Ņūtona metode
Ņūtona metode ļauj atrast funkcijas reālās nulles. Šo algoritmu dažkārt sauc par Ņūtona-Rafsona metodi, kas nosaukta sera Īzaka Ņūtona un Džozefa Rafsona vārdā.
Metode izmanto funkcijas atvasinājumu, lai atrastu tās saknes. Jānosaka nulles atrašanās vietas sākotnējā "uzminētā vērtība". No šīs vērtības pēc šīs formulas tiek aprēķināts jauns minējums:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}}. 
Šeit xn ir sākotnējais minējums un xn+1 ir nākamais minējums. Funkcijai f (kuras nulle tiek risināta) ir atvasinājums f'.
Atkārtoti piemērojot šo formulu ģenerētajiem minējumiem (t. i., nosakot xn vērtību formulas izejas vērtībai un veicot atkārtotus aprēķinus), minējumu vērtība tuvosies funkcijas nullei.
Ņūtona metodi var izskaidrot grafiski, aplūkojot pieskārienu līniju krustpunktus ar x asi. Vispirms tiek aprēķināta taisne, kas ir tangenta f punktā xn. Pēc tam tiek atrasts šīs tangentes līnijas krustpunkts ar x asi. Visbeidzot, šī krustpunkta x-pozīciju reģistrē kā nākamo piezīmi xn+1.
Funkcija (zilā krāsā) tiek izmantota, lai aprēķinātu tangentes līnijas (sarkanā krāsā) slīpumu punktā xn.
Problēmas ar Ņūtona metodi
Ar Ņūtona metodi var ātri atrast risinājumu, ja minētā vērtība sākas pietiekami tuvu vajadzīgajai saknei. Tomēr, ja sākotnējā domājamā vērtība nav tuvu un atkarībā no funkcijas, Ņūtona metode var atrast risinājumu lēni vai vispār neatrast.
Plašāka lasīšana
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Ņūtona metode: Kantoroviča teorijas atjaunināta pieeja. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, otrais drukātais izdevums. Sērija Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Vēsturiskā attīstība Ņūtona un Ņūtonam līdzīgo metožu konverģences analīzē". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century. North-Holland. 241.-263. lpp.
Skatīt arī
- Kantoroviča teorēma (Leonīda Kantoroviča atrastais apgalvojums par Ņūtona metodes konverģenci)
| Iestādes kontrole |
|
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Ņūtona metode?
A: Ņūtona metode ir algoritms funkcijas reālo nulļu atrašanai. Tā izmanto funkcijas atvasinājumu, lai aprēķinātu tās saknes, un nulles atrašanās vietai ir nepieciešama sākotnējā vērtība.
J: Kas izstrādāja šo metodi?
A: Metodi izstrādāja sers Īzaks Ņūtons un Džozefs Rafsons, tāpēc to dažkārt sauc par Ņūtona-Rafsona metodi.
J: Kā šis algoritms darbojas?
A: Šis algoritms darbojas, atkārtoti piemērojot formulu, kurā tiek ņemta sākotnējā varbūtējā vērtība (xn) un aprēķināta jauna varbūtējā vērtība (xn+1). Atkārtojot šo procesu, minējumi tuvojas funkcijas nullei.
J: Kas nepieciešams, lai izmantotu šo algoritmu?
A: Lai izmantotu šo algoritmu, jums ir jābūt sākotnējai nulles atrašanās vietas "minētajai vērtībai", kā arī zināšanām par dotās funkcijas atvasinājumu.
J: Kā mēs varam grafiski izskaidrot Ņūtona metodi?
A: Ņūtona metodi var izskaidrot grafiski, aplūkojot pieskārienu līniju krustpunktus ar x asi. Vispirms tiek aprēķināta taisne, kas ir tangenta f punktā xn. Pēc tam mēs atrodam šīs tangentes līnijas krustpunktu ar x asi un reģistrējam tās x-pozīciju kā nākamo minējumu - xn+1.
Vai, izmantojot Ņūtona metodi, ir kādi ierobežojumi?
A: Jā, ja jūsu sākotnējā domas vērtība ir pārāk tālu no faktiskās saknes, tad var paiet ilgāks laiks vai pat var neizdoties konverģēt uz sakni, jo ap to notiek svārstības vai tā atšķiras no saknes.
