Bijekcija (bijektīva funkcija) — definīcija, īpašības un piemēri

Uzzini bijekcijas (bijektīvas funkcijas) definīciju, galvenās īpašības un skaidrus piemērus — saprotami un noderīgi gan studentiem, gan skolotājiem.

Autors: Leandro Alegsa

Matemātikā bijektīva funkcija jeb bijekcija ir funkcija f : A → B, kas ir gan injekcija, gan surjekcija. Tas nozīmē, ka katram elementam b koddomēnā B ir tieši viens elements a domēnā A, kas ir tāds, ka f(a) = b. Cits bijekcijas nosaukums ir 1-1 korespondence.

Terminu bijekcija un ar to saistītos terminus surjekcija un injekcija ieviesa Nikolajs Burbaki. Pagājušā gadsimta 30. gados viņš un grupa citu matemātiķu publicēja virkni grāmatu par moderno progresīvo matemātiku.

Galvenās īpašības

  • Invertējamība: ja f : A → B ir bijekcija, pastāv inversā funkcija f−1 : B → A, kas katram b piešķir to vienīgo a, kuram f(a) = b. Inversā funkcija apmierina f−1(f(a)) = a un f(f−1(b)) = b.
  • Kompozīcija: kompozīcija divām bijekcijām ir bijekcija. Tāpat bijekcijas invertēšana un identitātes funkcija saglabā bijektīvu īpašību.
  • Vienums starp izteiksmēm: bijekcija nozīmē, ka nav elementu, kuriem nav pretenšu (surjekcija), un nav dažādu elementu, kuriem ir tāda pati attēla vērtība (injekcija).
  • Karinalitāte: ja pastāv bijekcija starp kopām A un B, šīm kopām ir vienāda kardinalitāte (tās tiek uzskatītas par vienādi "lielām").

Piemēri

  • Beidzama kopa: f : {1,2,3} → {a,b,c}, kur f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c — skaidra bijekcija (katram a,b,c atbilst tieši viens elements no {1,2,3}).
  • Veselie skaitļi: f : Z → Z, f(n) = n + 1 — bijekcija (invertā funkcija f−1(n) = n − 1).
  • Reālie skaitļi: f : R → R, f(x) = 2x — bijekcija (f−1(y) = y/2). Savukārt f(x)=e^x nav bijekcija no R uz R, jo tā nav surjektīva (e^x>0, tāpēc negācijas vērtības netiek sasniegtas).
  • Saskaitāmās pret nebeidzamām kopām: naturālo skaitļu kopa N un veselo skaitļu kopa Z ir bijektīvas (eksistē bijekcija), tāpēc tām ir vienāda – saskaitāma – kardinalitāte. Taču N un reālo skaitļu kopa R nav bijektīvas (R ir neskaitāmi nebeidzama), ko pierāda Kārtila diagonālais arguments.
  • Racionālie skaitļi Q ir saskaitāmi un tādēļ bijektējas ar N (ir iespējams uzskaitīt visus racionālos skaitļus).

Kā pārbaudīt, vai funkcija ir bijektīva

  • Pārbaudīt injekciju: pierādīt, ka, ja f(a) = f(a'), tad a = a'.
  • Pārbaudīt surjekciju: pierādīt, ka katram b ∈ B pastāv a ∈ A tāds, ka f(a) = b.
  • Alternatīvi: parādīt, ka pastāv inversā funkcija g : B → A ar īpašību g(f(a)) = a un f(g(b)) = b. Eksistence vienlaicīgi labās un kreisās inverses garantē bijektivitāti.
  • Beidzamām kopām: ja A un B ir galīgas un |A| = |B|, tad injektīva funkcija no A uz B (vai surjektīva funkcija no A uz B) jau pietiek, lai tā būtu bijekcija.

Saistītie jēdzieni un rezultāti

  • Permutācijas: bijekcija no kopas uz pašu sevi (A → A) saucas permutācija; visas permutācijas kopā veido simetriju grupu.
  • Kantora–Šrēdera–Bernšteina teorēma: ja pastāv injectīvas funkcijas A → B un B → A, tad eksistē arī bijekcija A ↔ B (tātad kopām ir vienāda kardinalitāte).
  • Grafiska interpretācija: attēlojot domēna elementus vienā pusē un kodomēna otrā, bijekcija nozīmē, ka var uzzīmēt savienojumus tā, lai katrs elements abās pusēs būtu pieslēgts tieši vienai līnijai.

Neliels pierādījums — bijekcija ↔ invertējamība

Ja f ir bijekcija, tad definējam f−1(b) kā to vienīgo a, kuram f(a) = b. Šī definīcija ir labi uzstādīta, jo bijektivitāte nodrošina a eksistenci un unikalitāti. Pretēji, ja pastāv g tāda, ka g(f(a)) = a un f(g(b)) = b, tad f nevar mapēt divus dažādus a uz vienu b (citādi g neatgrieztu unikālu priekšattēlu), un katram b ir priekšattēls (g nodrošina to), tātad f ir gan injektīva, gan surjektīva.

Šie skaidrojumi un piemēri palīdz saprast, kāpēc bijekcija ir fundamentāls jēdziens matemātikā, it īpaši kopu teorijā, kombinatorikā un funkciju teorijā.

Pamatīpašības

Oficiāli:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} ir bijektīva funkcija, ja ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B}{\displaystyle \forall b\in B} ir unikāla a ∈ A {\displaystyle a\in A}{\displaystyle a\in A} tāda, ka f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } {\displaystyle f(a)=b\,.}

Elementu b {\displaystyle b}{\displaystyle b} sauc par elementa a {\displaystyle a}a attēlu.

  • Formālā definīcija nozīmē: Katrs kopas B elements ir tieši viena A domēna elementa attēls.

Elementu a {\displaystyle a}a sauc par elementa b {\displaystyle b}{\displaystyle b} pirmtēlu.

  • Formālā definīcija nozīmē: Katram kopas B elementam ir tieši viens pirmtēls domēnā A.

Piezīme: Surjection nozīmē vismaz vienu priekšattēlu. Injekcija nozīmē maksimāli vienu priekšattēlu. Tātad bijekcija nozīmē tieši vienu priekšattēlu.

Kardinalitāte

Kardinalitāte ir kopas elementu skaits. A={X,Y,Z,W} kardinalitāte ir 4. Mēs rakstām #A=4.

  • Definīcija: Divām kopām A un B ir vienāds kardinālums, ja starp kopām ir bijekcija. Tātad #A=#B nozīmē, ka no A uz B ir bijekcija.

Bijekcijas un apgrieztās funkcijas

  • Bijekcijas ir apvēršamas, apvēršot bultas. Jauno funkciju sauc par apgriezto funkciju.

Oficiāli: Lai f : A → B ir bijekcija. Apvērsto funkciju g : B → A definē šādi: ja f(a)=b, tad g(b)=a. (Skat. arī Inversā funkcija.)

  • Inversās funkcijas apgrieztā funkcija ir sākotnējā funkcija.
  • Funkcijai ir apgrieztā funkcija tikai un vienīgi tad, ja tā ir bijekcija.

Piezīme: f apgrieztās funkcijas apzīmējums ir mulsinošs. Proti,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}{\displaystyle f^{-1}(x)} apzīmē funkcijas f apgriezto funkciju, bet x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} apzīmē skaitļa x savstarpējo vērtību.

Piemēri

Elementāras funkcijas

Lai f(x):ℝ→→ℝ ir reālas vērtības funkcija y=f(x) reālas vērtības argumentam x. (Tas nozīmē, ka gan ieeja, gan izeja ir skaitļi.)

  • Grafiskā nozīme: Funkcija f ir bijekcija, ja katra horizontālā līnija šķērso f grafiku tieši vienā punktā.
  • Algebriskā nozīme: Funkcija f ir bijekcija, ja katram reālajam skaitlim yo mēs varam atrast vismaz vienu reālo skaitli xo tādu, ka yo =f(xo ) un ja f(xo )=f(x1 ) nozīmē xo =x1 .

Pierādīt, ka funkcija ir bijekcija, nozīmē pierādīt, ka tā ir gan surjekcija, gan injekcija. Tāpēc formāli pierādījumi reti kad ir viegli. Turpmāk mēs apspriežam un nepierādām. (Skat. surjekciju un injekciju.)

Piemērs: Slīpās līnijas lineārā funkcija ir bijekcija. Tas ir, y=ax+b, kur a≠0 ir bijekcija.

Diskusija: Katra horizontālā līnija šķērso slīpās līnijas tieši vienā punktā (pierādījumus skat. surjekcijā un injekcijā). attēls.

Piemērs: Trešās pakāpes polinoma funkcija: f(x)=x3 ir bijekcija. attēls un 5. attēls plānā dzeltenā līkne. Tās apgrieztā funkcija ir kubiskās saknes funkcija f(x)= ∛x, un tā arī ir bijekcija f(x):ℝ→ℝ. attēls: bieza zaļa līkne.

Piemērs: Kvadrātfunkcija f(x) = x2 nav bijekcija (no ℝ→ℝ). 3. attēls. Tā nav surjekcija. Tā nav injekcija. Tomēr mēs varam ierobežot gan tās domēnu, gan koddomēnu ar nenegatīvo skaitļu kopu (0,+∞), lai iegūtu (apgriežamu) bijekciju (skat. piemērus tālāk).

Piezīme: Šis pēdējais piemērs to parāda. Lai noteiktu, vai funkcija ir bijekcija, mums ir jāzina trīs lietas:

  • domēna
  • funkciju mašīna
  • koddomēna

Piemērs: Pieņemsim, ka mūsu funkciju mašīna ir f(x)=x².

  • Šī mašīna un domēns=ℝ un koddomēna=ℝ nav surjection un nav injekcija. Tomēr,
  • šī pati mašīna un domēns=[0,+∞) un koddomēns=[0,+∞) ir gan surjekcija, gan injekcija un tādējādi bijekcija.

Bijekcijas un to inversijas

Lai f(x):A→B, kur A un B ir ℝ apakškopas.

  • Pieņemsim, ka f nav bijekcija. Jebkuram x, kur f atvasinājums pastāv un nav vienāds ar nulli, ir tāda x apkārtne, kurā mēs varam ierobežot f domēnu un kopdomēnu kā bisektriju.
  • Inverso funkciju grafiki ir simetriski attiecībā pret taisni y=x. (Skat. arī Apgrieztā funkcija.)

Piemērs: Kvadrātiskā funkcija, kas definēta ierobežotajā apgabalā un kopaplānā [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,[0,+\infty )}{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definēts ar f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}. {\displaystyle f(x)=x^{2}}

ir bijekcija. attēls: plāna dzeltena līkne.

Piemērs: Kvadrātsaknes funkcija, kas definēta ierobežotajā apgabalā un kopnē [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}{\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definē f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}}. {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

ir bijekcija, kas definēta kā kvadrātfunkcijas apgrieztā funkcija: x2 . 6. attēls: bieza zaļa līkne.

Piemērs: Eksponenciālā funkcija, kas definēta domēnā ℝ un ierobežotajā kopdomenā (0,+∞)

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )}{\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} definē f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1} {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1}

ir bijekcija. attēls: plāna dzeltena līkne (a=10).

Piemērs: Loģaritmiskā funkcija bāze a definēta ierobežotajā apgabalā (0,+∞) un kopaplānā ℝ.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,\mathbf {R} }{\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } definē f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

ir bijekcija, kas definēta kā eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija: ax . 4. attēls: bieza zaļa līkne (a = 10).

Divvirzienu sakarība: katra vertikālā līnija (domēnā) un katra horizontālā līnija (kopdomēnā) krustojas tieši vienā grafika punktā.

1. Divdabīgā savienošana. Visas slīpās līnijas ir bijekcijas f(x):ℝ→ℝ.

2. Divdabība. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Nav bijekcija. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² nav surjekcija. Tā nav injekcija.

4. Bijekcijas. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (plāns dzeltens) un tā apgrieztais f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (bieza zaļa).

5. Bijekcijas. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (plānā dzeltenā krāsā) un tās apgrieztā f(x)=∛x (biezā zaļā krāsā).

6. Bijekcijas. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (plānā dzeltenā krāsā) un tā apgrieztā f(x)=√x (biezā zaļā krāsā).

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir bijektīva funkcija?


A: Bijektīva funkcija, saukta arī par bijekciju, ir matemātiska funkcija, kas ir gan injekcija, gan surjekcija.

J: Ko nozīmē, ka funkcija ir injekcija?


A: Injekcija nozīmē, ka jebkuram no diviem elementiem a un a' domēnā A, ja f(a)=f(a'), tad a=a'.

J: Ko nozīmē, ka funkcija ir surjekcija?


A: Surjekcija nozīmē, ka katram elementam b kodu domēnā B ir vismaz viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b.

J: Kāds ir līdzvērtīgs apgalvojums bijekcijai?


A: Ekvivalents apgalvojums par bijekciju ir tāds, ka katram elementam b kodu domēnā B ir tieši viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b.

J: Kāds ir cits vārds bijekcijai?


A: Bijekciju sauc arī par "1-1 korespondenci" vai "viena pret vienu korespondenci".

J: Kas ieviesa terminus bijekcija, surjekcija un injekcija?


A: Terminus bijekcija, surjekcija un injekcija ieviesa Nikolā Burbaki un grupa citu matemātiķu pagājušā gadsimta 30. gados.

J: Ko Burbaki un citi matemātiķi publicēja 1930. gados?


A: Burbaki un citi matemātiķi publicēja virkni grāmatu par moderno progresīvo matemātiku.


Meklēt
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3