Hiperkubs — n-dimensiju kubs: definīcija, īpašības un formula

Hiperkubs — n-dimensiju kubs: definīcija, īpašības, formulas un vienības hiperkuba diagonāle. Skaidri piemēri, vizualizācijas un pielietojumi n-dimensiju ģeometrijā.

Ģeometrijā hiperkubs ir kvadrāta (n = 2) un kuba (n = 3) n-dimensiju analogs. To var uztvert kā taisnstūra (intervalu) Karteziska reizinājumu n dimensijās — vienības hiperkubs bieži apzīmēts ar [0,1]^n. Hiperkubs ir slēgts, kompakts un konveks poliedrs, kura 1-skeletons sastāv no paralēliem līniju posmiem, kas izlīdzināti katrā dimensijā, ir perpendikulāri viens otram un vienāda garuma. Vienības hiperkuba garākā diagonāle n dimensijā ir vienāda ar n {\displaystyle {\sqrt {n}}} .

N-dimensiju hiperkubu sauc arī par n-kubiju vai n-dimensiju kubu. Tiek lietots arī termins "mērvienības politops", īpaši H. S. M. Koksetera darbos (sākotnēji no Eltes, 1912), taču mūsdienās tas biežāk tiek apzīmēts vienkārši kā hiperkubs vai n-kubs. Hiperkubs ir īpašs hipertaisnstūra (saukts arī par n-ortotopu) gadījums.

Definīcija un koordinātas

Vienības hiperkubs ir hiperkubs, kura malas garums ir viena vienība. Bieži ar terminu "vienības hiperkubs" saprot hiperkubu, kura stūri (virsotnes) ir 2^n punkti R^n, kur katra koordināta ir vienāda ar 0 vai 1. Alternatīvi, n-kubs ar malas garumu s var tikt definēts kā Karteziskais reizinājums [0,s]^n.

Galvenās īpašības

• Virsotņu skaits: hiperkubam ir 2^n virsotnes (katrai no n koordinātām divas iespējas — 0 vai 1).
• Malas (1-dimensiju elementi): kopējais malu skaits ir n · 2^{n-1} — katrai no n asīm ir 2^{n-1} malu kopijas.
• k-dimensiju seju skaits: hiperkuba k-dimensiju sejU (piem., plaknes sejas, malu komplekti utt.) skaits ir C(n,k) · 2^{n-k}, kur C(n,k) ir binomiālais koeficients.
• Fasetes (n−1 dimensiju sejas): hiperkubam ir 2n fasetes, katra no tām ir (n−1)-dimensiju kubs.
• Tilpums un virsmas "hiperplatība": ja malas garums ir s, tad n-dimensiju tilpums (hipervolume) ir s^n, bet kopējā (n−1)-dimensiju virsma (hiperplatība) ir 2n · s^{n-1}.
• Diagonāles: galvenās (visgarākās) diagonāles garums vienības hiperkubā ir sqrt(n). Vairāk vispār: diagonāles garums s · sqrt(m), ja tās savieno virsotnes, kas atšķiras m koordinātās.
• Konvekss un centrāli simetrisks: hiperkubs ir konveksa daudzstūris un ir centrāli simetrisks — pretējas virsotnes atrodas vienā attālumā no centra.

Simetrija un strukturālās īpašības

Hiperkubs ir regulārs poliedrs katrai dimensijai n: tā simetriju grupa ir hiperoctaedrālā grupa (B_n), kuras kārtība ir 2^n n!. Hiperkubs ir arī aizvietojams pēc virsotnēm (vertex-transitive) un pēc fasetēm, kas nozīmē, ka visas virsotnes (vai fasetes) ir ekvivalentas ar attiecību pret simetrijas grupu.

Grafiski hiperkuba 1-skeletons ir pazīstams kā hiperkubu grafs Q_n — tas ir regulārs graf ar 2^n virsotnēm un pakāpi n katrai virsotnei. Šis grafu tips bieži tiek pētīts kombinatorikā un datorzinātnē (piem., paralēlo skaitļošanu, koda teoriju, tīklu topoloģijas).

Duālais poliedrs un ģenerēšana

Hiperkuba duālais poliedrs ir ortoplais (cross-polytope jeb n-dimensiju ortoplekss), kas iegūstams no hiperkuba dualitātes attiecībā uz centru. Hiperkubu var ģenerēt arī kā Karteziska reizinājumu no intervāliem — tas padara to par svarīgu piemēru produktu poliedros un ortotopus ģimenē.

Piemēri

• n = 1: segments (divas virsotnes)
• n = 2: kvadrāts (4 virsotnes)
• n = 3: kubs (8 virsotnes)
• n = 4: tesserakts (16 virsotnes) — 4-dimensiju hiperkubs

Formulas kopsavilkumā (malas garums s)

• Virszonšu skaits: 2^n
• Malas skaits: n · 2^{n-1}
• k-dimensiju seju skaits: C(n,k) · 2^{n-k}
• Fasetes (n−1 sejas): 2n
• Tilpums (hipervolume): s^n
• Virsmas (kopējā (n−1)-dimensiju "platība"): 2n · s^{n-1}
• Garākā diagonāle: s · sqrt(n)

Hiperkubs ir vienkāršs, bet bagātīgs objekts gan tīrā matemātikā, gan lietojumos — no kombinatorikas un topoloģijas līdz datortīklu dizainam un optimizācijai. Tā īpašības viegli izpaužas caur koordinātas aprakstu, kombinatoriskajiem skaitļiem un simetriju grupu analīzi.

Būvniecība

Hiperkubu var definēt, palielinot figūras dimensiju skaitu:

0 - Punkts ir nulles dimensijas hiperkubs.

1 - Ja šo punktu pārvietosim par vienu vienību garumā, tas izmetīs līnijas posmu, kas ir vienības hiperkubs ar dimensiju viens.

2 - Ja šo līnijas posmu pārvietosim perpendikulārā virzienā no tā paša, tad tas izmet divdimensiju kvadrātu.

3 - Ja kvadrātu pārvietosim par vienu vienību garuma virzienā, kas ir perpendikulārs plaknei, uz kuras tas atrodas, tad izveidosies trīsdimensiju kubs.

4 - Ja kubu pārvieto par vienu vienības garumu ceturtajā dimensijā, rodas četrdimensiju vienības hiperkubs (vienības teserakts).

To var attiecināt uz jebkuru dimensiju skaitu. Šo apjomu izlīdzināšanas procesu var matemātiski formalizēt kā Minkovska summu: d-izmēru hiperkubs ir d savstarpēji perpendikulāru vienības garuma līniju segmentu Minkovska summa, un tāpēc tas ir zonotopa piemērs.

Hiperkuba 1-skeletons ir hiperkuba grafs.

Diagramma, kurā parādīts, kā no punkta izveidot teseraktu.


Animācija, kurā parādīts, kā no punkta izveidot teseraktu.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir hiperkubs?

J: Kāda ir garākā diagonāle n-dimensiju hiperkubā?

J: Vai ir vēl kāds cits termins, kas apzīmē n-dimensiju hiperkubu?

J: Ko nozīmē "vienības hiperkubs"?

J: Kā mēs varam definēt "hipertaisnstūri"?

Meklēt pēc burta