AlegsaOnline.com

Kantora diagonālais arguments - definīcija un pierādījums nepārskaitāmībai

Atklājiet Kantora diagonālo argumentu — skaidra definīcija un soli-pa-solim pierādījums kopu nepārskaitāmībai un bezgalību būtībai.

Autors: Leandro Alegsa

09-01-2026

Kantora diagonālais arguments ir diagonizācijas metode, ko izstrādāja ģeometrs un matemātiķis Georgs Kantors, lai parādītu, ka dažām bezgalīgām kopām nav iespējams uzstādīt vienādu kardinālu (t.i., tās nav pārskaitāmas vai nav vienāda izmēra). Kantors par to publicēja rakstus 1877., 1891. un 1899. gadā. Pirmais diagonālā argumenta pierādījums tika publicēts 1890. gadā Vācijas Matemātiķu biedrības (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) žurnālā. Pēc Kantora domām, divām kopām ir vienāds kardinālums, ja ir iespējams katrai pirmās kopas daļai piesaistīt elementu no otrās kopas un katrai otrās kopas daļai piesaistīt elementu no pirmās kopas. Šis apgalvojums labi darbojas kopām ar galīgu elementu skaitu, taču bezgalīgām kopām parādās jaunas un mazāk intuitīvas situācijas — piemēram, naturālo skaitļu kopa un racionālo skaitļu kopa ir pārskaitāmas, bet reālo skaitļu kopa nav.

Kas tiek pierādīts ar diagonālo argumentu

Diagonālais arguments visbiežāk tiek izmantots, lai pierādītu, ka noteikta kopa nav skaitāma (nav pārskaitāma ar naturālajiem skaitļiem). Tipisks piemērs ir reālo skaitļu kopa intervālā (0,1): Cantor rāda, ka neeksistē saraksts r1, r2, r3, ..., kurā būtu iekļauti visi šī intervāla skaitļi. Līdzīgu ideju izmanto arī stingrākā formā, lai pierādītu Kantora teoremu: jebkuras kopas spēks (kardinālais izmērs) ir mazāks par tās varbūtību kopas (power set) spēku — precīzāk, nav surjektīvas funkcijas no kopas uz tās varbūtību kopu.

Vienkāršs pierādījums: reālie skaitļi nav pārskaitāmi

Pieņemam pretēji, ka visi skaitļi (0,1) var sarakstīt kā r1, r2, r3, ... .
Katram rn piesaistām decimālraksturojumu rn = 0.dn1 dn2 dn3..., kur dnk ir n‑tais decimālcipars. (Lai izvairītos no dubultajiem rakstiem kā 0.249999... = 0.25, var prasīt, ka neizmanto vienīgi atzīmi 9 bezgalīgi.)
Tagad izveidojam jaunu skaitli s = 0.s1 s2 s3..., kur sn atšķiras no dn n (diagonāles cipara) — piemēram, sn = 1, ja dn n ≠ 1, un sn = 2 citādi. Tad s atšķiras no katra rn tieši n‑tajā pozīcijā.
Tātad s nav sarakstā {r1, r2, r3,...}, kas pretrunā pieņēmumam, ka saraksts satur visus skaitļus (0,1). Secinājums: (0,1) nav pārskaitāms — reālo skaitļu kopa ir nepārskaitāma.

Kantora teorema un universāla diagonizācija

Analogā, formālākantora teorema formulējas šādi: nav surjektīvas (uz) funkcijas f: S → P(S). Pierādījums izmanto līdzīgu diagonālu konstrukciju. Pieņemam, ka f ir surjektīva, tad definējam kopu D = { x ∈ S | x ∉ f(x) }. D ir elementu kopums, tāpēc pēc pieņēmuma pastāv y tāds, ka f(y) = D. Tomēr tad y ∈ D tieši tad, ja y ∉ f(y) = D — paradokss. Tātad f nevar būt surjektīva, un P(S) ir «lielāka» par S.

Ko tas nozīmē kardinālu jēdzienam

Naturālo skaitļu kopa N ir pārskaitāma (tai ir mazākais bezgalīgais kardināls, parasti apzīmēts aleph-null, ℵ0).
Racionālie skaitļi Q arī ir pārskaitāmi (pastāv bijekcija ar N).
Reālie skaitļi R nav pārskaitāmi — to kardināls (saukts par kontinuumu c) ir lielāks par ℵ0.
Kantora teorema nodrošina, ka vienmēr var iegūt «lielāku» kopu — P(N) (varbūtību kopa) ir nepārskaitāma un tās kardināls atbilst reālo skaitļu kontinuma kardinālam.

Sekas un pielietojumi

Viens no slavenākajiem jautājumiem — Kontinuma hipotēze — skar to, vai pastāv kardinals starp ℵ0 un c; G. C. Hilberts to 20. gadsimta sākumā izvirzīja, un vēlāk tika pierādīts, ka tā nav ne pierādāma, ne atceļama no klasiskās aksiomatiskās kopu teorijas (ZFC).
Diagonizācijas ideja plaši izmantojama matemātikā un informātikā: tā ir centrāla Gödeles nepilnības teoremā, Tjūringa nealgoritmizējamības (piem., haltinga problēmas nealgoritmizējamība) pierādēs un citās konstrukcijās, kur nepieciešams uzbūvēt objektu, kas atšķiras no visiem sarakstā esošajiem objektiem.
Diagonālais arguments maina mūsu intuīciju par bezgalību: pastāv dažādi bezgalību «lielumi», un vienmēr var konstruēt kopu ar lielāku kardinālu nekā dotā kopa.

Kopsavilkums

Kantora diagonālais arguments ir spēcīgs un vienlaikus vienkāršs rīks, kas parāda — izmantojot diagonālisku konstrukciju — ka daudzas kopas (piemēram, reālie skaitļi vai varbūtību kopas) nav pārskaitāmas. Šī ideja padziļina izpratni par bezgalību un ir pamats vairākām būtiskām teorētiskajām attīstībām matemātikā un informātikā.

Kantora pirmais diagonālais arguments

Zemāk dotajā piemērā ir izmantotas divas no visvienkāršākajām bezgalīgajām kopām - naturālo skaitļu kopa un pozitīvo daļu kopa. Mērķis ir parādīt, ka abas šīs kopas, N {\displaystyle \mathbb {N} } $\mathbb {N}$ un Q + {\displaystyle \mathbb {Q^{+}} } $\mathbb {Q^{+}}$ ir vienāds kardinālums.

Vispirms frakcijas tiek izlīdzinātas masīvā šādi:

1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&&{\tfrac {1}{3}}&&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}}&&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&&{\tfrac {2}{2}}&&&{{\tfrac {2}{3}}&&&{\tfrac {2}{4}}&&&{\tfrac {2}{5}}}&&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&&{\tfrac {3}{3}}&&&{\tfrac {3}{4}}&&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&&\\\{\tfrac {4}{1}}&&&{\tfrac {4}{2}}&&&{\tfrac {4}{3}}&&&{\tfrac {4}{4}}&&&{\tfrac {4}{5}}&&\cdots \\&&&&&&&&&\{{\tfrac {5}{1}}&&&{\tfrac {5}{2}}&&&{\tfrac {5}{3}}&&&{\\tfrac {5}{4}}&&&{\tfrac {5}{5}}&&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\vdots &&\\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Pēc tam skaitļi tiek saskaitīti, kā parādīts attēlā. Drumstalas, kuras var vienkāršot, neņem vērā:

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 5 4 5 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\krāsa {Pusnaktszila}\rightarrow}&{{\tfrac {1}{2}}\ _{\krāsa {Zila}(2)}&&&{{\tfrac {1}{3}}\ _{\krāsa {Zila}(5)}&&{krāsa {Pusnakts zila}}&{{\tfrac {1}{4}}\\ _{krāsa {Zilā}(6)}&&{{\tfrac {1}{5}}\ _{krāsa {Zilā}(11)}&&{{{krāsa {PusnaktsZilā}\}{{krāsa {PusnaktsZilā}\{krāsa {PusnaktsZilā}\{krāsa {PusnaktsZilā}\{krāsa}&&&&{krāsa {PusnaktsZilā}\svārrupa }&&&{krāsa {PusnaktsZilā}\svītrupa }&&&{\{tfrac {2}{1}}\ _{krāsa {Zilā}(3)}&&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\krāsa {Zilā}(\cdot )}&&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\krāsa {Zilā}(7)}&&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\krāsa {Zilā}(\cdot )}&&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{krāsa {Vidnaktszila}\durvīte }&&{krāsa {Vidnaktszila}\durvīte }&&&{krāsa {PusnaktsZilā}\svītruļa }&&&{{krāsa {PusnaktsZilā}\svītruļa }&&&&\{{\tfrac {3}{1}}\ _{krāsa {Zilā}(4)}&&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\krāsa {Zilā}(8)}&&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\krāsa {Zilā}(\cdot )}&&&{\tfrac {3}{4}}&&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{{krāsa {Vidusnaktszila}\swarrow }&&&{krāsa {Vidusnaktszila}\nearrow }&&&&&&\\{{tfrac {4}{1}}&&{{\tfrac {4}{2}}&{{\tfrac {4}{2}}&{{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {4}{3}}&&&{\tfrac {4}{4}}&&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\krāsa {Pusnaktszila}&{\krāsa {Pusnaktszila}&{\krāsa {Pusnaktszila}&&&&&&&&\\{{\tfrac {5}{1}}\ _{{\color {Blue}(10)}&&&{\tfrac {5}{2}}&&&{{\tfrac {5}{3}}&&&{\tfrac {5}{4}}&&&{\\tfrac {5}{5}}&&\cdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\dots &\\\end{array}}}} ${\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Šādā veidā frakcijas tiek saskaitītas:

1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 1 2 2 2 3 1 3 1 3 1 4 2 2 3 3 2 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\ccccccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&&&{{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\{end{array}}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}$

Izslēdzot frakcijas, kuras vēl var vienkāršot, tiek iegūta bijekcija, kas katru dabisko skaitļu elementu saista ar vienu frakciju elementu:

Lai parādītu, ka visiem dabiskajiem skaitļiem un daļām ir vienāds kardinālums, ir jāpievieno elements 0; pēc katras daļas tiek pievienots tās negatīvs;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\ccccccccccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\krāsa {Zilā}\cdots }\[3pt]{\krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {Pusnaktszila}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&&&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{krāsa {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&&\cdots \\\\{end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}$

Tādā veidā ir pilnīga bijekcija, kas katram dabiskajam skaitlim piešķir frakciju. Citiem vārdiem sakot, abām kopām ir vienāds kardinālums. Mūsdienās kopas, kurām ir tāds pats elementu skaits kā dabisko skaitļu kopai, sauc par saskaitāmām. Masu, kurai ir mazāk elementu nekā dabisko skaitļu kopai, sauc par ne vairāk saskaitāmo. Saskaņā ar šo definīciju racionālo skaitļu/daļņu kopa ir saskaitāma.

Bezgalīgām kopām bieži vien piemīt īpašības, kas ir pretrunā ar intuīciju: Deivids Hilberts to parādīja eksperimentā, ko sauc par Hilberta Grand Hotel paradoksu.

Reālie skaitļi

Reālo skaitļu kopai nav tāda paša kardināluma kā naturālo skaitļu kopai; reālo skaitļu ir vairāk nekā naturālo skaitļu. Iepriekš izklāstītā ideja ietekmēja viņa pierādījumu. Savā 1891. gada rakstā Kantors aplūkoja visu bināro ciparu bezgalīgo secību kopu T (t. i., katrs cipars ir nulle vai viens).

Viņš sāk ar sekojošas teorēmas konstruktīvu pierādījumu:

Ja s₁ , s₂ , ... , s_n , ... ir jebkurš T elementu uzskaitījums, tad vienmēr ir kāds T elements s, kuram uzskaitījumā neatbilst neviens s ._n

Lai to pierādītu, dodot elementu uzskaitījumu no T, piemēram, kā, piemēram,.

s₁ =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂ =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃ =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄ =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅ =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆ =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇ =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

Secību s veido, izvēloties 1. ciparu kā papildinājumu s₁ 1. ciparam (nomainot 0 pret 1 un otrādi), 2. ciparu kā papildinājumu s₂ 2. ciparam, 3. ciparu kā papildinājumu s₃ 3. ciparam, un parasti katram n n - n^th ciparu kā papildinājumu s _nn^th ciparam. Šajā piemērā tas dod:

s₁	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

s	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)

Pēc konstrukcijas s atšķiras no katra s_n , jo atšķiras to n^th cipari (izcelti piemērā). Tādējādi s nevar parādīties uzskaitījumā.

Pamatojoties uz šo teorēmu, Kantors izmanto pierādījumu ar pretrunu, lai pierādītu, ka:

Kopa T ir nesaskaitāma.

Viņš pieņem, ka T ir saskaitāms. T tādā gadījumā visus tās elementus varētu pierakstīt kā uzskaitījumu s₁ , s₂ , ... , s_n , ... ... . Piemērojot iepriekšējo teorēmu šim uzskaitījumam, tiktu iegūta secība s, kas nepieder uzskaitījumam. Tomēr s bija T elements, un tāpēc tam vajadzētu būt uzskaitījumā. Tas ir pretrunā ar sākotnējo pieņēmumu, tāpēc T jābūt nesaskaitāmam.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir Kantora diagonālais arguments?

A: Kantora diagonālais arguments ir matemātiska metode, lai pierādītu, ka divām bezgalīgām kopām ir vienāds kardinālums.

J: Kad Kantors publicēja rakstus par savu diagonāles argumentu?

A: Kantors publicēja rakstus par savu diagonāles argumentu 1877., 1891. un 1899. gadā.

J: Kur tika publicēts pirmais Kantora diagonālā argumenta pierādījums?

A: Pirmais Kantora diagonālā argumenta pierādījums tika publicēts 1890. gadā Vācijas Matemātiķu biedrības (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) žurnālā.

Jautājums: Saskaņā ar Kantoru, kad divām kopām ir vienāds kardinālums?

A: Pēc Kantora domām, divām kopām ir vienāds kardinālums, ja ir iespējams katrai pirmās kopas daļai piesaistīt elementu no otrās kopas un katrai otrās kopas daļai piesaistīt elementu no pirmās kopas.

Vai Kantora apgalvojums par kardinalitāti ir derīgs kopām ar galīgo elementu skaitu?

A: Jā, Kantora apgalvojums labi darbojas kopām ar galīgu elementu skaitu.

Vai Kantora apgalvojums par kardinalitāti ir intuitīvs kopām ar bezgalīgu elementu skaitu?

A: Nē, Kantora apgalvojums par kardinalitāti ir mazāk intuitīvs kopām ar bezgalīgu elementu skaitu.

Jautājums: Cik reizes Kantors publicēja rakstus par savu diagonāles argumentu?

A: Kantors publicēja rakstus par savu diagonāles argumentu trīs reizes - 1877., 1891. un 1899. gadā.