Rīmaņa hipotēze
Rīmana hipotēze ir matemātisks jautājums (pieņēmums). Daudzi cilvēki uzskata, ka hipotēzes pierādījuma atrašana ir viena no grūtākajām un svarīgākajām neatrisinātajām tīrās matemātikas problēmām. Tīrā matemātika ir matemātikas veids, kas saistīts ar domāšanu par matemātiku. Tas atšķiras no mēģinājumiem ieviest matemātiku reālajā pasaulē. Atbilde uz Rīmana hipotēzi ir "jā" vai "nē".
Šī hipotēze ir nosaukta Bernharda Rīmana vārdā. Viņš dzīvoja 1800. gados. Rīmana hipotēze uzdod jautājumu par īpašu lietu, ko sauc par Rīmana zetas funkciju.
Ja atbilde uz šo jautājumu ir "jā", tas nozīmētu, ka matemātiķi var uzzināt vairāk par pirmskaitļiem. Konkrēti, tas palīdzētu viņiem uzzināt, kā atrast pirmskaitļus. Rīmana hipotēze ir tik svarīga un tik grūti pierādāma, ka Klejas Matemātikas institūts ir piedāvājis 1 000 000 ASV dolāru tam, kurš pirmais to pierādīs.
Rīmana zetas funkcija kompleksajā plaknē. Reālā daļa Re ( s ) {\displaystyle \operatora nosaukums {Re} (s)}
ir novilkta horizontāli, iedomātā daļa Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
vertikāli. Balti punktiņi parāda nulles, kur Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}}
. Noklikšķiniet, lai iegūtu pilnu attēlu.
Kas ir Rīmana hipotēze?
Kas ir Rīmana zetas funkcija?
Rīmana zetas funkcija ir sava veida funkcija. Funkcijas matemātikā ir tādas pašas lietas kā vienādojumi. Funkcijas pieņem skaitļus un atdod atpakaļ citus skaitļus. Tas ir līdzīgi tam, kā jūs saņemat atbildi, kad uzdodat jautājumu. Ievadīto skaitli sauc par "ievadi". Skaitli, ko jūs saņemat atpakaļ, sauc par "vērtību". Katrs ievads, ko ievadāt Rīmana zetas funkcijā, dod jums atpakaļ īpašu vērtību. Par katru ievadi jūs lielākoties saņemat atšķirīgu vērtību. Bet katrs ievads dod vienu un to pašu vērtību katru reizi, kad to izmantojat. Gan ievade, ko ievadāt, gan vērtība, ko saņemat no Rīmana zetas funkcijas, ir īpaši skaitļi, ko sauc par kompleksajiem skaitļiem. Kompleksais skaitlis ir skaitlis ar divām daļām.
Kas ir netriviāla sakne?
Dažreiz, ievadot ievaddatus Rīmana zetas funkcijā, jūs saņemat atpakaļ skaitli nulle. Ja tā notiek, šo ievadi sauc par Rīmana zetas funkcijas sakni. Par "sakni" jūs saucat ievadi, ja tā dod nulli. Ir atrasts daudz sakņu. Taču dažas saknes ir vieglāk atrast nekā citas. Mēs saucam saknes par "triviālām" vai "netriviālām". Sakni sauc par "triviālu", ja to ir viegli atrast. Bet par "netriviālu" saucam sakni, ja to ir grūti atrast. Triviālās saknes ir skaitļi, ko sauc par "negatīviem, līdzīgiem veseliem skaitļiem". Mēs domājam, ka tās ir vieglas tāpēc, ka tās ir viegli atrast. Ir precīzi noteikumi, kas nosaka, kādas ir triviālās saknes. Mēs zinām, kas ir triviālās saknes, pateicoties Bernharda Rīmana dotajam vienādojumam. Šo vienādojumu sauca par Rīmana funkcionālo vienādojumu.
Kā atrast netriviālas saknes?
Netriviālās saknes ir grūtāk atrast. Tās ir grūtāk atrast nekā triviālās saknes. Tām nav tādu pašu precīzu noteikumu, kas nosaka, kas tās ir. Lai gan tās ir grūti atrast, ir atrasts daudz netriviālu sakņu. Atcerieties, ka Rīmana zetas funkcijas vērtība bija tāda veida skaitlis, ko sauc par komplekso skaitli. Un atceries, ka kompleksajiem skaitļiem ir divas daļas. Vienu no šīm daļām sauc par "reālo daļu". Mēs pamanījām interesantu lietu par netriviālo sakņu reālo daļu. Visām mūsu atrastajām netriviālajām saknēm reālā daļa ir viens un tas pats skaitlis. Šis skaitlis ir 1/2, kas ir daļa. Tas mūs noved pie Rīmana lielā jautājuma par to, cik lielas ir reālās daļas. Šis jautājums ir Rīmana hipotēze. Jautājums ir "vai visām netriviālajām saknēm ir 1/2 reālās daļas?". Mēs joprojām mēģinām noskaidrot, vai atbilde ir "jā" vai "nē".
Ko mēs pagaidām zinām?
Mēs vēl nezinām atbildi uz šo jautājumu. Bet mēs zinām dažus labus faktus. Šie fakti varētu mums palīdzēt. Ir veids, kā mēs varam atrast faktus par netriviālo sakņu reālajām daļām. Tas ir ar Rīmana īpašā vienādojuma (Rīmana funkcionālā vienādojuma) palīdzību. Rīmana funkcionālais vienādojums mums pastāsta par reālo daļu lielumu. Tas saka, ka visiem netriviālajiem nulļiem ir reālā daļa, kas tuva 1/2. Tas norāda, cik mazas var būt reālās daļas un cik lielas tās var būt. Bet tas nenosaka, kādas tieši tās ir. Konkrētāk, ir teikts, ka reālajām daļām jābūt lielākām par 0. Bet tām jābūt mazākām par 1. Bet mēs joprojām nezinām, vai var būt netriviāla sakne ar reālo daļu, kas ir ļoti tuva 1/2. Varbūt tāda ir, bet mēs to vēl neesam atraduši. To komplekso skaitļu grupu, kuru reālā daļa ir lielāka par 0, bet mazāka par 1, sauc par "kritisko joslu".
Rīmana hipotēze attēlā
Šīs lapas augšējā labajā stūrī attēlota Rīmana zetas funkcija. Netriviālās saknes ir parādītas ar baltiem punktiem. Izskatās, ka tās visas atrodas rindā pašā attēla vidū. Tās nav pārāk tālu pa kreisi un nav pārāk tālu pa labi. Patiesībā ir svarīgi, cik tālu no kreisās puses uz labo. Atrašanās attēla vidū nozīmē, ka tiem ir 1/2 īstā daļa. Tātad visām netriviālajām saknēm attēlā ir 1/2 reālā daļa. Taču mūsu attēlā nav redzams viss, jo Rīmana zetas funkcija ir pārāk liela, lai to parādītu. Kā tad ir ar netriviālajām saknēm virs un zem attēla? Vai arī tās būtu pa vidu? Ko darīt, ja tās izjauc to, ka atrodas vidū? Tās varētu būt nedaudz pa kreisi vai pa labi. Rīmana hipotēze jautā, vai katra netriviālā sakne (baltais punkts) būtu uz līnijas, kas ir pa vidu. Ja atbilde ir "nē", mēs sakām, ka "hipotēze ir nepatiesa". Tas nozīmētu, ka ir baltie punkti, kas neatrodas uz dotās līnijas.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Rīmana hipotēze?
A: Rīmana hipotēze ir matemātisks jautājums (pieņēmums), kas uzdod jautājumu par īpašu lietu, ko sauc par Rīmana zetas funkciju.
J: Uz kādu matemātikas veidu attiecas Rīmana hipotēze?
A.: Rīmana hipotēze attiecas uz tīro matemātiku, kas ir matemātikas veids, kurā tiek domāts par matemātiku, nevis mēģināts to pielietot reālajā pasaulē.
J: Kas bija Bernhards Rīmans?
A: Bernhards Rīmans bija cilvēks, kurš dzīvoja 19. gadsimta 19. gadsimtā un kura vārds ir dots šai hipotēzei.
J: Kāds būtu rezultāts, ja kāds varētu pierādīt Rīmana hipotēzi?
A: Ja kāds varētu pierādīt Rīmana hipotēzi, matemātiķi varētu uzzināt vairāk par pirmskaitļiem un to, kā tos atrast.
J: Cik daudz naudas ir piedāvāts par šīs hipotēzes pierādīšanu?
A.: Klejs Matemātikas institūts ir piedāvājis 1 000 000 ASV dolāru par šīs hipotēzes pierādīšanu.
J: Vai ir tikai viena atbilde uz šo hipotēzi?
A: Jā, ir tikai divas iespējamās atbildes uz šo hipotēzi - "jā" vai "nē".
