Nepārtrauktības hipotēze — Kantors, Zērmela-Frenkela un nepierādāmība

Nepārtrauktības hipotēze: Kantora mantojums, Gēdela un Koena rezultāti — dziļš ieskats kopu teorijā, matemātiskajā nepierādāmībā un tās vēsturiskajā nozīmē.

Nepārtrauktības hipotēze ir hipotēze, ka nav kopas, kas būtu gan lielāka par naturālo skaitļu kopu, gan mazāka par reālo skaitļu kopu. Šo hipotēzi 1877. gadā izvirzīja Georgs Kantors. Būtībā runa ir par to, vai pastāv kāda kopa, kuras kardinālums (izmērs) būtu starp dabisko skaitļu kopas kardinālumu un reālo skaitļu kopas kardinālumu.

Kas nozīmē "vairāk" un "mazāk"?

Matemātikā salīdzināšana starp kopām tiek veikta, izmantojot kardinālu skaitļu (kardinālitāti). Dabisko skaitļu kopai ir vismazākā bezgalīgā kardinālitāte, ko parasti apzīmē ar aleph-nulla (ℵ₀). Reālo skaitļu kopas kardinālitāti parasti apzīmē ar c (continuum). Kā pierādīja Kantors ar savu leģendāro diagonāles argumentu, c > ℵ₀ — tātad reālie skaitļi ir neuzskaitāmi (nenumerējami), tātad "vairāk" nekā dabiskie skaitļi. Nepārtrauktības hipotēze apgalvo, ka nav nekas starp ℵ₀ un c: nav kopas ar kardinālitāti k tādu, ka ℵ₀ < k < c. Īsāk — CH ekvivalentā forma ir c = 2^{ℵ₀} un CH bieži formulē kā 2^{ℵ₀} = ℵ₁, ja pieņem, ka nākamā lielākā pārnnesamā kardināla pēc ℵ₀ ir ℵ₁.

Vēsture un galvenie rezultāti

Kantors 19. gadsimta beigās noteica problēmu un uzstādīja, ka varētu būt "tukši lauki" starp skaitļu kopām. Nepārtrauktības hipotēze bija pirmā problēma Dāvida Hilberta 1900. gadā publicētajā 23 problēmu sarakstā, kas motivēja daudzus 20. gadsimta pētījumus.

Teorētiskā lūzuma brīdis pienāca 20. gadsimta vidū:

• Kurts Gēdelis (1940) parādīja, ka nepārtrauktības hipotēzi nevar falsificēt ar Zērmela-Frenkelakopu teoriju (ZF) — precīzāk, viņš uzbūra konstruktīvo visumu L (constructible universe) un pierādīja, ka CH ir patiess modelī L. Tātad, ja ZF ir konsistents, tad ZF kopā ar CH arī ir konsistenta; ZF nevar pierādīt CH noliegumu. (Īsāk — CH nav atrodama par nepatiesu, balstoties tikai uz ZF aksiomām.)
• Pols Koens 1963. gadā izstrādāja jaunu metodi, ko sauc par forcing, un pierādīja, ka arī CH nevar tikt pierādīta no ZF (ar vai bez Aksiomas par izvēli — ZFC): viņš izveidoja modeļus, kuros CH ir nepatiesa, tātad, ja ZF ir konsistents, tad arī ZF+¬CH ir konsistents. Kombinējot Gēdela un Koena rezultātus, CH izrādījās neatkarīga no ZF (un no ZFC): ZF neatļauj ne tās pierādīšanu, ne noliegšanu.
• Par savu darbu Koens saņēma Fīldsa medaļu (1966), jo viņa metodes radikāli mainīja kopu teorijas pētījumu rīkkopu.

Ko nozīmē "neatkarīga no ZF/ZFC"?

Neatkarība nozīmē: ja ZF (vai ZFC) ir konsistenta teorija (bez iekšējām pretrunām), tad papildināt to ar CH vai ar tās noliegumu ¬CH abos gadījumos nerada pretstatus teorijā. Citiem vārdiem, ZF pati par sevi nepietiek, lai no tās viennozīmīgi izsecinātu CH vai tās pretējo. Tas nenozīmē, ka CH ir “nepatiesa” vai “patiesa” ārpus ZF — tas nozīmē, ka jautājums ir neatkarīgs no šo konkrēto aksiomu kopas un ka nepieciešamas jaunas aksiomas vai paplašinājumi, lai to atrisinātu viennozīmīgi.

Tehniskā forma un varianti

• Formāli: Nepārtrauktības hipotēze apgalvo, ka nav kardināla κ tāda, ka ℵ₀ < κ < 2^{ℵ₀}.
• GCH (Generalizētā nepārtrauktības hipotēze): paplašinājums, kas apgalvo, ka 2^{ℵ_α} = ℵ_α+1 visiem rangu α. Gēdelis un Koens arī aplūkoja šo vispārinājumu un tā neatkarību attiecībā pret aksiomu kopām.

Mūsdienu skatījums un secinājumi

CH neatrisināmība ZF/ZFC dēļ ir viens no nozīmīgākajiem secinājumiem matemātikas pamatos un ir iedvesmojis aktīvus pētījumus par papildaksiomām, kas varētu izlemt CH. Daži pieejas virzieni:

• Pētnieki izskata papildaksiomas (piem., dažādas versijas par lielo kardinalu eksistenci), kas var ļaut viennozīmīgi noteikt c izmēru.
• Forcing un citu metožu attīstība ļauj būvēt modeļus ar ļoti precīzām ķēdēm starp ℵ₀ un c, sniedzot plašu iespēju „kontrolēt” reālo skaitļu kardinālitāti.
• Daži matemātiķi aizstāv pragmatisku pieeju: izvēlēties CH vai ¬CH atkarībā no tā, kuri turpmāko teorētisko seku rezultāti šķiet lietderīgāki citās matemātikas jomās.

Kopsavilkums

Nepārtrauktības hipotēze ir klasiskā problēma par to, vai pastāv kopa ar izmēru starp naturālo skaitļu kopu un reālo skaitļu kopu. Tā izvirzīta no Kantora, kļuvusi par pirmo no Hilberta problēmām un galu galā izrādījusies neatkarīga no plaši lietotās Zērmela-Frenkel kopu teorijas aksiomu kopas — Gēdelis parādīja, ka to nevar noliedz un Koens, ka to nevar pierādīt. Mūsdienās CH statuss saglabājas kā centrāls jautājums kopu teorijā, un tam ir spēcīgas saites ar citām pamata matemātikas problēmām un ar jaunu aksiomu meklējumiem.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir kontinuitātes hipotēze?

J: Kas un kad izvirzīja nepārtrauktības hipotēzi?

Vai dabisko skaitļu ir bezgalīgi daudz?

J: Kāds ir naturālo skaitļu kopas kardinālums?

Vai reālo skaitļu ir vairāk nekā naturālo skaitļu?

Vai, izmantojot Zērmela-Frenkela kopu teoriju, var falsificēt kontinuuma hipotēzi?

J: Kas parādīja, ka Zērmela-Frenkela kopu teoriju nevar izmantot, lai pierādītu nepārtrauktības hipotēzi?

Meklēt pēc burta