Varbūtību telpa: definīcija, Kolmogorova aksiomas un piemēri

Iepazīstiet varbūtību telpas definīciju, Kolmogorova aksiomas un skaidrus piemērus — sigma-algebra, paraugu telpa un P-funkcija saprotami un praktiski.

Varbūtību telpa ir matemātisks modelis, ko izmanto zinātnisko eksperimentu aprakstīšanai. Varbūtību telpa sastāv no trim daļām:

1. Paraugu telpa Ω — kopums, kurā uzskaitīti visi iespējamie iznākumi (rezultāti) ekspermenta vai nejaušā procesa izpildei.
2. Notikumu kopa F — kolekcija arā paraugu telpas apakškopām (tieši šīs apakškopas saucam par notikumiem). Katrs notikums satur nulli vai vairāk iznākumu.
3. Varbūtības mērs P — funkcija, kas katram notikumam no F piešķir skaitli no [0,1], interpretējamu kā notikuma iestāšanās varbūtība.

Iznākums (atzīmēts parasti ar ω) ir viena eksperimenta vai modeļa izpildes rezultāts. Lai aprakstītu praktiski nozīmīgus gadījumus, atsevišķus iznākumus grupē, veidojot notikumus. Visu šādu notikumu kopums parasti ir σ-algebra F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}. Sigma-algebra nozīmē, ka F satur Ω, ir slēgta attiecībā uz papildinājumu (ja A∈F, tad arī A^c∈F) un slēgta attiecībā uz skaitlisku apvienošanu (ja A1,A2,...∈F, tad ⋃_{n} A_n ∈F). Visbeidzot, katram notikumam ir jāpiešķir varbūtība — to nodrošina varbūtības mērs P.

Kolmogorova aksiomas

Padomju matemātiķis Andrejs Kolmogorovs 20. gadsimta 30. gados formalizēja varbūtību teoriju, definējot to kā mērvienību uz σ-algebras. Kolmogorova aksiomas par P ir šādas:

1. Ne-negativitāte: par jebkuru A∈F ir P(A) ≥ 0.
2. Normalizācija: P(Ω) = 1.
3. Skaitliski additivitāte (σ-additivitāte): ja A1, A2, ... ir savstarpēji nepārklājošas (disjunktas) kopas no F, tad P(⋃_{n=1}^∞ A_n) = Σ_{n=1}^∞ P(A_n).

No šīm aksiomām izriet arī dažas noderīgas sekas: P(∅)=0, ja A⊆B tad P(A) ≤ P(B) (monotonija), un ja A un B ir jebkuri notikumi, tad P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

Kā interpretēt varbūtību

Pēc vienas interpretācijas "daba" izvēlas vienu iznākumu ω no paraugu telpas Ω. Ja eksperimentu atkārtotu daudz reižu, relatīvā biežuma interpretācija paredz, ka katra notikuma novērošanas biežums tuvosies tās P vērtībai. Mērvienību interpretācija (mēru teorija) uztver P kā abstraktu mēru uz σ-algebras, kas spēj aprakstīt gan diskrētas, gan nepārtrauktas sadalījuma situācijas.

Piemēri

• Monētas metiens: Ω = {H, T}, F parasti ir visas apakškopas {∅, {H}, {T}, Ω}, P({H}) = P({T}) = 1/2 — vienkāršs diskrēts piemērs.
• Kauliņa mešana: Ω = {1,2,3,4,5,6}, pieņemot fair kauliņu, P({i}) = 1/6 katram i.
• Vienmērīgais sadalījums uz intervāla: Ω = [0,1], F = Borel σ-algebra uz [0,1], P ir Lebesga mērs (garuma mērs), tā ka P([a,b]) = b−a. Šis ir nepārtraukta sadalījuma piemērs.
• Normālais sadalījums: Ω = R (vai kāda piemērota L∞ telpa), F = Borel σ-algebra, P ir mērs, kura blīvums attiecībā pret Lebesga mēru ir (1/(σ√(2π))) e^{−(x−μ)^2/(2σ^2)}. Tā apraksta daudz reālu nepārtrauktu procesu.

Saistītie jēdzieni

• Neatkarība: divi notikumi A un B ir neatkarīgi, ja P(A∩B)=P(A)P(B). Arī var definēt neatkarību nejaušajiem lielumiem.
• Nosacītā varbūtība: P(A|B)=P(A∩B)/P(B), ja P(B)>0 — svarīgs rīks statistikai un Bayesa pieejā.
• Nejaušais lielums: funkcija X:(Ω,F)→(R,B), kas ir F-measurable; tā nodrošina, ka preimage {ω: X(ω)≤x} pieder F un tādējādi tam var piešķirt varbūtību P(X≤x).

Apkopojot: varbūtību telpa (Ω, F, P) nodrošina stingru un universālu rīku, lai modelētu nejaušību gan vienkāršos diskrētos gadījumos, gan sarežģītos nepārtrauktos procesus, un Kolmogorova aksiomas sniedz pamatnoteikumus šī modeļa uzbūvei. F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir varbūtības telpa?

J: No kā sastāv izlases telpa?

J: Kas ir iznākums?

J: Kādam nolūkam varbūtību telpās izmanto notikumus?

J: Kā katram notikumam tiek piešķirta varbūtība?

Meklēt pēc burta