Rīmaņa hipotēze: kas tā ir un kā tā ietekmē pirmskaitļus
Rīmaņa hipotēze — kas tā ir un kā zetas funkcija ietekmē pirmskaitļu izplatību; saprotams skaidrojums, pierādījuma nozīme un jaunākie atklājumi.
Rīmana hipotēze ir viens no slavenākajiem un grūtākajiem jautājumiem matemātikā — tas ir (pieņēmums par īpašu uzvedību kompleksās mainīgās funkcijas, ko sauc par Rīmana zetas funkciju. Daudzi uzskata, ka hipotēzes pierādījuma atrašana ir viena no svarīgākajām neatrisinātajām problēmām tīrās matemātikas laukā. Tīrā matemātika cenšas izprast abstraktas struktūras un likumsakarības, bieži neatkarīgi no tūlītējām praktiskām pielietošanām. Atbilde uz Rīmana hipotēzi var būt vienkārša — "jā" vai "nē" — taču sekas būtu dziļas un plašas.
Kas ir Rīmana zetas funkcija?
Rīmana zetas funkcija ir funkcija kompleksajai mainīgajai s, kuru sākotnēji definē kā sēriju ζ(s) = Σ n−s (summa no n = 1 līdz ∞) tajos kompleksajos s, kuriem Re(s) > 1. Ar sarežģītākām tehniskām metodēm šo funkciju var analītiski pagarināt uz visu komplekso plakni, izņemot vienu vienkāršu polu pie s = 1. Zetas funkcijai ir arī tā sauktās triviālās nulles vietās s = −2, −4, −6, …, bet Rīmana hipotēze attiecas uz tā dēvētajām netriviālajām nullēm.
Ko tieši apgalvo Rīmana hipotēze?
Rīmana hipotēze apgalvo, ka visi netriviālie zetas funkcijas nulles punkti atrodas uz kritiskās taisnes Re(s) = 1/2 kompleksajā plaknē. Citādi sakot, ja ζ(s) = 0 un s nav triviāla nulle, tad s = 1/2 + it kādam reālam t. Šis formulējums ir tehnisks, bet būtība ir tāda, ka nulles vietas strukturē regulāru un negaidītu viļņošanos, kas tieši ietekmē, cik izplatīti ir pirmskaitļi.
Kā Rīmana hipotēze ietekmē pirmskaitļus?
Saikne starp zetas funkcijas nullēm un pirmskaitļu izplatību radās, kad Bernhards Rīmans 1859. gadā parādīja, ka informāciju par nullēm var izmantot, lai izteiktu kļūdu termiņu pirmskaitļu skaitīšanas funkcijā π(x) (skaits pirmskaitļu ≤ x). Vienkāršā līmenī:
- Galvenā parauga rezultāts — pirmskaitļu teorēmas (Prime Number Theorem) — saka, ka pirmskaitļu blīvums ap x ir aptuveni 1 / log x, tāpēc π(x) ~ x / log x.
- Rīmana hipotēze, ja tā ir pati par sevi pareiza, dod daudz sīkāku kontroli pār kļūdas termiņu šajā aproksimācijā, piemēram, nodrošinot ierobežojumu par to, cik lielas var būt novirzes no vidējās uzvedības.
- No praktiskā viedokļa RH patiešām ietekmē rezultātus par pirmskaitļu sadalījumu īsos intervālos, par starpību starp blakusesošajiem pirmskaitļiem un par summām, kas saistītas ar Möbiusa vai Liuvill funkcijām.
Kāpēc Rīmana hipotēze ir svarīga?
Ir vairāki iemesli:
- Strukturāla izpratne: RH dotu dziļāku izpratni par to, kā pirmskaitļi "izkārtojas" skaitļu kopā un kādas regulāras novirzes no vidējā sadalījuma pastāv.
- Daudz nozīmīgu sekojošu rezultātu: daudzi nopietni rezultāti analītiskajā skaitļu teorijā ir pierādīti uz RH vai no tās izrietošām versijām; ja RH ir patiess, tie kļūtu par neapstrīdamiem patiesiem apgalvojumiem.
- Matemātiskā pievilcība: problēma iezīmē fundamentālu saikni starp kompleksu analīzi, algebraiskām struktūrām un skaitļu teoriju.
- Simboliska nozīme: RH ir viens no Millenium Prize Problems, un Bernharda Rīmana darbs 1859. gadā ir atstājis milzīgu ietekmi uz matemātikas attīstību; Klejas Matemātikas institūts ir piedāvājis 1 000 000 ASV dolāru tam, kurš pirmais to pierādīs.
Pētījumu pierādījumi un saistības
Līdz šim nav zināms ne pierādījums, ne kontrpierādījums RH. Tomēr ir daudz spēcīgu zinātnisku indikāciju:
- Tūkstošiem miljonu netriviālo nulles punktu ir pārbaudīti skaitliski, un tie atrodas tieši uz kritiskās taisnes Re(s) = 1/2.
- Ir izstrādātas vairāku veidu saistītas hipotēzes un vispārinājumi, piemēram, vispārinātā Rīmana hipotēze (par citu L-funkciju nullēm), kas spēlē centrālu lomu algebraiskā skaitļu teorijā un modulārajā formu teorijā.
- Pastāv arī savienojumi ar citu jomu rezultātiem — piemēram, random matricas teorija sniedz modeļus nulles sadalījumam, un Hilberta–Pólya ideja mēģina sasaistīt nulles ar pašas dabas operatora īpašvētājām (tas būtu "fiziķiem saprotams" piegājiens).
Vai RH mainīs datoru drošību vai ikdienas dzīvi?
RH risinājums, visticamāk, neizraisīs tūlītēju sabrukumu šifrēšanā vai interneta drošībā. Lielākā daļa praktisko primālo faktorizācijas algoritmu un kriptogrāfijas drošības balstās uz sarežģītībuem uzdevumiem, kur RH patiesība nedod vienkāršu "lauzumu". Tomēr RH varētu dot labākas teorētiskas robežas un uzlabot dažus algoritmus vai analītiskos rīkus.
Kopsavilkums
Rīmana hipotēze ir fundamentāls matemātisks pieņēmums par Rīmana zetas funkcijas netriviālajām nullēm — ka visām tām reālā daļa ir 1/2. Ja tas ir patiesi, tas sniegtu nozīmīgu, konkrētu informāciju par pirmskaitļu izplatību un uzlabotu precizitāti daudzos analītiskās skaitļu teorijas rezultātos. Lai arī daudzi skaitļošanas un teorētiskie pierādījumi atbalsta hipotēzi, formāls pierādījums joprojām nav atrasts, un tā paliek viena no matemātikas vislielākajām neatrisinātajām problēmām.
Rīmana zetas funkcija kompleksajā plaknē. Reālā daļa Re ( s ) {\displaystyle \operatora nosaukums {Re} (s)}
ir novilkta horizontāli, iedomātā daļa Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
vertikāli. Balti punktiņi parāda nulles, kur Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}}
. Noklikšķiniet, lai iegūtu pilnu attēlu.
Kas ir Rīmana hipotēze?
Kas ir Rīmana zetas funkcija?
Rīmana zetas funkcija ir sava veida funkcija. Funkcijas matemātikā ir tādas pašas lietas kā vienādojumi. Funkcijas pieņem skaitļus un atdod atpakaļ citus skaitļus. Tas ir līdzīgi tam, kā jūs saņemat atbildi, kad uzdodat jautājumu. Ievadīto skaitli sauc par "ievadi". Skaitli, ko jūs saņemat atpakaļ, sauc par "vērtību". Katrs ievads, ko ievadāt Rīmana zetas funkcijā, dod jums atpakaļ īpašu vērtību. Par katru ievadi jūs lielākoties saņemat atšķirīgu vērtību. Bet katrs ievads dod vienu un to pašu vērtību katru reizi, kad to izmantojat. Gan ievade, ko ievadāt, gan vērtība, ko saņemat no Rīmana zetas funkcijas, ir īpaši skaitļi, ko sauc par kompleksajiem skaitļiem. Kompleksais skaitlis ir skaitlis ar divām daļām.
Kas ir netriviāla sakne?
Dažreiz, ievadot ievaddatus Rīmana zetas funkcijā, jūs saņemat atpakaļ skaitli nulle. Ja tā notiek, šo ievadi sauc par Rīmana zetas funkcijas sakni. Par "sakni" jūs saucat ievadi, ja tā dod nulli. Ir atrasts daudz sakņu. Taču dažas saknes ir vieglāk atrast nekā citas. Mēs saucam saknes par "triviālām" vai "netriviālām". Sakni sauc par "triviālu", ja to ir viegli atrast. Bet par "netriviālu" saucam sakni, ja to ir grūti atrast. Triviālās saknes ir skaitļi, ko sauc par "negatīviem, līdzīgiem veseliem skaitļiem". Mēs domājam, ka tās ir vieglas tāpēc, ka tās ir viegli atrast. Ir precīzi noteikumi, kas nosaka, kādas ir triviālās saknes. Mēs zinām, kas ir triviālās saknes, pateicoties Bernharda Rīmana dotajam vienādojumam. Šo vienādojumu sauca par Rīmana funkcionālo vienādojumu.
Kā atrast netriviālas saknes?
Netriviālās saknes ir grūtāk atrast. Tās ir grūtāk atrast nekā triviālās saknes. Tām nav tādu pašu precīzu noteikumu, kas nosaka, kas tās ir. Lai gan tās ir grūti atrast, ir atrasts daudz netriviālu sakņu. Atcerieties, ka Rīmana zetas funkcijas vērtība bija tāda veida skaitlis, ko sauc par komplekso skaitli. Un atceries, ka kompleksajiem skaitļiem ir divas daļas. Vienu no šīm daļām sauc par "reālo daļu". Mēs pamanījām interesantu lietu par netriviālo sakņu reālo daļu. Visām mūsu atrastajām netriviālajām saknēm reālā daļa ir viens un tas pats skaitlis. Šis skaitlis ir 1/2, kas ir daļa. Tas mūs noved pie Rīmana lielā jautājuma par to, cik lielas ir reālās daļas. Šis jautājums ir Rīmana hipotēze. Jautājums ir "vai visām netriviālajām saknēm ir 1/2 reālās daļas?". Mēs joprojām mēģinām noskaidrot, vai atbilde ir "jā" vai "nē".
Ko mēs pagaidām zinām?
Mēs vēl nezinām atbildi uz šo jautājumu. Bet mēs zinām dažus labus faktus. Šie fakti varētu mums palīdzēt. Ir veids, kā mēs varam atrast faktus par netriviālo sakņu reālajām daļām. Tas ir ar Rīmana īpašā vienādojuma (Rīmana funkcionālā vienādojuma) palīdzību. Rīmana funkcionālais vienādojums mums pastāsta par reālo daļu lielumu. Tas saka, ka visiem netriviālajiem nulļiem ir reālā daļa, kas tuva 1/2. Tas norāda, cik mazas var būt reālās daļas un cik lielas tās var būt. Bet tas nenosaka, kādas tieši tās ir. Konkrētāk, ir teikts, ka reālajām daļām jābūt lielākām par 0. Bet tām jābūt mazākām par 1. Bet mēs joprojām nezinām, vai var būt netriviāla sakne ar reālo daļu, kas ir ļoti tuva 1/2. Varbūt tāda ir, bet mēs to vēl neesam atraduši. To komplekso skaitļu grupu, kuru reālā daļa ir lielāka par 0, bet mazāka par 1, sauc par "kritisko joslu".
Rīmana hipotēze attēlā
Šīs lapas augšējā labajā stūrī attēlota Rīmana zetas funkcija. Netriviālās saknes ir parādītas ar baltiem punktiem. Izskatās, ka tās visas atrodas rindā pašā attēla vidū. Tās nav pārāk tālu pa kreisi un nav pārāk tālu pa labi. Patiesībā ir svarīgi, cik tālu no kreisās puses uz labo. Atrašanās attēla vidū nozīmē, ka tiem ir 1/2 īstā daļa. Tātad visām netriviālajām saknēm attēlā ir 1/2 reālā daļa. Taču mūsu attēlā nav redzams viss, jo Rīmana zetas funkcija ir pārāk liela, lai to parādītu. Kā tad ir ar netriviālajām saknēm virs un zem attēla? Vai arī tās būtu pa vidu? Ko darīt, ja tās izjauc to, ka atrodas vidū? Tās varētu būt nedaudz pa kreisi vai pa labi. Rīmana hipotēze jautā, vai katra netriviālā sakne (baltais punkts) būtu uz līnijas, kas ir pa vidu. Ja atbilde ir "nē", mēs sakām, ka "hipotēze ir nepatiesa". Tas nozīmētu, ka ir baltie punkti, kas neatrodas uz dotās līnijas.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Rīmana hipotēze?
A: Rīmana hipotēze ir matemātisks jautājums (pieņēmums), kas uzdod jautājumu par īpašu lietu, ko sauc par Rīmana zetas funkciju.
J: Uz kādu matemātikas veidu attiecas Rīmana hipotēze?
A.: Rīmana hipotēze attiecas uz tīro matemātiku, kas ir matemātikas veids, kurā tiek domāts par matemātiku, nevis mēģināts to pielietot reālajā pasaulē.
J: Kas bija Bernhards Rīmans?
A: Bernhards Rīmans bija cilvēks, kurš dzīvoja 19. gadsimta 19. gadsimtā un kura vārds ir dots šai hipotēzei.
J: Kāds būtu rezultāts, ja kāds varētu pierādīt Rīmana hipotēzi?
A: Ja kāds varētu pierādīt Rīmana hipotēzi, matemātiķi varētu uzzināt vairāk par pirmskaitļiem un to, kā tos atrast.
J: Cik daudz naudas ir piedāvāts par šīs hipotēzes pierādīšanu?
A.: Klejs Matemātikas institūts ir piedāvājis 1 000 000 ASV dolāru par šīs hipotēzes pierādīšanu.
J: Vai ir tikai viena atbilde uz šo hipotēzi?
A: Jā, ir tikai divas iespējamās atbildes uz šo hipotēzi - "jā" vai "nē".
Meklēt