Ņūtona metode ļauj atrast funkcijas reālās nulles. Šo algoritmu dažkārt sauc par Ņūtona-Rafsona metodi, kas nosaukta sera Īzaka Ņūtona un Džozefa Rafsona vārdā.
Metode izmanto funkcijas atvasinājumu, lai atrastu tās saknes. Jānosaka nulles atrašanās vietas sākotnējā "uzminētā vērtība". No šīs vērtības pēc šīs formulas tiek aprēķināts jauns minējums:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}}. 
Šeit xn ir sākotnējais minējums un xn+1 ir nākamais minējums. Funkcijai f (kuras nulle tiek risināta) ir atvasinājums f'.
Atkārtoti piemērojot šo formulu ģenerētajiem minējumiem (t. i., nosakot xn vērtību formulas izejas vērtībai un veicot atkārtotus aprēķinus), minējumu vērtība tuvosies funkcijas nullei.
Ņūtona metodi var izskaidrot grafiski, aplūkojot pieskārienu līniju krustpunktus ar x asi. Vispirms tiek aprēķināta taisne, kas ir tangenta f punktā xn. Pēc tam tiek atrasts šīs tangentes līnijas krustpunkts ar x asi. Visbeidzot, šī krustpunkta x-pozīciju reģistrē kā nākamo piezīmi xn+1.
Kā metode darbojas (pakāpeniski)
- Sākotnējais minējums: izvēlies sākuma punktu x0, kas, pēc iespējas, atrodas tuvu faktiskajai saknei.
- Aprēķins: katrā iterācijā aprēķini x_{n+1} = x_n − f(x_n) / f'(x_n).
- Pārbaude: pārbaudi, vai atšķirība |x_{n+1} − x_n| vai |f(x_{n+1})| ir zem iepriekš noteikta sliekšņa (piem., 10^−8). Ja jā, apturi; citādi turpini.
Praktiskās prasības un ierobežojumi
Atvasinājuma esamība: metode prasa, lai f'(x) būtu zināms un nepārvērtētos par 0 iterācijas vietās. Ja f'(x_n)=0, formulā rodas dalījums ar nulli un metode nefunkcionē.
Sākotnējā minējuma nozīme: izvēle x0 var būt kritiska. Ja x0 ir pārāk tālu no saknes, iterācijas var nekonverģēt vai novest pie citām saknēm vai periodiskiem uzvedumiem.
Daudzšķautņu vai vairākkārtējas saknes: ja sakne ir vairākkārtēja (piem., sakne ar multiplicitāti >1), konverģence parasti kļūst lēnāka. Pastāv modiifikācijas (piem., modifikācija, kas izmanto multiplicitāti), lai atjaunotu ātrāku konverģenci.
Ātrums: ja metode konverģē no pietiekami labas sākotnējās vērtības un sakne ir vienkārša (multiplicitāte 1), konverģence ir kvadrātiska — kļūda samazinās aptuveni kvadrātā katrā solī, tāpēc nepieciešams salīdzinoši maz iterāciju, lai sasniegtu augstu precizitāti.
Kad metode var neizdoties
- Ja f'(x_n)=0 vai ir ļoti tuvu nullei — var rasties lieli soļi vai dalījums ar nulli.
- Ja f nav pietiekami gluda vai atvasinājums nav precīzs (piem., numeriskās aprēķina kļūdas), rezultāts var būt nestabils.
- Sākuma punkts var novest pie citu sakņu atrašanas vai uzvedības bez konverģences (cikli, diverģence).
Praktiski padomi
- Izmanto labu sākotnējo uzmini — vizuāla funkcijas analizēšana vai intervāla saknes meklēšana ar zīmes maiņu var palīdzēt.
- Ja f'(x) nav viegli aprēķināms analītiski, var izmantot skaitlisku atvasinājumu, taču jāņem vērā papildu kļūdas.
- Ja ir aizdomas par vairākkārtējām saknēm, izmēģini modificētu Ņūtona formulu vai citas metodes (piem., sekanta metode, bisekcija) kā rezerves variantu.
- Ievieto drošības mehānismus: maksimālais iterāciju skaits, pārbaude uz "bailēm" (lielas izmaiņas), vai pāreja uz robustāku metodi, ja rodas problēmas.
Piemērs
Vienkāršs piemērs: atrast sakni f(x)=x^2−2 (tas ir, √2). Ja izvēlamies x0=1, iterācijas norit šādi (apmēram):
- x1 = 1 − (1^2−2)/(2·1) = 1.5
- x2 ≈ 1.416666667
- x3 ≈ 1.414215686
- x4 ≈ 1.414213562
Pēc dažām iterācijām iegūstam precīzu vērtību līdz daudzām zīmēm aiz komata — tas demonstrē kvadrātisko konverģenci gadījumā, kad atvasinājums ir vienkāršs un sākuma punkts ir pietiekami labs.
Paplašinājumi
Ņūtona metodi var vispārināt, lai risinātu vienādojumu sistēmas (izmanto Jakobi matricas atvasinājumus) vai pielāgot, lai uzlabotu stabilitāti (dampētas Newtons metodes, modifikācijas vairākkārtējām saknēm utt.).
Īsumā: Ņūtona–Rafsona metode ir spēcīgs rīks sakņu atrašanai, ja pieejams atvasinājums un izvēlēts labs sākuma punkts; tomēr tai jāpiemēro piesardzīgi — pārgriešanas gadījumi, atvasinājuma nulles un slikta sākuma izvēle var padarīt metodi nepiemērotu bez pielāgošanas.
