Injektīvā funkcija: definīcija, īpašības un piemēri

Oficiāli:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} ir injektīvā funkcija, ja ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\pareizā bultiņa \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} vai līdzvērtīgi

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} ir injektīvā funkcija, ja ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\,\pareizvērt \,\,a_{1}=a_{2}}}

Elementu a {\displaystyle a} sauc par elementa b {\displaystyle b} pirmtēlu, ja f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . Injekcijām ir viens vai neviens priekšveids katram B elementam b.

Kardinalitāte ir kopas elementu skaits. A={X,Y,Z,W} kardinalitāte ir 4. Mēs rakstām #A=4.

• Ja kopas kardinalitāte ir mazāka par domēna kardinalitāti, funkcija nevar būt injekcija. (Piemēram, nav iespējams atveidot 6 elementus uz 5 elementiem bez dublēšanas.)

Elementāras funkcijas

Lai f(x):ℝ→→ℝ ir reālas vērtības funkcija y=f(x) reālas vērtības argumentam x. (Tas nozīmē, ka gan ieeja, gan izeja ir reāli skaitļi.)

• Grafiskā nozīme: Funkcija f ir injekcija, ja katra horizontālā līnija šķērso f grafiku ne vairāk kā vienā punktā.
• Algebriskā nozīme: Funkcija f ir injekcija, ja f(x_o )=f(x₁ ) nozīmē x_o =x₁ .

Piemērs: Slīpās līnijas lineārā funkcija ir 1-1. Tas ir, y=ax+b, kur a≠0 ir injekcija. (Tā ir arī surjekcija un tādējādi bijekcija.)

Pierādījums: Lai x_o un x₁ ir reāli skaitļi. Pieņemsim, ka līnija attēlo šīs divas x vērtības uz vienu un to pašu y vērtību. Tas nozīmē, ka a-x_o +b=a-x₁ +b. No abām pusēm atņem b. Iegūstam a-x_o =a-x₁ . Tagad abas malas daliet ar a (atcerieties a≠0). Iegūstam x_o =x₁ . Tātad esam pierādījuši formālo definīciju un funkciju y=ax+b, kur a≠0 ir injekcija.

Piemērs: Trešās pakāpes polinoma funkcija: f(x)=x³ ir injekcija. Tomēr trešās pakāpes polinoma funkcija: f(x)=x³ -3x nav injekcija.

Diskusija 1: Jebkura horizontāla līnija krustojas ar diagrammu

f(x)=x³ tieši vienu reizi. (Tā ir arī surjekcija.)

Diskusija 2. Jebkura horizontālā līnija starp y=-2 un y=2 šķērso grafiku trīs punktos, tāpēc šī funkcija nav injekcija. (Tomēr tā ir surjekcija.)

Piemērs: Kvadrātfunkcija f(x) = x² nav injekcija.

Diskusija: Jebkura horizontālā līnija y=c, kur c>0, šķērso grafiku divos punktos. Tātad šī funkcija nav injekcija. (Tā nav arī surjekcija.)

Piezīme: Neielektīvo funkciju var pārvērst par injektīvo funkciju, likvidējot daļu domēna. Mēs to saucam par domēna ierobežošanu. Piemēram, f(x)=x² domēnu ierobežo ar nenegatīviem skaitļiem (pozitīvi skaitļi un nulle). Definē

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } kur f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}}.

Tagad šī funkcija ir injekcija. (Skatiet arī funkcijas ierobežošana.)

Piemērs: Eksponenciālā funkcija f(x) = 10^x ir injekcija. (Tomēr tā nav surjekcija.)

Diskusija: Jebkura horizontālā līnija krustojas ar grafiku ne vairāk kā vienā punktā. Horizontālās taisnes y=c, kur c>0, sagriež to tieši vienā punktā. Horizontālās taisnes y=c, kur c≤0, nešķērso grafiku nevienā punktā.

Piezīme: Aprēķinos var izmantot to, ka eksponenciālā funkcija ir injektīvā.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}}=a^{x_{1}}\,\,\,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Piemērs: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Pareizā bultiņa \,\,\,2=x-3\,\,\,\Pareizā bultiņa \,\,x=5}  

Citi piemēri

Piemērs: logaritmiskā funkcija bāze 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, ko definē f(x)=log(x) vai y=log₁₀ (x), ir injekcija (un surjekcija). (Tā ir inversā funkcija 10^x .)

Piemērs: Funkcija f:ℕ→ℕ, kas katru naturālo skaitli n attēlo uz 2n, ir injekcija. Katram pāra skaitlim ir tieši viens pirmtēls. Katram nepāra skaitlim nav pirmtēla.

• Funkcija (matemātika)
• Surjektīva funkcija
• Bijektīvā funkcija