Sinusa likums — definīcija, formula un piemēri trijstūriem
Sinusa likums — skaidra definīcija, formula un soli-pa-solim piemēri trijstūriem: triangulācija, neviennozīmīgais gadījums un praktiskas uzdevumu risināšanas metodes.
Sinusa likums jeb sinusa likums ir teorēma matemātikā. Tā saka, ka, ja ir trijstūris kā attēlā redzamajā, tad ir taisnība zemāk redzamajam vienādojumam.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}},=\,{\frac {b}{\sin B}}},=\,{\frac {c}{\sin C}}},=\,D\! } 
Šī ir vēl viena versija, kas arī ir patiesa.
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}},=\,{\frac {\sin B}{b}}},=\,{\frac {\sin C}{c}}}! } 
D ir apvilktā apļa (trijstūra circumapļa) diametrs; biežāk raksta attiecīgi 2R, kur R ir apvilktā apļa rādiuss. Tātad parasti lieto formulu
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
Kas tas nozīmē un kam lieto
Sinusa likums savieno trijstūra malu garumus ar pretīm esošajiem leņķiem. Tas ļauj atrast trijstūra trūkstošās malas vai leņķus, ja zināmas daļas no informācijas. Visbiežāk lieto gadījumos:
- zināmi divi leņķi un viena mala (AAS vai ASA),
- zināmas divas malas un viens leņķis, kas nav starp šīm malām (SSA) — šajā gadījumā var rasties neviennozīmīgs gadījums.
Vienkāršs piemērs
Dot: A = 30°, B = 45°, a = 10 (sānis a pret leņķi A). Atrast b, c un R.
- Sākam ar trešo leņķi: C = 180° − A − B = 180° − 30° − 45° = 105°.
- Izmantojot sinusa likumu:
b = a · sin B / sin A = 10 · sin 45° / sin 30° ≈ 10 · 0.7071 / 0.5 ≈ 14.142
c = a · sin C / sin A = 10 · sin 105° / sin 30° ≈ 10 · 0.9659 / 0.5 ≈ 19.319 - Apvilktā apļa rādiuss R:
a / sin A = 2R ⇒ R = a / (2 sin A) = 10 / (2·0.5) = 10.
Neviennozīmīgais gadījums (SSA)
Ja dotas divas malas un leņķis, kas nav starp tām (SSA), var būt:
- neviens risinājums (ja sinusā iegūst vērtību > 1 vai ģeometriski nav iespējams),
- tieši viens risinājums,
- divi dažādi risinājumi (divi dažādi trijstūri ar vienām un tām pašām dotajām lielībām).
Nosacījums, kad var būt divi risinājumi: dotais leņķis (piemēram, A) ir akūts, un pretējā malai a ir tāda garuma attiecība pret citai dotajai mala b, ka b·sin A < a < b. Tad no sinusa likuma iegūst divas iespējamās leņķa B vērtības — arcsin(v) un 180° − arcsin(v) — abas var dot derīgas kombinācijas ar trešo leņķi.
Piemērs ar diviem risinājumiem: dot A = 30°, a = 6, b = 10.
sin B = b·sin A / a = 10·sin30° / 6 = 10·0.5 / 6 ≈ 0.83333 ⇒ B1 ≈ 56.44°, B2 ≈ 123.56°.
Abas B vērtības dod pozitīvus C = 180° − A − B, tātad pastāv divi dažādi trijstūri ar dotajām lielībām.
Kā droši izmantot sinusa likumu skaitļošanā
- Pārliecinieties, kuru leņķi (ar kura blakusmalas attiecību) meklējat un vai dots leņķis var radīt neviennozīmību (SSA).
- Ja izmantojat inverso sinusu (arcsin), vienmēr pārbaudiet arī iespēju ar papildleņķi 180° − arcsin(v), jo arcsin atgriež tikai vērtību intervālā [−90°, 90°].
- Skaitliskās kļūdas var rasties, ja izmantojat vērtības, kas ļoti tuvas 0 vai 1 pieskaitāmai robežai (piem., aprēķnos ar sinusu vai arcsin). Lai samazinātu kļūdas, lietojiet pietiekami precīzu skaitļu apstrādi un, kur iespējams, aprēķinus organizējiet tā, lai izvairītos no subtaktēm līdz 180° vai ļoti mažiem skaitļiem.
Neliels pierādījuma skices
Viens no vienkāršiem pierādījumiem balstās uz apvilkto apli (circumapli). Ja trijstūrim apvilktā aplī rādiuss ir R, tad jebkuras trijstūra malas garums pret leņķi A ir
a = 2R · sin A, b = 2R · sin B, c = 2R · sin C.
No turienes uzreiz iegūst a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, kas ir sinusa likuma forma ar apvilktā apļa diametru 2R.
Saites ar citiem likumiem
Sinusa likums bieži izmanto kopā ar kosinusu likumu, kas ļauj aprēķināt malu garumu, ja zināmas divas malas un to starpleņķis (SAS), vai aprēķināt leņķi, ja zināmas visas trīs malas (SSS). Kopā šie divi likumi nodrošina pilnu rīku komplektu, lai atrisinātu jebkuru trijstūra uzdevumu.
Īsi kopsavilkumā: sinusa likums ir ērtākais veids, kā sasaistīt malas ar pretējām leņķu sinusiskajām vērtībām; to izmanto triangulācijā, navigācijā un citur, taču jābūt uzmanīgiem ar neveiksmīgajiem SSA gadījumiem un ar numeriskajām kļūdām, kad lieto inversos trigonometriskos datora aprēķinos.
Trīsstūris ar burtiem, kas nepieciešami šim skaidrojumam. A, B un C ir leņķi. a ir mala pretī A . b ir mala pretī B . c ir mala pretī C.
Pierādījums
Jebkura trīsstūra laukumu T {\displaystyle T}
var uzrakstīt kā pusi no tā pamatnes, reizinātu ar tā augstumu (skaitot no virsotnes, kas nav uz pamatnes). Atkarībā no tā, kuru malu izvēlas par pamatu, laukumu var izteikt šādi
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Reizinot tos ar 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}, 
iegūstam
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}},. } 
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir zilais likums?
Atbilde: Sinusa likums, pazīstams arī kā sinusa likums, ir matemātiska teorēma, kas saka, ka, ja jums ir tāds trīsstūris kā attēlā, vienādojums ir pareizs.
J: Ko saka šis vienādojums?
A: Šis vienādojums saka, ka katras malas garuma attiecība pret tās pretējā stūra sinusu ir vienāda.
J: Kā to izmanto?
A: Sinusa likumu var izmantot, lai atrastu trīsstūra atlikušās malas, ja ir zināmi divi leņķi un viena mala. To var izmantot arī tad, ja ir zināmas divas malas un viens leņķis, ko abas malas nesavieno.
J: Kas notiek neskaidrā gadījumā?
A: Dažos gadījumos formula sniedz divas iespējamās iekļautā leņķa vērtības. Šo gadījumu sauc par neskaidru gadījumu.
J: Kā to var salīdzināt ar citiem trigonometriskiem vienādojumiem?
A: Sinusa likums ir viens no diviem trigonometriskiem vienādojumiem, ko izmanto, lai atrastu garumus un leņķus skalēna trīsstūros. Otrs ir kosinusa likums.
J: Kāda ir D vērtība? A: D ir vienāds ar trīsstūra perimetra diametru.
Meklēt