Ņūtona–Rafsona metode: sakņu atrašana ar tangentu iterācijām
Uzzini, kā Ņūtona–Rafsona metode atrisina saknes ar tangentu iterācijām — ātra, precīza numerrisināšana un vizuāla intuīcija darbības principā.
Ņūtona metode ļauj atrast funkcijas reālās nulles. Šo algoritmu dažkārt sauc par Ņūtona-Rafsona metodi, kas nosaukta sera Īzaka Ņūtona un Džozefa Rafsona vārdā.
Metode izmanto funkcijas atvasinājumu, lai atrastu tās saknes. Jānosaka nulles atrašanās vietas sākotnējā "uzminētā vērtība". No šīs vērtības pēc šīs formulas tiek aprēķināts jauns minējums:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}}. 
Šeit xn ir sākotnējais minējums un xn+1 ir nākamais minējums. Funkcijai f (kuras nulle tiek risināta) ir atvasinājums f'.
Atkārtoti piemērojot šo formulu ģenerētajiem minējumiem (t. i., nosakot xn vērtību formulas izejas vērtībai un veicot atkārtotus aprēķinus), minējumu vērtība tuvosies funkcijas nullei.
Ņūtona metodi var izskaidrot grafiski, aplūkojot pieskārienu līniju krustpunktus ar x asi. Vispirms tiek aprēķināta taisne, kas ir tangenta f punktā xn. Pēc tam tiek atrasts šīs tangentes līnijas krustpunkts ar x asi. Visbeidzot, šī krustpunkta x-pozīciju reģistrē kā nākamo piezīmi xn+1.
Kā metode darbojas (pakāpeniski)
- Sākotnējais minējums: izvēlies sākuma punktu x0, kas, pēc iespējas, atrodas tuvu faktiskajai saknei.
- Aprēķins: katrā iterācijā aprēķini x_{n+1} = x_n − f(x_n) / f'(x_n).
- Pārbaude: pārbaudi, vai atšķirība |x_{n+1} − x_n| vai |f(x_{n+1})| ir zem iepriekš noteikta sliekšņa (piem., 10^−8). Ja jā, apturi; citādi turpini.
Praktiskās prasības un ierobežojumi
Atvasinājuma esamība: metode prasa, lai f'(x) būtu zināms un nepārvērtētos par 0 iterācijas vietās. Ja f'(x_n)=0, formulā rodas dalījums ar nulli un metode nefunkcionē.
Sākotnējā minējuma nozīme: izvēle x0 var būt kritiska. Ja x0 ir pārāk tālu no saknes, iterācijas var nekonverģēt vai novest pie citām saknēm vai periodiskiem uzvedumiem.
Daudzšķautņu vai vairākkārtējas saknes: ja sakne ir vairākkārtēja (piem., sakne ar multiplicitāti >1), konverģence parasti kļūst lēnāka. Pastāv modiifikācijas (piem., modifikācija, kas izmanto multiplicitāti), lai atjaunotu ātrāku konverģenci.
Ātrums: ja metode konverģē no pietiekami labas sākotnējās vērtības un sakne ir vienkārša (multiplicitāte 1), konverģence ir kvadrātiska — kļūda samazinās aptuveni kvadrātā katrā solī, tāpēc nepieciešams salīdzinoši maz iterāciju, lai sasniegtu augstu precizitāti.
Kad metode var neizdoties
- Ja f'(x_n)=0 vai ir ļoti tuvu nullei — var rasties lieli soļi vai dalījums ar nulli.
- Ja f nav pietiekami gluda vai atvasinājums nav precīzs (piem., numeriskās aprēķina kļūdas), rezultāts var būt nestabils.
- Sākuma punkts var novest pie citu sakņu atrašanas vai uzvedības bez konverģences (cikli, diverģence).
Praktiski padomi
- Izmanto labu sākotnējo uzmini — vizuāla funkcijas analizēšana vai intervāla saknes meklēšana ar zīmes maiņu var palīdzēt.
- Ja f'(x) nav viegli aprēķināms analītiski, var izmantot skaitlisku atvasinājumu, taču jāņem vērā papildu kļūdas.
- Ja ir aizdomas par vairākkārtējām saknēm, izmēģini modificētu Ņūtona formulu vai citas metodes (piem., sekanta metode, bisekcija) kā rezerves variantu.
- Ievieto drošības mehānismus: maksimālais iterāciju skaits, pārbaude uz "bailēm" (lielas izmaiņas), vai pāreja uz robustāku metodi, ja rodas problēmas.
Piemērs
Vienkāršs piemērs: atrast sakni f(x)=x^2−2 (tas ir, √2). Ja izvēlamies x0=1, iterācijas norit šādi (apmēram):
- x1 = 1 − (1^2−2)/(2·1) = 1.5
- x2 ≈ 1.416666667
- x3 ≈ 1.414215686
- x4 ≈ 1.414213562
Pēc dažām iterācijām iegūstam precīzu vērtību līdz daudzām zīmēm aiz komata — tas demonstrē kvadrātisko konverģenci gadījumā, kad atvasinājums ir vienkāršs un sākuma punkts ir pietiekami labs.
Paplašinājumi
Ņūtona metodi var vispārināt, lai risinātu vienādojumu sistēmas (izmanto Jakobi matricas atvasinājumus) vai pielāgot, lai uzlabotu stabilitāti (dampētas Newtons metodes, modifikācijas vairākkārtējām saknēm utt.).
Īsumā: Ņūtona–Rafsona metode ir spēcīgs rīks sakņu atrašanai, ja pieejams atvasinājums un izvēlēts labs sākuma punkts; tomēr tai jāpiemēro piesardzīgi — pārgriešanas gadījumi, atvasinājuma nulles un slikta sākuma izvēle var padarīt metodi nepiemērotu bez pielāgošanas.
Funkcija (zilā krāsā) tiek izmantota, lai aprēķinātu tangentes līnijas (sarkanā krāsā) slīpumu punktā xn.
Problēmas ar Ņūtona metodi
Ar Ņūtona metodi var ātri atrast risinājumu, ja minētā vērtība sākas pietiekami tuvu vajadzīgajai saknei. Tomēr, ja sākotnējā domājamā vērtība nav tuvu un atkarībā no funkcijas, Ņūtona metode var atrast risinājumu lēni vai vispār neatrast.
Plašāka lasīšana
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Ņūtona metode: Kantoroviča teorijas atjaunināta pieeja. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, otrais drukātais izdevums. Sērija Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Vēsturiskā attīstība Ņūtona un Ņūtonam līdzīgo metožu konverģences analīzē". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century. North-Holland. 241.-263. lpp.
Skatīt arī
- Kantoroviča teorēma (Leonīda Kantoroviča atrastais apgalvojums par Ņūtona metodes konverģenci)
| Iestādes kontrole |
|
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Ņūtona metode?
A: Ņūtona metode ir algoritms funkcijas reālo nulļu atrašanai. Tā izmanto funkcijas atvasinājumu, lai aprēķinātu tās saknes, un nulles atrašanās vietai ir nepieciešama sākotnējā vērtība.
J: Kas izstrādāja šo metodi?
A: Metodi izstrādāja sers Īzaks Ņūtons un Džozefs Rafsons, tāpēc to dažkārt sauc par Ņūtona-Rafsona metodi.
J: Kā šis algoritms darbojas?
A: Šis algoritms darbojas, atkārtoti piemērojot formulu, kurā tiek ņemta sākotnējā varbūtējā vērtība (xn) un aprēķināta jauna varbūtējā vērtība (xn+1). Atkārtojot šo procesu, minējumi tuvojas funkcijas nullei.
J: Kas nepieciešams, lai izmantotu šo algoritmu?
A: Lai izmantotu šo algoritmu, jums ir jābūt sākotnējai nulles atrašanās vietas "minētajai vērtībai", kā arī zināšanām par dotās funkcijas atvasinājumu.
J: Kā mēs varam grafiski izskaidrot Ņūtona metodi?
A: Ņūtona metodi var izskaidrot grafiski, aplūkojot pieskārienu līniju krustpunktus ar x asi. Vispirms tiek aprēķināta taisne, kas ir tangenta f punktā xn. Pēc tam mēs atrodam šīs tangentes līnijas krustpunktu ar x asi un reģistrējam tās x-pozīciju kā nākamo minējumu - xn+1.
Vai, izmantojot Ņūtona metodi, ir kādi ierobežojumi?
A: Jā, ja jūsu sākotnējā domas vērtība ir pārāk tālu no faktiskās saknes, tad var paiet ilgāks laiks vai pat var neizdoties konverģēt uz sakni, jo ap to notiek svārstības vai tā atšķiras no saknes.
Meklēt