Matemātiskie modeļi — definīcija, veidi un pielietojumi zinātnē

Uzzini matemātisko modeļu definīciju, galvenos veidus, piemērus un praktiskos pielietojumus fizikā, bioloģijā, ekonomikā un inženierzinātnēs.

Matemātiskais modelis ir sistēmas apraksts, izmantojot matemātiskus jēdzienus un valodu. Matemātiskā modeļa izveides procesu sauc par matemātisko modelēšanu. Matemātiskos modeļus izmanto dabas zinātnēs (piemēram, fizikā, bioloģijā, zemes zinātnēs, meteoroloģijā) un inženierzinātnēs (piemēram, datorzinātnēs, mākslīgajā intelektā). Tos izmanto arī sociālajās zinātnēs (piemēram, ekonomikā, psiholoģijā, socioloģijā un politoloģijā). Matemātiskos modeļus daudz izmanto fiziķi, inženieri, statistiķi, operāciju izpētes analītiķi un ekonomisti[1][2].

Matemātiskie modeļi var būt dažādi. Modeļu veidi ir šādi:

• dinamiskās sistēmas - sistēmām, kas mainās,
• statistiskie modeļi - lai atrastu modeļus lielās mērījumu vai datu grupās,
• diferenciālvienādojumi - lai pētītu, kā mainīgie mainās laika gaitā, vai
• spēļu teorijas modeļi - lai izpētītu, kā daudzi neatkarīgi lēmumu pieņēmēji var mijiedarboties.

Šie un citi modeļu veidi var pārklāties, un konkrētais modelis var ietvert dažādas abstraktas struktūras. Matemātiskie modeļi var ietvert loģiskos modeļus. Daudzos gadījumos zinātnes nozares kvalitāte ir atkarīga no tā, cik lielā mērā uz teoriju balstīti matemātiskie modeļi saskan ar atkārtojamu eksperimentu rezultātiem. Ja teorētiskie matemātiskie modeļi neatbilst eksperimentālajiem mērījumiem, zinātnieki cenšas koriģēt modeli. Šādas korekcijas vedina uz labākām teorijām, lai izskaidrotu faktus.

Kā veido matemātisko modeli

Matemātiskā modeļa izstrāde parasti ietver vairākus posmus. Vispirms definē problēmu — ko vēlamies izskaidrot vai prognozēt, kādi ir galvenie mainīgie un kādas mērvienības izmantojam. Tālāk seko vienkāršojošas pieņēmumu izstrāde (ko atstāsim ārpus modeļa), pēc tam matemātiskā formulējuma izvēle (diferenciālvienādojumi, regresijas modeli, stohastiska procesa apraksts utt.).

Nākamie soļi ir parametru novērtēšana (kalibrēšana pret datiem), simulācija vai analītiskā izpēte, un validācija — modeļa salīdzināšana ar neatkarīgiem mērījumiem. Bieži vien nepieciešama iterācija: ja rezultāti neatbilst datiem, maina pieņēmumus vai pievieno papildu procesus.

Galvenie modeļu tipi un to īpatnības

• Deterministiskie modeļi — pieņem, ka dotie sākuma nosacījumi pilnībā nosaka sistēmas attīstību (piemēram, klasiskā mehānika).
• Stohastiskie modeļi — iekļauj nejaušu elementu un var aprakstīt varbūtības iznākumus (piemēram, daļiņu sadalījuma modeļi, nejaušie procesi epidemioloģijā).
• Diskrētie pret kontinuālajiem — diskrēti laika vai telpas soļi (piem., markova ķēdes) pret diferenciālvienādojumu aprakstiem, kas lieto nepārtrauktas funkcijas.
• Lineārie pret ne-lineārajiem — lineārie modeļi ir vienkāršāki analītiski un skaitliski, bet ne-lineārie bieži atspoguļo reālu sistēmu sarežģītību (piem., haoss, bifurkācijas).
• Mērogu aspekti: no mikroskopiskajiem (atomu, agentu līmeņa) modeļiem līdz makroskopiskajiem (vides, ekonomikas) — reizēm izmanto multimērogu pieejas, kas sasaista dažādus līmeņus.
• Empīriskie modeļi (statistiskā mācīšanās) pret mehanistiskajiem modeļiem — vieni balstās uz novērojumu korelācijām, citi cenšas izskaidrot procesu iemeslus.

Praktiski piemēri

Daži pazīstami piemēri: Newtona kustības likumi kā mehānisks modelis, logistiskā augšanas vienādojuma izmantošana populāciju dinamikā, SIR epidemioloģiskais modelis slimību izplatībai, Black–Scholes modelis ekonomikas/finanšu jomā, klimata modeļi globālām temperatūras prognozēm, neironu tīklu kā datu vadīts modelis mašīnmācībā.

Modeļu pārbaude, neziņa un ierobežojumi

Modeļa ticamība tiek novērtēta ar validāciju (salīdzinot prognozes ar datiem), kalibrāciju (parametru izvēle), sajutīguma analīzi (kuri parametri visvairāk ietekmē iznākumus) un neziņas kvantificēšanu. Nozīmīgas problēmas ir pārlieku pielāgošanās (overfitting), neatbilstība pieņēmumiem, ierobežoti vai neprecīzi dati un modelim raksturīgā vienkāršošana, kas var izslēgt svarīgus procesus.

Izvērtējot modelī iegūtos secinājumus, svarīgi norādīt arī nenoteiktību un pieņēmumu ietekmi — īpaši, ja modelis tiek izmantots politikas vai inženierijas lēmumu pieņemšanā.

Pielietojumi un rīki

Matemātiskie modeļi tiek izmantoti prognozēšanai, optimizācijai, kontrolei, risku novērtēšanai un politikas testēšanai. Praktiskajos darbos bieži izmanto skaitliskos risinājumus un programmatūras paketes: MATLAB, Python bibliotēkas (NumPy, SciPy, pandas, scikit-learn), R, COMSOL, ANSYS, NetLogo (agentu balstītiem modeļiem) u.c. Izmaksu, efektivitātes un nejaušības analīzēm izmanto arī Montekarlo metodes.

Kopsavilkums

Matemātiskie modeļi ir universāls instruments, kas palīdz strukturēt domāšanu par sarežģītām sistēmām un pieņemt pamatotus lēmumus. Tomēr to spēks ir tieši saistīts ar datu kvalitāti, pieņēmumu pamatotību un rūpīgu modeļa pārbaudi. Labam modelim jārada prognozes, kas ir gan noderīgas, gan skaidri pamatotas ar atklātām pieņēmumu robežām.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir matemātiskais modelis?

J: Kā sauc matemātiskā modeļa izveides procesu?

J: Kādus modeļu veidus var izmantot?

Kā zinātnes nozaru kvalitāte ir atkarīga no to teorētisko modeļu precizitātes?

J: Kas notiek, ja teorētiskie matemātiskie modeļi nesakrīt ar eksperimentālajiem mērījumiem?

J: Vai matemātiskajos modeļos var iekļaut loģiskos modeļus?

Meklēt pēc burta