2 kvadrātsakne no 2
2 kvadrātsakne jeb 2 (1/2) otrais lielums, matemātikā rakstīts kā √2 vai 21⁄2 , ir pozitīvs iracionāls skaitlis, kas, reizināts pats ar sevi, ir vienāds ar skaitli 2. Pareizāk to sauc par 2 galveno kvadrātsakni, lai to atšķirtu no negatīvās versijas, kur arī tā ir taisnība.
Ģeometriski kvadrātsakne no 2 ir diagonāles garums pāri kvadrātam, kura malu garums ir vienāds ar vienu; to var atrast, izmantojot Pitagora teorēmu.
2 kvadrātsakne ir vienāda ar taisnleņķa trīsstūra ar kājām, kuru garums ir 1, hipotenūzas garumu.
Pierādījums, ka kvadrātsakne no 2 nav racionāla
Skaitlis 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
nav racionāls. Šeit ir pierādījums.
- Pieņemsim, ka 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ir racionāls. Tātad ir daži skaitļi a , b {\displaystyle a,b}
tādi, ka a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}
. - Mēs varam izvēlēties a un b tā, lai a vai b būtu nepāra. Ja a un b abi būtu pāri, tad daļu varētu vienkāršot (piemēram, tā vietā, lai rakstītu 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}}.
varētu rakstīt 1 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
). - Ja abas vienādojuma puses kvadrātā, tad iegūstam a2 / b2 = 2 un a2 = 2 b2 .
- Labā puse ir 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}.
. Šis skaitlis ir pāra skaitlis. Tātad arī kreisajai pusei jābūt pāra. Tātad a 2 2 {\displaystyle a^{2}}
ir pāra. Ja nepāra skaitli kvadrātā izdala ar nepāra skaitli, tad rezultāts būs nepāra skaitlis. Un, ja pāra skaitli kvadrātā izdala ar pāra skaitli, tad arī rezultāts būs pāra skaitlis. Tātad a {\displaystyle a}
ir pāra skaitlis. - Tā kā a ir pāra skaitlis, to var rakstīt šādi: a = 2 k {\displaystyle a=2k}
. - Tiek izmantots vienādojums no 3. soļa. Iegūstam 2b2 = (2k)2
- Var izmantot eksponentēšanas noteikumu (skat. rakstu) - rezultāts ir 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
. - Abas malas ir dalītas ar 2. Tātad b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}.
. Tas nozīmē, ka b {\displaystyle b}
ir pāra. - 2. solī mēs teicām, ka a ir nepāra vai b ir nepāra. Bet 4. solī tika teikts, ka a ir pāra, un 7. solī tika teikts, ka b ir pāra. Ja pieņēmums, ko izdarījām 1. solī, ir patiess, tad visām šīm pārējām lietām ir jābūt patiesām, bet, tā kā tās savstarpēji nesakrīt, tās visas nevar būt patiesas; tas nozīmē, ka mūsu pieņēmums nav patiess.
Nav taisnība, ka 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ir racionāls skaitlis. Tātad 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ir iracionāls skaitlis.
