Kantora diagonālais arguments

Kantora pirmais diagonālais arguments

Zemāk dotajā piemērā ir izmantotas divas no visvienkāršākajām bezgalīgajām kopām - naturālo skaitļu kopa un pozitīvo daļu kopa. Mērķis ir parādīt, ka abas šīs kopas, N {\displaystyle \mathbb {N} } un Q + {\displaystyle \mathbb {Q^{+}} } ir vienāds kardinālums.

Vispirms frakcijas tiek izlīdzinātas masīvā šādi:

1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&&{\tfrac {1}{3}}&&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}}&&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&&{\tfrac {2}{2}}&&&{{\tfrac {2}{3}}&&&{\tfrac {2}{4}}&&&{\tfrac {2}{5}}}&&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&&{\tfrac {3}{3}}&&&{\tfrac {3}{4}}&&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&&\\\{\tfrac {4}{1}}&&&{\tfrac {4}{2}}&&&{\tfrac {4}{3}}&&&{\tfrac {4}{4}}&&&{\tfrac {4}{5}}&&\cdots \\&&&&&&&&&\{{\tfrac {5}{1}}&&&{\tfrac {5}{2}}&&&{\tfrac {5}{3}}&&&{\\tfrac {5}{4}}&&&{\tfrac {5}{5}}&&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\vdots &&\\\end{array}}}

Pēc tam skaitļi tiek saskaitīti, kā parādīts attēlā. Drumstalas, kuras var vienkāršot, neņem vērā:

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 5 4 5 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\krāsa {Pusnaktszila}\rightarrow}&{{\tfrac {1}{2}}\ _{\krāsa {Zila}(2)}&&&{{\tfrac {1}{3}}\ _{\krāsa {Zila}(5)}&&{krāsa {Pusnakts zila}}&{{\tfrac {1}{4}}\\ _{krāsa {Zilā}(6)}&&{{\tfrac {1}{5}}\ _{krāsa {Zilā}(11)}&&{{{krāsa {PusnaktsZilā}\}{{krāsa {PusnaktsZilā}\{krāsa {PusnaktsZilā}\{krāsa {PusnaktsZilā}\{krāsa}&&&&{krāsa {PusnaktsZilā}\svārrupa }&&&{krāsa {PusnaktsZilā}\svītrupa }&&&{\{tfrac {2}{1}}\ _{krāsa {Zilā}(3)}&&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\krāsa {Zilā}(\cdot )}&&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\krāsa {Zilā}(7)}&&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\krāsa {Zilā}(\cdot )}&&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{krāsa {Vidnaktszila}\durvīte }&&{krāsa {Vidnaktszila}\durvīte }&&&{krāsa {PusnaktsZilā}\svītruļa }&&&{{krāsa {PusnaktsZilā}\svītruļa }&&&&\{{\tfrac {3}{1}}\ _{krāsa {Zilā}(4)}&&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\krāsa {Zilā}(8)}&&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\krāsa {Zilā}(\cdot )}&&&{\tfrac {3}{4}}&&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{{krāsa {Vidusnaktszila}\swarrow }&&&{krāsa {Vidusnaktszila}\nearrow }&&&&&&\\{{tfrac {4}{1}}&&{{\tfrac {4}{2}}&{{\tfrac {4}{2}}&{{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {4}{3}}&&&{\tfrac {4}{4}}&&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\krāsa {Pusnaktszila}&{\krāsa {Pusnaktszila}&{\krāsa {Pusnaktszila}&&&&&&&&\\{{\tfrac {5}{1}}\ _{{\color {Blue}(10)}&&&{\tfrac {5}{2}}&&&{{\tfrac {5}{3}}&&&{\tfrac {5}{4}}&&&{\\tfrac {5}{5}}&&\cdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\dots &\\\end{array}}}}

Šādā veidā frakcijas tiek saskaitītas:

1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 1 2 2 2 3 1 3 1 3 1 4 2 2 3 3 2 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\ccccccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&&&{{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\{end{array}}}}

Izslēdzot frakcijas, kuras vēl var vienkāršot, tiek iegūta bijekcija, kas katru dabisko skaitļu elementu saista ar vienu frakciju elementu:

Lai parādītu, ka visiem dabiskajiem skaitļiem un daļām ir vienāds kardinālums, ir jāpievieno elements 0; pēc katras daļas tiek pievienots tās negatīvs;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\ccccccccccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\krāsa {Zilā}\cdots }\[3pt]{\krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&&&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&&\cdots \\\\{end{array}}}

Tādā veidā ir pilnīga bijekcija, kas katram dabiskajam skaitlim piešķir frakciju. Citiem vārdiem sakot, abām kopām ir vienāds kardinālums. Mūsdienās kopas, kurām ir tāds pats elementu skaits kā dabisko skaitļu kopai, sauc par saskaitāmām. Masu, kurai ir mazāk elementu nekā dabisko skaitļu kopai, sauc par ne vairāk saskaitāmo. Saskaņā ar šo definīciju racionālo skaitļu/daļņu kopa ir saskaitāma.

Bezgalīgām kopām bieži vien piemīt īpašības, kas ir pretrunā ar intuīciju: Deivids Hilberts to parādīja eksperimentā, ko sauc par Hilberta Grand Hotel paradoksu.

Reālie skaitļi

Reālo skaitļu kopai nav tāda paša kardināluma kā naturālo skaitļu kopai; reālo skaitļu ir vairāk nekā naturālo skaitļu. Iepriekš izklāstītā ideja ietekmēja viņa pierādījumu. Savā 1891. gada rakstā Kantors aplūkoja visu bināro ciparu bezgalīgo secību kopu T (t. i., katrs cipars ir nulle vai viens).

Viņš sāk ar sekojošas teorēmas konstruktīvu pierādījumu:

Ja s₁ , s₂ , ... , s_n , ... ir jebkurš T elementu uzskaitījums, tad vienmēr ir kāds T elements s, kuram uzskaitījumā neatbilst neviens s ._n

Lai to pierādītu, dodot elementu uzskaitījumu no T, piemēram, kā, piemēram,.

Secību s veido, izvēloties 1. ciparu kā papildinājumu s₁ 1. ciparam (nomainot 0 pret 1 un otrādi), 2. ciparu kā papildinājumu s₂ 2. ciparam, 3. ciparu kā papildinājumu s₃ 3. ciparam, un parasti katram n n - n^th ciparu kā papildinājumu s _nn^th ciparam. Šajā piemērā tas dod:

Pēc konstrukcijas s atšķiras no katra s_n , jo atšķiras to n^th cipari (izcelti piemērā). Tādējādi s nevar parādīties uzskaitījumā.

Pamatojoties uz šo teorēmu, Kantors izmanto pierādījumu ar pretrunu, lai pierādītu, ka:

Kopa T ir nesaskaitāma.

Viņš pieņem, ka T ir saskaitāms. T tādā gadījumā visus tās elementus varētu pierakstīt kā uzskaitījumu s₁ , s₂ , ... , s_n , ... ... . Piemērojot iepriekšējo teorēmu šim uzskaitījumam, tiktu iegūta secība s, kas nepieder uzskaitījumam. Tomēr s bija T elements, un tāpēc tam vajadzētu būt uzskaitījumā. Tas ir pretrunā ar sākotnējo pieņēmumu, tāpēc T jābūt nesaskaitāmam.