Kvadrātsakne no 2 (√2): definīcija, īpašības un ģeometrija

Uzzini √2 (kvadrātsakne no 2): definīcija, īpašības, pierādījumi un ģeometrijiskā nozīme — skaidri piemēri, Pitagora saikne un pielietojumi ikdienas matemātikā.

Autors: Leandro Alegsa

06-01-2026 22:53

2 kvadrātsakne jeb 2 (1/2) otrais lielums, matemātikā rakstīts kā √2 vai $2 $ ^1⁄₂, ir pozitīvs iracionāls skaitlis, kas, reizināts pats ar sevi, ir vienāds ar skaitli 2. Precīzāk to parasti sauc par galveno kvadrātsakni no 2, lai to atšķirtu no negatīvās saknes −√2 (kas arī apmierina saknes vienādojumu x² = 2).

Definīcija un pamatīpašības

Kvadrātsakne no 2, apzīmēta kā √2, ir skaitlis, kuram √2 · √2 = 2. Tas ir pozitīvs reāls skaitlis, kas nav racionāls (tātad to nevar izteikt kā veselu skaitļu p/q attiecību). Algebraiski √2 ir sakne polinomam x² − 2 = 0, tāpēc tas ir algebraisks irracionāls skaitlis ar polinoma pakāpi 2.

Irracionāluma pierādījums (klasiskā pieeja)

Vienkāršs pierādījums ar pretrunas pieņēmumu:

Pieņemam, ka √2 = p/q, kur p un q ir veseli skaitļi bez kopīga sadalītāja (frakcija saīsināta).
Tad p²/q² = 2 → p² = 2q². Tātad p² ir pāra skaitlis, tādēļ arī p ir pāra skaitlis (p = 2k).
Ievietojot p = 2k, iegūst 4k² = 2q² → q² = 2k², tātad arī q ir pāra skaitlis.
Tas iebilst ar pieņēmumu, ka p un q ir bez kopīga dalītāja (abi nevar būt pāri). Tātad sākotnējais pieņēmums bija nepareizs, un √2 ir irracionāls.

Decimālpaplašinājums un turpinājums

Decimalā √2 ≈ 1.4142135623730951… — skaitlis ir bezgalīgs un neperiodisks. Tā vienkāršais nepārtraukti vienkāršotais frakciju turpinājums (continued fraction) ir īpašs:

√2 = [1; 2, 2, 2, …], t.i., periodisks virkne ar nemainīgiem elementiem 2. No šī turpinājuma iegūst konverģentus, kas ir labas racionālas aproksimācijas: 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, …

Ģeometrija un konstrukcija

Ģeometriski √2 ir vienības kvadrāta diagonāles garums. Ja kvadrāta mala ir garuma 1, tad Pitagora teorēma sniedz diagonāles garumu √(1²+1²) = √2. Ar lineālu un cirkuli šo garumu var konstruktīvi iegūt (√2 ir konstruktīvs skaitlis).

Arī trigonometrijā tas parādās bieži: piemēram, cos 45° = sin 45° = √2/2.

Aritmētiskās un algebriskās īpašības

Kvadrātsakne no 2 apmierina x² − 2 = 0; tās algebriskā ģimene ir Q(√2) = {a + b√2 | a,b ∈ Q}.
Norma no elementa a + b√2 šajā laukā ir N(a + b√2) = a² − 2b². Tā pašlaik lieto Pellu vienādojumu risināšanā.
Vienību kopā Z[√2] vienības (invertējami elementi veselajos koeficientos) ir ±(1 + √2)^n, n ∈ Z.

Aproksimācijas un skaitļošanas metodes

Piemēri racionālām aproksimācijām: 1, 3/2 = 1.5, 7/5 = 1.4, 17/12 ≈ 1.4167, 41/29 ≈ 1.4138. Turpinot konverģentus, kļūda ātri samazinās.

Numeriski √2 var efektīvi aprēķināt ar Ņūtona (Herona) metodi: izvēlas sākuma pieņēmumu x₀ (piem., 1) un atkārto x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2. Konverģence ir kvadrātiska — kļūda ļoti ātri sarūk.

Lietojumi un nozīme

√2 ir fundamentāls daudzās matemātikas nozarēs: ģeometrijā (diagnoāles, trijstūri), skaitļu teorijā (Pellu vienādojumi), lineārajā algebrā (eigenvērtības laukos), kā arī inženierzinātnēs un datorzinātnē (normēšana, trigonometriska vienkāršošana). Tā negaidītā atrašanās vieta—vienkāršā ģeometriskā figūrā, bet ar sarežģītu aritmētisku dabu—bija svarīgs solis matemātikas izpratnē par racionāliem un irracionāliem skaitļiem.

Šis apraksts sniedz pārskatu par √2: tā definīciju, pierādījumu par irracionalitāti, decimālās un frakciju īpašības, ģeometrisko nozīmi un praktiskās aprēķina metodes.

2 kvadrātsakne ir vienāda ar taisnleņķa trīsstūra ar kājām, kuru garums ir 1, hipotenūzas garumu.

Pierādījums, ka kvadrātsakne no 2 nav racionāla

Skaitlis 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ nav racionāls. Šeit ir pierādījums.

Pieņemsim, ka 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ ir racionāls. Tātad ir daži skaitļi a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ tādi, ka a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Mēs varam izvēlēties a un b tā, lai a vai b būtu nepāra. Ja a un b abi būtu pāri, tad daļu varētu vienkāršot (piemēram, tā vietā, lai rakstītu 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}}. ${\frac {2}{4}}$ varētu rakstīt 1 2 {\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Ja abas vienādojuma puses kvadrātā, tad iegūstam a² / b² = 2 un a² = 2 b² .
Labā puse ir 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}. $2b^{2}$ . Šis skaitlis ir pāra skaitlis. Tātad arī kreisajai pusei jābūt pāra. Tātad a 2 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ ir pāra. Ja nepāra skaitli kvadrātā izdala ar nepāra skaitli, tad rezultāts būs nepāra skaitlis. Un, ja pāra skaitli kvadrātā izdala ar pāra skaitli, tad arī rezultāts būs pāra skaitlis. Tātad a {\displaystyle a} ir pāra skaitlis.
Tā kā a ir pāra skaitlis, to var rakstīt šādi: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Tiek izmantots vienādojums no 3. soļa. Iegūstam 2b² = (2k)²
Var izmantot eksponentēšanas noteikumu (skat. rakstu) - rezultāts ir 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}. $2b^{2}=4k^{2}$ .
Abas malas ir dalītas ar 2. Tātad b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. $b^{2}=2k^{2}$ . Tas nozīmē, ka b {\displaystyle b} $b$ ir pāra.
2. solī mēs teicām, ka a ir nepāra vai b ir nepāra. Bet 4. solī tika teikts, ka a ir pāra, un 7. solī tika teikts, ka b ir pāra. Ja pieņēmums, ko izdarījām 1. solī, ir patiess, tad visām šīm pārējām lietām ir jābūt patiesām, bet, tā kā tās savstarpēji nesakrīt, tās visas nevar būt patiesas; tas nozīmē, ka mūsu pieņēmums nav patiess.

Nav taisnība, ka 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ ir racionāls skaitlis. Tātad 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ ir iracionāls skaitlis.

Meklēt