Ģeometrijā hiperkubs ir kvadrāta (n = 2) un kuba (n = 3) n-dimensiju analogs. To var uztvert kā taisnstūra (intervalu) Karteziska reizinājumu n dimensijās — vienības hiperkubs bieži apzīmēts ar [0,1]^n. Hiperkubs ir slēgts, kompakts un konveks poliedrs, kura 1-skeletons sastāv no paralēliem līniju posmiem, kas izlīdzināti katrā dimensijā, ir perpendikulāri viens otram un vienāda garuma. Vienības hiperkuba garākā diagonāle n dimensijā ir vienāda ar n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 
.
N-dimensiju hiperkubu sauc arī par n-kubiju vai n-dimensiju kubu. Tiek lietots arī termins "mērvienības politops", īpaši H. S. M. Koksetera darbos (sākotnēji no Eltes, 1912), taču mūsdienās tas biežāk tiek apzīmēts vienkārši kā hiperkubs vai n-kubs. Hiperkubs ir īpašs hipertaisnstūra (saukts arī par n-ortotopu) gadījums.
Definīcija un koordinātas
Vienības hiperkubs ir hiperkubs, kura malas garums ir viena vienība. Bieži ar terminu "vienības hiperkubs" saprot hiperkubu, kura stūri (virsotnes) ir 2^n punkti R^n, kur katra koordināta ir vienāda ar 0 vai 1. Alternatīvi, n-kubs ar malas garumu s var tikt definēts kā Karteziskais reizinājums [0,s]^n.
Galvenās īpašības
- Virsotņu skaits: hiperkubam ir 2^n virsotnes (katrai no n koordinātām divas iespējas — 0 vai 1).
- Malas (1-dimensiju elementi): kopējais malu skaits ir n · 2^{n-1} — katrai no n asīm ir 2^{n-1} malu kopijas.
- k-dimensiju seju skaits: hiperkuba k-dimensiju sejU (piem., plaknes sejas, malu komplekti utt.) skaits ir C(n,k) · 2^{n-k}, kur C(n,k) ir binomiālais koeficients.
- Fasetes (n−1 dimensiju sejas): hiperkubam ir 2n fasetes, katra no tām ir (n−1)-dimensiju kubs.
- Tilpums un virsmas "hiperplatība": ja malas garums ir s, tad n-dimensiju tilpums (hipervolume) ir s^n, bet kopējā (n−1)-dimensiju virsma (hiperplatība) ir 2n · s^{n-1}.
- Diagonāles: galvenās (visgarākās) diagonāles garums vienības hiperkubā ir sqrt(n). Vairāk vispār: diagonāles garums s · sqrt(m), ja tās savieno virsotnes, kas atšķiras m koordinātās.
- Konvekss un centrāli simetrisks: hiperkubs ir konveksa daudzstūris un ir centrāli simetrisks — pretējas virsotnes atrodas vienā attālumā no centra.
Simetrija un strukturālās īpašības
Hiperkubs ir regulārs poliedrs katrai dimensijai n: tā simetriju grupa ir hiperoctaedrālā grupa (B_n), kuras kārtība ir 2^n n!. Hiperkubs ir arī aizvietojams pēc virsotnēm (vertex-transitive) un pēc fasetēm, kas nozīmē, ka visas virsotnes (vai fasetes) ir ekvivalentas ar attiecību pret simetrijas grupu.
Grafiski hiperkuba 1-skeletons ir pazīstams kā hiperkubu grafs Q_n — tas ir regulārs graf ar 2^n virsotnēm un pakāpi n katrai virsotnei. Šis grafu tips bieži tiek pētīts kombinatorikā un datorzinātnē (piem., paralēlo skaitļošanu, koda teoriju, tīklu topoloģijas).
Duālais poliedrs un ģenerēšana
Hiperkuba duālais poliedrs ir ortoplais (cross-polytope jeb n-dimensiju ortoplekss), kas iegūstams no hiperkuba dualitātes attiecībā uz centru. Hiperkubu var ģenerēt arī kā Karteziska reizinājumu no intervāliem — tas padara to par svarīgu piemēru produktu poliedros un ortotopus ģimenē.
Piemēri
- n = 1: segments (divas virsotnes)
- n = 2: kvadrāts (4 virsotnes)
- n = 3: kubs (8 virsotnes)
- n = 4: tesserakts (16 virsotnes) — 4-dimensiju hiperkubs
Formulas kopsavilkumā (malas garums s)
- Virszonšu skaits: 2^n
- Malas skaits: n · 2^{n-1}
- k-dimensiju seju skaits: C(n,k) · 2^{n-k}
- Fasetes (n−1 sejas): 2n
- Tilpums (hipervolume): s^n
- Virsmas (kopējā (n−1)-dimensiju "platība"): 2n · s^{n-1}
- Garākā diagonāle: s · sqrt(n)
Hiperkubs ir vienkāršs, bet bagātīgs objekts gan tīrā matemātikā, gan lietojumos — no kombinatorikas un topoloģijas līdz datortīklu dizainam un optimizācijai. Tā īpašības viegli izpaužas caur koordinātas aprakstu, kombinatoriskajiem skaitļiem un simetriju grupu analīzi.
