā, topoloģijā un analīzē — un noveda pie jauniem rīkiem, piemēram, loģikas formalizācijām, topoģiskām metodēm un skaitļu teorijas tehnoloģijām.

Izcili piemēri un to risinājumi

  • 1. problēma — Kontinua hipotēze: jautājums par to, vai pastāv kopas izmēra starpība starp naturālo skaitļu un reālo skaitļu kopu. Kurt Gēdel (Gödel) parādīja, ka Kontinua hipotēze nevar tikt pierādīta no ZF aksiomām, bet Pauls Koens (Cohen) vēlāk pierādīja, ka to nevar arī noliegt — tātad tā ir neatkarīga no plaši pieņemtā Zermelo–Fraenkel aksiomu kopas ar izvēles aksiomu (ZFC).
  • 2. problēma — Aritmētikas konsekvence: Hilberta programma centās pierādīt matemātikas pamatu nesaistāmību ar finītu metodēm. Kurt Gēdeles nepilnības teoremas (1931) parādīja, ka šādas cerības ir ierobežotas — ierobežotas sistēmas nevar paša iekšienē pilnībā pierādīt savu konsekvenci, ja tās spēj izteikt pietiekami daudz aritmētikas.
  • 3. problēma — Skarības (scissors) kongruence: Maks Dehns (Max Dehn) ātri atrisināja šo problēmu, parādot, ka divas poliedra formas ne vienmēr var tikt sadalītas un pārgrupētas vienu no otras, ja tām ir atšķirīgs tā sauktais Dehns invariants.
  • 5. problēma — Lie grupu regularitāte (Hilberta 5.): jautājums, vai lokāli kompaktas grupa, kas ir topoloģiski grupa un manifolde, ir gluda Lie grupa. Šo problēmu 20. gadsimta vidū atrisināja vairāki matemātiķi, tostarp Gleasons, Montgomery, Zippin un Yamabe, izstrādājot pilnīgu teoriju par šādu grupu struktūru.
  • 7. problēma — Transcendences jautājumi: Hilberts jautāja par skaitļu veidiem, piemēram, vai a^b (kur a ir algebraiska, nevienādā 0 vai 1, un b ir algebraisks nepāra skaitlis) var būt algebrisks. Gelfonds un Šneideris (Gelfond–Schneider teorema, 1934) atrisināja šo konkrēto jautājumu, pierādot, ka šāds izteiciens ir transcendents.
  • 8. problēma — Primstskaitļu izplatība un Rimana hipotēze: Hilberts iekļāva jautājumus par primu skaitļu izplatību un saistītajām analītiskajām problēmām, no kurām pati Rimana hipotēze paliek neatrisināta un joprojām ir viens no centrālajiem nezināmajiem matemātikā. Problemen aptver arī Goldbaha hipotēzi — par šo jautājumu ir panākta virkne daļēju rezultātu, bet pilnīgs risinājums nav atrasts.
  • 10. problēma — Diofantiskas vienādojumu izšķiršana: jautājums, vai eksistē algoritms, kas izlems, vai dotajam diofantiskam multivariālam polinomam ir veselu skaitļu risinājums. Šo problēmu negatīvi atrisināja Matijaševiča (1970), papildinot darbu ar Davis, Putnam un Robinson — viņi parādīja, ka nav algoritma, kas atrisinātu vispārējo diofantisko jautājumu (t.i., problēma ir nealgoritmizējama/neviennozīmīgs).
  • 13. problēma — Septītās pakāpes vienādojumi: Hilberts jautāja par tā saukto 13. problēmu (kuras formulācija ietvēra arī jautājumu par septīto pakāpes vienādojumu risināšanu ar superpozīciju). Kolmogorovs un Arnolds pierādīja, ka jebkuru daudzmainīgā kontinūta funkciju var izteikt kā dažādu divmainīgu funkciju kompozīciju, kas sniedza negaidītu pozitīvu risinājumu nepārtrauktības kategorijā; tomēr jautājums par ģeometrisku/algebrisku versiju paliek niansēts.

Problēmu statuss un ietekme

Dažas no Hilberta problēmām tika pilnībā atrisinātas, citas — daļēji; vēl dažas izrādījās neatrisināmas attiecībā uz pieņemtajiem aksiomu kopumiem vai parādījās neatkarīgas no tiem. Turklāt daudzas problēmas izraisīja jaunu apakšnozaru attīstību vai radīja rīkus, kas vēlāk tika pielietoti citur matemātikā un informātikā (piemēram, loģikas, teorijas par lēmumu sarežģītību un skaitļu teorijas metodes).

Īsi sakot, Hilberta 23 problēmas nav tikai atsevišķu jautājumu kopums — tās bija stratēģiska programa, kas virzīja pētījumus un definēja virzienus daudziem svarīgiem atklājumiem 20. gadsimtā. Šīs ietekmes dēļ Klejs Matemātikas institūts 2000. gadā publicēja savu sarakstu ar mūsdienu „lielajām” problēmām — Tūkstošgades balvas problēmām —, kas tajā brīdī pildīja līdzīgu funkcionālu lomu mūsdienu matemātikas kopienā.

Piezīmes par Hilberta 24. problēmu

Hilberta 24. problēma, kas atklāta vēlāk Hilberta piezīmēs, vērš uzmanību uz pierādījumu vienkāršošanas un optimizācijas jautājumiem: meklēšanas kritērijiem, kas ļautu noteikt, vai kāds pierādījums ir „visvienkāršākais” vai „bez liekiem soļiem”. Lai gan šī problēma netika iekļauta sākotnējā 23 punktu sarakstā, tā tomēr atspoguļo Hilberta interesi par matemātikas metamatemātiku un efektivitāti.

Ja lasītājam interesē padziļinātāka informācija par konkrētu Hilberta problēmu, to vēsturisko attīstību un galvenajiem risinājumiem vai daļējiem risinājumiem, var piedāvāt detalizētāku pārskatu par katru no šīm problēmām un nozīmīgākajiem ar tām saistītajiem rezultātiem.