Principia Mathematica — Vaitheds un Rasels: simboliskās loģikas pamats
Principia Mathematica: Vaitheda un Rasela trīs sējumu darbs — simboliskās loģikas, aksiomu un matemātikas pamatu vēsturisks pārskats un ietekme filozofijā.
Īzaka Ņūtona grāmatu, kurā ietverti fizikas pamatlikumi, skatīt Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Atceros, kā Bertrēns Rasels man stāstīja par briesmīgu sapni. Viņš atradās Universitātes bibliotēkas augšējā stāvā, ap 2100. gadu pēc Kristus. Bibliotēkas asistents staigāja pa plauktiem ar milzīgu spaini, noņēma grāmatas, apskatīja tās, atguva atpakaļ plauktos vai iemeta tās spainī. Beidzot viņš nonāca pie trim lieliem sējumiem, kurus Rasels atpazina kā pēdējo saglabājušos Principia Mathematica eksemplāru. Viņš paņēma vienu no sējumiem, pāršķirstīja dažas lappuses, uz mirkli šķita neizpratnē par interesanto simboliku, aizvēra sējumu, līdzsvaroja to rokās un vilcinājās.....
Hardy, G. H. (2004) [1940]. Matemātiķa apoloģija. Cambridge: University Press. 83. lpp. ISBN 978-0-521-42706-7.
Principia Mathematica ir trīs sējumu darbs par matemātikas pamatiem, ko sarakstīja Alfrēds Nords Vaitheds un Bertrans Rasels. Tas tika publicēts 1910., 1912. un 1913. gadā. 1927. gadā tas iznāca otrajā izdevumā ar nozīmīgu ievadu un dažādām piezīmēm beigās. To bieži vien dēvē par PM.
Grāmata bija mēģinājums aprakstīt aksiomu un secināšanas noteikumu kopumu simboliskajā loģikā, ar kuru palīdzību principā varētu pierādīt visas matemātiskās patiesības. Šim vērienīgajam projektam ir liela nozīme matemātikas un filozofijas vēsturē. Autori uzskatīja, ka šādu projektu ir iespējams īstenot. Tomēr 1931. gadā Gēdela nepabeigtības teorēma pierādīja, ka PM un jebkurš cits mēģinājums nekad nevarēs sasniegt šo mērķi. Jebkuram ierosinātajam aksiomu un secināšanas noteikumu kopumam vai nu sistēmai jābūt nekonsekventai, vai arī faktiski jābūt kādām matemātikas patiesībām, kuras no tām nevar atvasināt.
Viens no galvenajiem PM iedvesmas avotiem un motīviem bija Gottloba Freges agrākais darbs par loģiku.
PM nedrīkst sajaukt ar 1903. gadā izdotajiem Rasela "Matemātikas principiem". PM ir teikts: Mēs sākotnēji bijām iecerējuši, ka šis darbs būs ... "Matemātikas principu" otrais sējums...". Taču, mums turpinot darbu, kļuva arvien skaidrāks, ka šis temats ir daudz plašāks, nekā mēs bijām domājuši...".
The Modern Library to ierindoja 23. vietā starp 100 labākajām 20. gadsimta angļu valodā sarakstītajām bezliteratūras grāmatām.
Projekta mērķis un pieeja
Galvenais PM mērķis bija demonstrēt loģiskisma ideju — matemātiku reducēt līdz loģikai un aksiomām, tādējādi parādot, ka matemātiskās patiesības ir loģiski atvasināmas. Lai to panāktu, Vaitheds un Rasels izstrādāja ļoti stingru simbolisku formalismu, kurā pakāpeniski tiek definētas loģikas pamatkonstrukcijas, klases, attiecības un skaitļi, kā arī tiek uzstādīti secināšanas noteikumi un aksiomas. Darbs ir sistēmisks: no pamatprincipiem tiek būvētas arvien sarežģītākas teorijas, līdz tiek sasniegta pirmā kārtas aritmētika un citas matemātikas daļas.
Galvenie tehniskie elementi
- Tiposistēma: Lai izvairītos no paradoksiem (piem., Rasela paradokss), PM ievieš ramificētu tipu teoriju — sarežģītu tipu hierarhiju, kas nosaka, kādi jēdzieni un klases var attiekties uz kuriem objektiem.
- Aksioma par reducēšanu (axiom of reducibility): Lai atjaunotu plašāku matemātisko spēju, autori ieviesa redukcijas aksiomu, kas tika kritizēta kā formāls un daļēji ad hoc risinājums.
- Simboliskā notācija: PM izmantoja detalizētu un blīvu simboliku, kas padarīja tekstu grūti lasāmu plašākai auditorijai, taču nodrošināja ļoti precīzu formalizāciju.
- Definīcijas ķēde: Sākot no loģikas aksiomām un izteikumu noteikumiem, autori definē klases, funkcijas, relačijas, skaitļus (ieskaitot naturālos), kā arī citus jēdzienus matemātikā.
Vēsturisks konteksts un reakcija
Kad PM iznāca, tas radīja ievērojamu ietekmi gan matemātikā, gan filozofijā. Daudzi atzinīgi novērtēja mēģinājumu precīzi formalizēt matemātiku un padziļināt loģikas instrumentus. Tajā pašā laikā daļa kritiķu norādīja uz projekta sarežģītību, mazinātu praktisko lietojamību un uz to, ka daži ievadītie mehānismi (piem., redukcijas aksioma) šķiet nepārliecinoši no filozofiskā viedokļa.
Gēdels un projekta ierobežojumi
1931. gadā Kurtam Gēdelam publicējot savu nepabeigtības teoremu, kļuva skaidrs, ka nekāds formāls aksiomu un noteikumu kopums, ja tas ir konsekvents un pietiekami izteiksmīgs (piem., ietver elementāru aritmētiku), nevar būt gan pilnīgs, gan pierādāms tā iekšienē. Tas tieši ietekmēja arī PM — Gēdels parādīja, ka Rasela un Vaitheda cerības pilnībā "pierādīt visas matemātiskās patiesības" ar vienu aksiomātisku, likumsakarīgu sistēmu ir sasniedzamas tikai daļēji. Tomēr PM vēsturiskā nozīme paliek nemainīga — tas ieviesa daudz svarīgu ideju un formalizācijas paņēmienus.
Ietekme un mantojums
Principia Mathematica ietekmēja vairāku jomu attīstību: analītisko filozofiju, loģiku, formālo valodu teoriju un vēlāk arī datorsistēmu teorijas pamatus. Dažas PM idejas (simboliskā formalizācija, skaidrs aksiomatiskās metodes uzsvars) kļuva par standartu akadēmiskajā domāšanā. Tomēr aritmētikas un kardinālo konstrukciju formālā attīstība galu galā orientējās arī uz citiem aksiomātiskajiem ietvariem, piemēram, Zermelo–Fraenkel kopu teoriju, kas kļuva par populāru pamatu mūsdienu matemātikai.
Praktiski un kultūras aspekti
PM ir pazīstams ne tikai ar savu teorētisko saturu, bet arī ar kultūras anekdotēm: daudzi skolēni un speciālisti norāda uz tā blīvo stilistiku un prasmi ilgi attīstīt šķietami vienkāršas lietas (bieži minētais piemērs ir slavens un plaši citēts ilustratīvs pierādījums tam, ka 1 + 1 = 2, kas parādās tikai pēc apjomīga iepriekšējo definīciju un lematu uzbūvēšanas). Rasela un Vaitheda darbs paliek vēsturisks dokumenta piemērs tam, kā augsti ambiciozs formāls projekts var mainīt domāšanas paradigmas, pat ja tā praktiskie mērķi nav pilnībā sasniegti.
Sekas mūsdienām
Mūsdienu loģikā un matemātikas filozofijā PM tiek uzskatīta par vienu no stūrakmeņiem — nozīmīgu, ambiciozu un reizēm pretrunīgu darbu. No formālās puses daudzas idejas, strukturālās pieejas un izteiksmes veidi, kas tika attīstīti PM, joprojām ir vērtīgi izglītībā un pētījumos. Vienlaikus PM vēstījums par loģikas spēku un ierobežojumiem skaidri atgādina par formālo sistēmu iespējām un to robežām.
Avoti un papildus lasāmviela: PM oriģinālie sējumi, Rasela un Vaitheda publicētie raksti, Gēdela darbi par nepabeigtību, kā arī vēsturiskās analīzes par loģiskismu un tipu teoriju. Lai arī PM vairs netiek lietots kā vienīgais vai galvenais matemātikas pamats, tā sistemātiskā formalizācija un intelektuālā ambicija turpina iedvesmot domātājus un pētniekus.
Principia Mathematica saīsinātās versijas titullapa līdz *56
Jautājumi un atbildes
J: Kāds ir Īzaka Ņūtona grāmatas nosaukums?
A: Īzaka Ņūtona grāmatas nosaukums ir Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
J: Kas uzrakstīja Principia Mathematica?
A: Principia Mathematica sarakstīja Alfrēds Nords Vaitheds un Bertrands Rasels.
J: Kad tika publicēta Principia Mathematica?
A: Principia Mathematica tika publicēta 1910., 1912. un 1913. gadā.
J: Ko autori uzskatīja, ka viņi varētu paveikt ar šo grāmatu?
A.: Autori uzskatīja, ka viņi varētu izmantot grāmatu, lai aprakstītu aksiomu kopumu, secināšanas noteikumus un neapstrīdēšanas likumu simboliskajā loģikā, no kuriem principā varētu pierādīt visas matemātiskās patiesības.
J: Kā Gēdela nepilnības teorēma pierādīja, ka šis mērķis nav iespējams?
A: Gēdela nepilnības teorēma pierādīja, ka jebkuram piedāvātajam aksiomu un secināšanas noteikumu kopumam vai nu sistēmai jābūt nekonsekventai, vai arī patiesībā jābūt matemātikas patiesībām, kuras no tām nevar atvasināt. Tādējādi tas pierādīja, ka šo vērienīgo projektu nav iespējams īstenot.
J: Kas iedvesmoja un motivēja PM?
A: PM iedvesmoja un motivēja Gotloba Freges agrākais darbs par loģiku.
J: Ar ko PM atšķiras no 1903. gadā izdotajiem Rasela "Matemātikas principiem"?
A:PM atšķiras no Rasela 1903. gada "Matemātikas principiem", jo PM ir teikts: "Šo darbu mēs sākotnēji bijām iecerējuši kā ... "Matemātikas principu" otro sējumu.... Taču, mums turpinot darbu, kļuva arvien skaidrāks, ka šis temats ir daudz plašāks, nekā mēs bijām domājuši...".
Meklēt