Binārā operācija — definīcija un piemēri matemātikā
Binārā operācija matemātikā — skaidra definīcija un ilustratīvi piemēri: saskaitīšana, reizināšana, matricu summa, funkciju kompozīcija un kopu operācijas.
Matemātikā bināra operācija ir noteikta likumsakarība, kas katram divu elementu pārim no konkrētas kopas piešķir vienu šo elementu kopas elementu. Formāli to bieži pieraksta kā * : S × S → S, kas nozīmē — ja a un b pieder kopai S, tad arī a * b pieder S. Šo prasību sauc par slēgtību (closure). Piemēram, ja ņemam dabisko skaitļu pāri un definējam operāciju * kā saskaitīšanu, tad to summa arī ir dabiskais skaitlis — tas ir tipisks bināras operācijas piemērs. Cits dabisko skaitļu piemērs ir reizināšana: ņemot 2 un 3, ja tos reizina, iegūst 6 — atkal dabiskais skaitlis, kas pieder tā paša kopuma slēgtībai.
Piemēri
- Saskaitīšana un reizināšana uz naturālajiem, veseliem vai reāliem skaitļiem — operācijas, kas dod rezultātu tajā pašā skaitļu kopā.
- Atņemšana uz naturālajiem skaitļiem nav pilnīgi slēgta (piem., 1 − 2 nav naturāls), tāpēc atņemšana nav bināra operācija uz naturālo skaitu kopas, ja netiek paplašināta kopu klase.
- Dalīšana nav slēgta uz veseliem skaitļiem (piem., 1 ÷ 2 nav vesels), tādēļ par bināru operāciju to var uzskatīt tikai uz piemērotām kopām (piem., reāliem skaitļiem bez nulles).
- Summa starp matricām — matricu saskaitīšana ir bināra operācija uz matricu kopas ar vienādiem izmēriem. Savukārt matricu reizināšana ir bināra operācija uz matricu kopām, ja izmēri atbilst reizināšanas prasībām; tā bieži nav komutatīva, bet ir asociatīva.
- Funkciju kompozīcija — ja f un g ir funkcijas no X uz X, tad f ∘ g arī ir funkcija no X uz X; kompozīcija ir bināra operācija uz funkciju kopas.
- Arī kopu savienošanās (vienošanas operācija) un krustošanās (intersektēšana) ir bināras operācijas, ja tās skatām kā operācijas uz kādas kopas apakškopām, piemēram, uz kopas P(X) (kādas kopas apakškopām).
Galvenās īpašības
- Slēgtība: definīcijas būtība — rezultātam jāpieder tai pašai kopai.
- Asociativitāte: (a * b) * c = a * (b * c). Ja operācija ir asociatīva, kā, piemēram, skaitļu saskaitīšana vai reizināšana, secību apvienojot var mainīt bez ietekmes uz rezultātu.
- Komutatīvā īpašība: a * b = b * a. Ne visas binārās operācijas ir komutatīvas (piem., matricu reizināšana parasti nav komutatīva).
- Identitātes elements: ir elements e tāds, ka e * a = a * e = a visiem a. Piemērs: 0 saskaitīšanai, 1 reizināšanai.
- Invertējamība: elements a ir invertējams, ja pastāv b tāds, ka a * b = b * a = e (identitātes elements). Tas ir svarīgi grupu teorijā.
- Idempotence: a * a = a (dažas operācijas, piemēram, kopu intersektēšana vai vienošanās, ir idempotentas).
- Distrubutivitāte: viena operācija var distributīvi sadalīties pār citu, piemēram, reizināšana ir distributīva pār saskaitīšanu: a*(b+c) = a*b + a*c.
Algebriskas struktūras
Atkarībā no īpašību kopas, ko apmierina binārā operācija uz kādas kopas, rodas dažādas strukturālas teorijas:
- Semigrupa — kopai ar asociatīvu bināro operāciju.
- Monoids — semigrupa ar identitātes elementu.
- Grupa — monoids, kur katram elementam eksistē inverss.
- Rings, lauki u. c. — kombinācijas ar divām vai vairāk binārām operācijām ar noteiktām attiecībām starp tām.
Piezīmes un paplašinājumi
- Termins "bināra operācija" parasti pieņem, ka abi operandus izvēlas no tās pašas kopas S; iespējamas arī vispārīgākas mapes tipa f: A × B → C, bet tās tradicionāli neklasificē kā "bināras operācijas uz S".
- Bināru operāciju var vispārināt uz n-ārajām operācijām, kur tiek apvienoti n elementu lauki.
- Svarīgi atšķirt operācijas definīciju (likumu) no relācijas vai divvietīgas funkcijas; bināra operācija ir tieši funkcija no S × S uz S.
Šādi binārās operācijas jēdziens nodrošina pamatu daudzām matemātikas nozarēm, tostarp abstraktajai algebrā, kombinatorikā un skaitļu teorijā, kā arī praktiskām aplikācijām datu struktūrās un datorzinātnē.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir bināra operācija?
A: Matemātikā bināra operācija ir veids, kā apvienot kopas elementu pāri, iegūstot citu kopas elementu.
J: Kā matemātikā apzīmē bināro operāciju?
A: Bināro operāciju bieži apzīmē ar zvaigznītes simbolu (*).
J: Kāds ir bināro operāciju piemērs dabīgajiem skaitļiem?
A: Saskaitīšana un reizināšana ir bināro darbību piemēri ar naturālajiem skaitļiem.
J: Kāds ir bināro operāciju rezultāts, ko iegūst, piemērojot bināro operāciju naturālo skaitļu pārim?
A: Bināro operāciju rezultāts, ko iegūst, ja dabisko skaitļu pārim piemēro bināro operāciju, ir cits dabiskais skaitlis.
Vai bināro operāciju var piemērot ne tikai skaitļiem, bet arī citiem matemātiskiem objektiem?
A: Jā, bināro operāciju var piemērot citiem matemātiskiem objektiem, piemēram, kopām, matricām un funkcijām.
J: Kādi ir daži bināro darbību piemēri ar kopām?
A: Bināro darbību piemēri ar kopām ir kopu apvienošana un krustošanās.
J: Kādā kopā var veikt divas dažādas binārās operācijas?
A: Divas dažādas binārās operācijas var izpildīt visu kopu kopā vai kopu apakškopās.
Meklēt