Injektīva funkcija

Matemātikā injektīvā funkcija ir funkcija f : A → B ar šādu īpašību. Katram elementam b kodu domēnā B ir ne vairāk kā viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b.

Injekcijas terminu un ar to saistītos terminus surjekcija un bijekcija ieviesa Nikolajs Burbaki. Pagājušā gadsimta 30. gados viņš un grupa citu matemātiķu publicēja virkni grāmatu par moderno progresīvo matemātiku.

Injekcijas funkciju bieži sauc par 1-1 funkciju. Tomēr 1-1 atbilstība ir bijektīva funkcija (gan injektīvā, gan surjektīvā). Tas ir mulsinoši, tāpēc esiet uzmanīgi.

Pamatīpašības

Oficiāli:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ ir injektīvā funkcija, ja ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\pareizā bultiņa \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ vai līdzvērtīgi

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ ir injektīvā funkcija, ja ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\,\pareizvērt \,\,a_{1}=a_{2}}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Elementu a {\displaystyle a} sauc par elementa b {\displaystyle b} $b$ pirmtēlu, ja f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Injekcijām ir viens vai neviens priekšveids katram B elementam b.

Kardinalitāte

Kardinalitāte ir kopas elementu skaits. A={X,Y,Z,W} kardinalitāte ir 4. Mēs rakstām #A=4.

Ja kopas kardinalitāte ir mazāka par domēna kardinalitāti, funkcija nevar būt injekcija. (Piemēram, nav iespējams atveidot 6 elementus uz 5 elementiem bez dublēšanas.)

Piemēri

Elementāras funkcijas

Lai f(x):ℝ→→ℝ ir reālas vērtības funkcija y=f(x) reālas vērtības argumentam x. (Tas nozīmē, ka gan ieeja, gan izeja ir reāli skaitļi.)

Grafiskā nozīme: Funkcija f ir injekcija, ja katra horizontālā līnija šķērso f grafiku ne vairāk kā vienā punktā.
Algebriskā nozīme: Funkcija f ir injekcija, ja f(x_o )=f(x₁ ) nozīmē x_o =x₁ .

Piemērs: Slīpās līnijas lineārā funkcija ir 1-1. Tas ir, y=ax+b, kur a≠0 ir injekcija. (Tā ir arī surjekcija un tādējādi bijekcija.)

Pierādījums: Lai x_o un x₁ ir reāli skaitļi. Pieņemsim, ka līnija attēlo šīs divas x vērtības uz vienu un to pašu y vērtību. Tas nozīmē, ka a-x_o +b=a-x₁ +b. No abām pusēm atņem b. Iegūstam a-x_o =a-x₁ . Tagad abas malas daliet ar a (atcerieties a≠0). Iegūstam x_o =x₁ . Tātad esam pierādījuši formālo definīciju un funkciju y=ax+b, kur a≠0 ir injekcija.

Piemērs: Trešās pakāpes polinoma funkcija: f(x)=x³ ir injekcija. Tomēr trešās pakāpes polinoma funkcija: f(x)=x³ -3x nav injekcija.

Diskusija 1: Jebkura horizontāla līnija krustojas ar diagrammu

f(x)=x³ tieši vienu reizi. (Tā ir arī surjekcija.)

Diskusija 2. Jebkura horizontālā līnija starp y=-2 un y=2 šķērso grafiku trīs punktos, tāpēc šī funkcija nav injekcija. (Tomēr tā ir surjekcija.)

Piemērs: Kvadrātfunkcija f(x) = x² nav injekcija.

Diskusija: Jebkura horizontālā līnija y=c, kur c>0, šķērso grafiku divos punktos. Tātad šī funkcija nav injekcija. (Tā nav arī surjekcija.)

Piezīme: Neielektīvo funkciju var pārvērst par injektīvo funkciju, likvidējot daļu domēna. Mēs to saucam par domēna ierobežošanu. Piemēram, f(x)=x² domēnu ierobežo ar nenegatīviem skaitļiem (pozitīvi skaitļi un nulle). Definē

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ kur f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}}. $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Tagad šī funkcija ir injekcija. (Skatiet arī funkcijas ierobežošana.)

Piemērs: Eksponenciālā funkcija f(x) = 10^x ir injekcija. (Tomēr tā nav surjekcija.)

Diskusija: Jebkura horizontālā līnija krustojas ar grafiku ne vairāk kā vienā punktā. Horizontālās taisnes y=c, kur c>0, sagriež to tieši vienā punktā. Horizontālās taisnes y=c, kur c≤0, nešķērso grafiku nevienā punktā.

Piezīme: Aprēķinos var izmantot to, ka eksponenciālā funkcija ir injektīvā.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}}=a^{x_{1}}\,\,\,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Piemērs: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Pareizā bultiņa \,\,\,2=x-3\,\,\,\Pareizā bultiņa \,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injekcija: neviena horizontālā līnija nešķērso vairāk nekā vienu grafika punktu.

Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (un surjekcija)

Nav injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ir surjekcija)

Nav injekcija. f(x):ℝ→ℝ (nav surjekcija)

Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (nevis surjekcija)

Injekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (un surjekcija)

Citi piemēri

Piemērs: logaritmiskā funkcija bāze 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, ko definē f(x)=log(x) vai y=log₁₀ (x), ir injekcija (un surjekcija). (Tā ir inversā funkcija 10^x .)

Piemērs: Funkcija f:ℕ→ℕ, kas katru naturālo skaitli n attēlo uz 2n, ir injekcija. Katram pāra skaitlim ir tieši viens pirmtēls. Katram nepāra skaitlim nav pirmtēla.

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas matemātikā ir injektīvā funkcija?

A: Injektīva funkcija ir funkcija f: A → B, kurai piemīt īpašība, ka atšķirīgi elementi domēnā tiek attēloti uz atšķirīgiem elementiem kopdomēnā.

J: Kāda ir sakarība starp elementiem injektīvās funkcijas domēnā un kodomēnā?

A: Katram elementam b kodu domēnā B ir ne vairāk kā viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b.

J: Kas ieviesa terminus injekcija, surjekcija un bijekcija?

A: Nikolajs Burbaki un grupa citu matemātiķu ieviesa terminus injekcija, surjekcija un bijekcija.

J: Ko nozīmē injektīvā funkcija?

A: Injekcijas funkcija nozīmē, ka katrs domēna A elements atbilst unikālam elementam koddomēnā B.

J: Ar ko injektīvā funkcija atšķiras no 1-1 sakritības?

A: Injekcijas funkciju bieži sauc par 1-1 (viens pret vienu) funkciju, bet to atšķir no 1-1 atbilstības, kas ir bijektīva funkcija (gan injektīvā, gan surjektīvā).

J: Kāda ir injektīvās funkcijas īpašība?

A: Injektīvās funkcijas īpašība ir tāda, ka atšķirīgi domēna elementi tiek attēloti uz atšķirīgiem domēna elementiem.

J: Kāda ir injektīvās funkcijas nozīme matemātikā?

A: Injektīvajām funkcijām ir svarīga nozīme daudzās matemātikas jomās, tostarp topoloģijā, analīzē un algebrā, jo tām piemīt īpašība, ka atšķirīgi elementi domēnā tiek attiecināti uz atšķirīgiem elementiem koddomēnā.