Montija Hola problēma — varbūtību paradokss un vienkāršs skaidrojums
Vienkāršs, vizuāls Montija Hola problēmas skaidrojums — saprotamas varbūtības, paradokss un praktiska stratēģija, kā palielināt uzvaras iespējas.
Montija Hola problēma ir slavena varbūtības (nejaušības) problēma. Šīs problēmas pamatā ir Amerikas Savienoto Valstu televīzijas spēļu šovs "Noslēdzam darījumu". Tā ir nosaukta šī raidījuma vārdā - Montijs Hols.
Spēles noteikumi ir vienkārši. Ir trīs durvis. Aiz vienām durvīm atrodas automašīna (augstvērtīga balva), bet aiz pārējām divām durvīm - kazas (zemas vērtības balvas). Spēlētājs vispirms izvēlas vienas durvis, bet tās neatver. Tad saimnieks (kurš zina, kas atrodas aiz katrām durvīm) atver vienas no atlikušajām durvīm, par kuru zina, ka aiz tās ir kaza. Pēc tam spēlētājam piedāvā izvēli: palikt pie sākotnējās izvēles vai pāriet uz trešajām durvīm (tām, kuras saimnieks neatvēra). Jautājums: vai izvēles maiņa palielina izredzes laimēt automašīnu?
Vienkāršs skaidrojums
Intuitīvi šķiet, ka, pēc tam, kad saimnieks atver durvis un atklāj kazu, abām neatvērtajām durvīm jābūt vienlīdz iespējām — bet tas nav pareizi. Galvenais ir saprast, ko deva sākotnējā izvēle un kādu informāciju sniedz saimnieka darbība.
- Sākotnējā izvēle: ja izvēlies vienas no trim durvīm, iespēja, ka tajās ir automašīna, ir 1/3.
- Iespēja, ka automašīna ir aiz kādas no pārējām divām durvīm, kopā ir 2/3.
- Saimnieka rīcība (atverot durvis ar kazu) nenodala šo 2/3 vienmērīgi starp divām durvīm—viņš apzināti atvēra durvis, kur aiz tām bija kaza. Tādēļ visa 2/3 "masa" pāriet uz vienīgajām neatvērtajām durvīm, ja spēlētāja sākotnējā izvēle bija kaza.
Tātad, ja spēlētājs paliek pie sākotnējās izvēles, viņam joprojām ir 1/3 izredzes uz automašīnu. Ja spēlētājs maina izvēli (pārslēdzas uz otru neatvērtu durvīm), viņa izredzes kļūst 2/3. Tādējādi maiņa palielina izredzes uzvarēt.
Trīs iespēju izklāsts (gadījumu sadalījums)
Varam to parādīt konkrētās situācijās. Pieņemsim, ka durvis numerētas 1–3, spēlētājs sākotnēji izvēlas durvis Nr.1.
- (Zaudēt): Ja automašīna sākotnēji bija aiz durvīm Nr.1 (varbūtība 1/3), saimnieks atvērs kādu no pārējām durvīm ar kazu. Ja spēlētājs pārslēdzas, viņš pāriet uz durvīm ar kazu un zaudē.
- (Uzvara): Ja automašīna bija aiz durvīm Nr.2 (varbūtība 1/3), saimnieks atvērs durvis Nr.3 (kaza). Ja spēlētājs pārslēdzas uz Nr.2, viņš uzvar automašīnu.
- (Uzvara): Ja automašīna bija aiz durvīm Nr.3 (varbūtība 1/3), saimnieks atvērs durvis Nr.2 (kaza). Ja spēlētājs pārslēdzas uz Nr.3, viņš uzvar automašīnu.
No trim vienādām sākuma iespējām divās gadījumos (2/3) maiņa noved pie uzvaras, vienā gadījumā (1/3) tā noved pie zaudējuma.
Matemātiskais pamatojums (īsi)
Apzīmēsim ar S notikumu, ka sākotnējā izvēle bija automašīna (P(S)=1/3). Ja sākotnējā izvēle nav automašīna (notikums S' ar P(S')=2/3), saimnieks piespēlē tā, lai atvērtu durvis ar kazu, un vienīgā neatvērtā durvju iespēja atliks ar automašīnu. Tādējādi:
- Ja paliek, tad uzvara tikai tad, ja S — P=1/3.
- Ja maina, tad uzvara notiek tieši, kad S' — P=2/3.
Biežāk sastopamie iebildumi un variācijas
- Misconception: daudzi uzskata, ka pēc durvju atvēršanas atlikušajām divām durvīm ir vienādas izredzes. Tas ignorē saimnieka zināšanas un viņa apzināto izvēli atvērt kazu.
- Hosta uzvedība ir svarīga. Parastā problēmas formulējumā saimnieks vienmēr atver durvis, kur aiz tām ir kaza, un vienmēr piedāvā iespēju mainīt. Ja saimnieks uzvedas citādi (piem., reizēm atklāj automašīnu vai reizēm izlases kārtībā atver durvis), var mainīties arī varbūtības, un jāanalizē konkrētā saimnieka stratēģija.
- Vispārīga versija: ja ir N durvis, spēlētājs izvēlas vienas, saimnieks atver N−2 durvis ar kazām un piedāvā pāriet uz vienīgajām atlikušajām durvīm, tad maiņas gadījumā uzvaras varbūtība ir (N−1)/N — gandrīz vienmēr izdevīgāk pārslēgties, jo sākotnējā izvēle deva tikai 1/N izredzes.
Pārbaude praksē
Vienkāršākais veids, kā to pārliecināties — veikt simulāciju vai spēlēt spēli daudz reižu. Ja veic simtiem vai tūkstošiem atsauču un vienmēr pārslēdzies, iegūsi aptuveni 2/3 uzvaru; ja paliec pie sākotnējās izvēles — aptuveni 1/3 uzvaru. Šo paradoksu plaši apsprieda, piemēram, žurnāliste Marilyn vos Savant, un tas radīja lielu domstarpību loku, kas vēlreiz uzsvēra, cik maldinoša var būt intuīcija varbūtību jautājumos.
Kopsavilkums: ja saimnieks vienmēr atver durvis ar kazu un piedāvā pārslēgties, maiņa palielina izredzes uzvarēt no 1/3 līdz 2/3. Tāpēc racionāla stratēģija ir vienmēr pārslēgties.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Montija Hola problēma?
A: Montija Hola problēma ir slavena varbūtības (nejaušības) problēma, kuras pamatā ir amerikāņu televīzijas spēļu šovs "Noslēdzam darījumu". Tam ir trīs durvis - vienas aiz automašīnas un divas aiz kazām.
J. Ko pasniedzējs zina?
A: Vadītājs zina, kas atrodas aiz katrām durvīm, un vienmēr izvēlas tās durvis, aiz kurām atrodas kaza.
J: Vai izvēles iespēju maiņa palielina izredzes iegūt automašīnu?
A: Jā, izvēles iespēju maiņa palielina iespēju iegūt automašīnu no 1/3 (viens no trim) uz 2/3 (divi no trim).
J: Kā šī varbūtība darbojas?
A: Sākotnējā durvju izvēlē ir tikai 1/3 iespēja, ka spēlētājs izvēlēsies durvis ar automašīnu. Pēc tam ir 2/3 iespēja, ka, ja spēlētājs mainīs savu izvēli pēc tam, kad redzēs, ka saimnieks atver citas durvis, viņš saņems automašīnu.
Jautājums.
A: Nē, ir trīs dažādi veidi, kā uzvarēt vai zaudēt, atkarībā no tā, vai spēlētājs maina savu izvēli pēc tam, kad redz, ka saimnieks atver vienas no citām durvīm. Ja sākotnēji izvēlaties pareizi un pēc tam maināt savu izvēli, jūs zaudējat; ja sākotnēji izvēlaties nepareizi, bet pēc tam maināt savu izvēli, jūs vinnēsiet; un ja sākotnēji izvēlaties pareizi, bet pēc tam savu izvēli nemaināt, jūs arī vinnēsiet.
J: Vai ir taisnība, ka maiņa palielina jūsu izredzes uzvarēt divas no trim reizēm?
A: Jā, tā ir taisnība, ka maiņa palielina jūsu izredzes laimēt divas no trim reizēm.
Meklēt