Injektīvā funkcija: definīcija, īpašības un piemēri
Injektīvā funkcija — skaidra definīcija, svarīgākās īpašības un saprotami piemēri, kas palīdz atpazīt 1-1 funkcijas un to pielietojumu.
Matemātikā injektīvā funkcija ir patiess īpašs gadījums attēlojuma f : A → B, kurai katram elementam b no kodomēna B ir ne vairāk kā viens elements a no domēna A, tāds, ka f(a) = b. Ekvivalenta, biežāk lietota formulējuma forma ir šāda: f ir injektīva tad un tikai tad, ja jebkuriem a1, a2 ∈ A no f(a1) = f(a2) seko a1 = a2. Citiem vārdiem, divi dažādi argumenti nevar dot vienādu attēlu.
Injekcijas terminu un ar to saistītos terminus surjekcija un bijekcija ieviesa Nikolajs Burbaki. Pagājušā gadsimta 30. gados viņš un grupa citu matemātiķu publicēja virkni grāmatu par moderno progresīvo matemātiku. Šie termini tagad ir standarta mācību valodā un palīdz precīzi raksturot attēlojumus starp kopām.
Galvenās īpašības
- Ekvivalences: f injektīva ⇔ ja f(a1) = f(a2) tad a1 = a2 ⇔ katram b ∈ B ir ne vairāk kā viens a ∈ A ar f(a) = b.
- Atgriezeniskums uz attēlu: injektīvai funkcijai f no A uz B eksistē kreisā inversā funkcija g : f(A) → A, kas apmierina g(f(a)) = a visiem a ∈ A. Šī inversā definē tikai uz attēla f(A).
- Sastādīšana: ja f un g ir injektīvas, tad arī sastādījums g∘f ir injektīvs. Ja g∘f ir injektīvs, tad f noteikti ir injektīva (pretējā virzienā tas nav obligāti).
- Beigu kopas: ja
- Restrikcija un paplašinājums: funkcija, kuras domēns tiek ierobežots uz apakškopu, var kļūt injektīva (piem., x ↦ x² nav injektīva uz ℝ, bet ir injektīva uz [0,∞)).
Kā pārbaudīt, vai funkcija ir injektīva
- Algebrisks pārbaudījums: izvēlieties divus mainīgos a1 un a2, uzstādiet f(a1) = f(a2) un pierādiet, ka no šī vienādības seko a1 = a2. Ja tas vienmēr iznāk, f ir injektīva.
- Horizontalā līnija (grafiska metode): reālas funkcijas grafiku gadījumā funkcija ir injektīva, ja jebkura horizontāla līnija pāriem koordinātu plaknē krusto grafiku ne vairāk kā vienā punktā.
- Kreisā inversa meklēšana: mēģiniet uzbūvēt funkciju g tā, lai g(f(x)) = x visiem x domēnā. Ja tāda g pastāv, f ir injektīva.
Piemēri
Injectīvas:
- f(x) = ax + b uz R, ja a ≠ 0 — lineāra funkcija ar nenulles slīpumu.
- f(x) = ex uz R — eksponenciālā funkcija, monotoni pieaug.
- Attēlojums no naturālo skaitļu kopas f(n) = 2n — katram rezultātam atbilst precīzi viens arguments.
Neinjektīvas:
- f(x) = x² uz R — f(2) = f(−2), tāpēc nav injektīva. Tomēr, ierobežojot domēnu uz [0,∞), tā kļūst injektīva.
- Trigonometriskās funkcijas, piemēram, sin(x) uz R — vērtības atkārtojas periodiski, tāpēc nav injektīva uz visiem reāliem skaitļiem.
- Modulo attēlojums f : Z → {0,1,2,3,4}, f(n) = n mod 5 — nav injektīva, jo daudzus dažādus n attēlo vienādā vērtībā.
Saziņa ar surjekciju un bijekciju
Surjektīva funkcija nozīmē, ka katram b no kodomēna B pastāv vismaz viens a ar f(a) = b. Bijekcija nozīmē, ka funkcija ir gan injektīva, gan surjektīva — katram b ir tieši viens a. Dažreiz literatūrā teikts “1-1 function” nozīmē injektīvu funkciju, bet izteikums “1-1 correspondence” parasti nozīmē bijekciju. Tas var radīt neskaidrības, tāpēc uzmanieties ar terminoloģiju.
Kā īsi pierādīt tipisku īpašību
Piemēram, pierādīsim, ka lineāra funkcija f(x) = ax + b ar a ≠ 0 ir injektīva. Pieņemam, ka f(x1) = f(x2) ⇒ ax1 + b = ax2 + b ⇒ a(x1 − x2) = 0. Tā kā a ≠ 0, seko x1 = x2, kas pierāda injektivitāti.
Šie skaidrojumi ļauj saprast, kas praktiski nozīmē, ka funkcija ir injektīva, kā to pārbaudīt, un kā tā saistās ar citiem attēlojumu tipiem. Ja vēlaties, varu pievienot papildus formālus pierādījumus, vairāk grafisku ilustrāciju vai konkrētus uzdevumus ar risinājumiem.
Pamatīpašības
Oficiāli:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
ir injektīvā funkcija, ja ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\pareizā bultiņa \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})}
vai līdzvērtīgi
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} ir injektīvā funkcija, ja ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\,\pareizvērt \,\,a_{1}=a_{2}}} 
Elementu a {\displaystyle a}
sauc par elementa b {\displaystyle b}
pirmtēlu, ja f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b}
. Injekcijām ir viens vai neviens priekšveids katram B elementam b.
Kardinalitāte
Kardinalitāte ir kopas elementu skaits. A={X,Y,Z,W} kardinalitāte ir 4. Mēs rakstām #A=4.
- Ja kopas kardinalitāte ir mazāka par domēna kardinalitāti, funkcija nevar būt injekcija. (Piemēram, nav iespējams atveidot 6 elementus uz 5 elementiem bez dublēšanas.)
Piemēri
Elementāras funkcijas
Lai f(x):ℝ→→ℝ ir reālas vērtības funkcija y=f(x) reālas vērtības argumentam x. (Tas nozīmē, ka gan ieeja, gan izeja ir reāli skaitļi.)
- Grafiskā nozīme: Funkcija f ir injekcija, ja katra horizontālā līnija šķērso f grafiku ne vairāk kā vienā punktā.
- Algebriskā nozīme: Funkcija f ir injekcija, ja f(xo )=f(x1 ) nozīmē xo =x1 .
Piemērs: Slīpās līnijas lineārā funkcija ir 1-1. Tas ir, y=ax+b, kur a≠0 ir injekcija. (Tā ir arī surjekcija un tādējādi bijekcija.)
Pierādījums: Lai xo un x1 ir reāli skaitļi. Pieņemsim, ka līnija attēlo šīs divas x vērtības uz vienu un to pašu y vērtību. Tas nozīmē, ka a-xo +b=a-x1 +b. No abām pusēm atņem b. Iegūstam a-xo =a-x1 . Tagad abas malas daliet ar a (atcerieties a≠0). Iegūstam xo =x1 . Tātad esam pierādījuši formālo definīciju un funkciju y=ax+b, kur a≠0 ir injekcija.
Piemērs: Trešās pakāpes polinoma funkcija: f(x)=x3 ir injekcija. Tomēr trešās pakāpes polinoma funkcija: f(x)=x3 -3x nav injekcija.
Diskusija 1: Jebkura horizontāla līnija krustojas ar diagrammu
f(x)=x3 tieši vienu reizi. (Tā ir arī surjekcija.)
Diskusija 2. Jebkura horizontālā līnija starp y=-2 un y=2 šķērso grafiku trīs punktos, tāpēc šī funkcija nav injekcija. (Tomēr tā ir surjekcija.)
Piemērs: Kvadrātfunkcija f(x) = x2 nav injekcija.
Diskusija: Jebkura horizontālā līnija y=c, kur c>0, šķērso grafiku divos punktos. Tātad šī funkcija nav injekcija. (Tā nav arī surjekcija.)
Piezīme: Neielektīvo funkciju var pārvērst par injektīvo funkciju, likvidējot daļu domēna. Mēs to saucam par domēna ierobežošanu. Piemēram, f(x)=x² domēnu ierobežo ar nenegatīviem skaitļiem (pozitīvi skaitļi un nulle). Definē
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }
kur f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}}. 
Tagad šī funkcija ir injekcija. (Skatiet arī funkcijas ierobežošana.)
Piemērs: Eksponenciālā funkcija f(x) = 10x ir injekcija. (Tomēr tā nav surjekcija.)
Diskusija: Jebkura horizontālā līnija krustojas ar grafiku ne vairāk kā vienā punktā. Horizontālās taisnes y=c, kur c>0, sagriež to tieši vienā punktā. Horizontālās taisnes y=c, kur c≤0, nešķērso grafiku nevienā punktā.
Piezīme: Aprēķinos var izmantot to, ka eksponenciālā funkcija ir injektīvā.
a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}}=a^{x_{1}}\,\,\,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} 
Piemērs: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Pareizā bultiņa \,\,\,2=x-3\,\,\,\Pareizā bultiņa \,\,x=5} 
| Injekcija: neviena horizontālā līnija nešķērso vairāk nekā vienu grafika punktu. | ||
|
Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (un surjekcija) |
Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (un surjekcija) |
Nav injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ir surjekcija) |
|
Nav injekcija. f(x):ℝ→ℝ (nav surjekcija) |
Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (nevis surjekcija) |
Injekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (un surjekcija) |
Citi piemēri
Piemērs: logaritmiskā funkcija bāze 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, ko definē f(x)=log(x) vai y=log10 (x), ir injekcija (un surjekcija). (Tā ir inversā funkcija 10x .)
Piemērs: Funkcija f:ℕ→ℕ, kas katru naturālo skaitli n attēlo uz 2n, ir injekcija. Katram pāra skaitlim ir tieši viens pirmtēls. Katram nepāra skaitlim nav pirmtēla.
Saistītās lapas
Jautājumi un atbildes
J: Kas matemātikā ir injektīvā funkcija?
A: Injektīva funkcija ir funkcija f: A → B, kurai piemīt īpašība, ka atšķirīgi elementi domēnā tiek attēloti uz atšķirīgiem elementiem kopdomēnā.
J: Kāda ir sakarība starp elementiem injektīvās funkcijas domēnā un kodomēnā?
A: Katram elementam b kodu domēnā B ir ne vairāk kā viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b.
J: Kas ieviesa terminus injekcija, surjekcija un bijekcija?
A: Nikolajs Burbaki un grupa citu matemātiķu ieviesa terminus injekcija, surjekcija un bijekcija.
J: Ko nozīmē injektīvā funkcija?
A: Injekcijas funkcija nozīmē, ka katrs domēna A elements atbilst unikālam elementam koddomēnā B.
J: Ar ko injektīvā funkcija atšķiras no 1-1 sakritības?
A: Injekcijas funkciju bieži sauc par 1-1 (viens pret vienu) funkciju, bet to atšķir no 1-1 atbilstības, kas ir bijektīva funkcija (gan injektīvā, gan surjektīvā).
J: Kāda ir injektīvās funkcijas īpašība?
A: Injektīvās funkcijas īpašība ir tāda, ka atšķirīgi domēna elementi tiek attēloti uz atšķirīgiem domēna elementiem.
J: Kāda ir injektīvās funkcijas nozīme matemātikā?
A: Injektīvajām funkcijām ir svarīga nozīme daudzās matemātikas jomās, tostarp topoloģijā, analīzē un algebrā, jo tām piemīt īpašība, ka atšķirīgi elementi domēnā tiek attiecināti uz atšķirīgiem elementiem koddomēnā.
Meklēt