Matemātikā surjektīvā jeb onto funkcija ir funkcija f : A → B ar šādu īpašību. Katram elementam b kodu domēnā B ir vismaz viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b. Tas nozīmē, ka f darbības lauks un koddomēna ir viena un tā pati kopa.

Terminu surjekcija un ar to saistītos terminus injekcija un bijekcija ieviesa matemātiķu grupa, kas sevi sauca par Nikolaju Burbaki. Pagājušā gadsimta 30. gados šī matemātiķu grupa publicēja virkni grāmatu par moderno progresīvo matemātiku. Franču priedēklis sur nozīmē virs vai uz un tika izvēlēts tāpēc, ka surjektīva funkcija pārnes savu domēnu uz savu koddomēnu.

Precīza definīcija un noformējums

Formāli: funkcija f: A → B ir surjektīva, ja Im(f) = f(A) = B. Ekvivalenti:

  • katram b ∈ B pastāv a ∈ A, tā ka f(a) = b;
  • attēla vai bildes (image) kopā ir visa kodomēna kopa B;
  • preimage jeb pirmsattēlu kopas f^{-1}({b}) nav tukšas nevienam b ∈ B.

Piezīme par terminoloģiju: bieži izmanto jēdzienus kodoma vai kodomenes vietā — latviešu literatūrā var sastapt arī terminu kodomēns (angļu valodā "codomain").

Īpašības un seku piemēri

  • Kompozīcija: ja f: A→B un g: B→C ir surjektīvas, tad g∘f: A→C arī ir surjektīva. Pretējā virzienā: ja g∘f ir surjektīva, tad g ir surjektīva (taču f var nebūt).
  • Labā inversija: funkcija f ir surjektīva tieši tad, ja pastāv funkcija g: B→A tāda, ka f∘g = id_B (identitāte uz B), t.i., g ir labais inverss. Lai šādu g konstruētu vispārīgam gadījumam, var būt nepieciešama izvēles aksioma (Axiom of Choice), jo jārīkojas ar virkni izvēlēm, ja katram b jāizvēlas viens no iespējamiem a.
  • Attiecība ar injekciju un bijekciju: bijekcija = injekcija + surjekcija. Ja f ir bijektīva, pastāv gan kreisais, gan labais inverss, un tie sakrīt.
  • Beigu kopas: ja A un B ir galīgas kopas, tad f: A→B ir surjektīva tikai tad, ja |Im(f)| = |B|, kas prasa |A| ≥ |B|.
  • Lineārās transformācijas: lineāra attēlojuma T: V→W (vektoru telpas) surjektivitāte nozīmē, ka katrs w ∈ W ir kāda v ∈ V attēls. Matricu gadījumā (reālām telpām) tas atbilst ranga vienādībai: rank(T) = dim W.

Piemēri

  • f(x)=x^3 kā funkcija f: ℝ→ℝ ir surjektīva, jo katram reālam y ir reāls x ar x^3=y.
  • f(x)=x^2 kā funkcija f: ℝ→ℝ nav surjektīva, jo nav reāla x ar x^2 = −1. Taču f: ℝ→[0,∞) (ja kodomēnu ierobežo uz [0,∞)) tad tā kļūst surjektīva.
  • Eksponenciālā funkcija exp: ℝ→ℝ (jeb e^x) nav surjektīva uz ℝ, bet ir surjektīva uz (0,∞).
  • Modulo atlikuma funkcija ℤ→ℤ_n, k ↦ k mod n, ir surjektīva — katrs atlikums modulo n ir sasniedzams.
  • Lineāra transformācija, ko attēlo matrica m×n, ir surjektīva uz ℝ^m, ja un tikai ja tās rangu ir m (pilns rangs).

Īss pierādījums: kompozīcija un labā inversa eksistence

Kompozīcija: ja f un g ir surjektīvas, ņem jebkuru c ∈ C. Pastāv b ∈ B ar g(b)=c, un pastāv a ∈ A ar f(a)=b. Tad (g∘f)(a)=g(f(a))=g(b)=c, tātad kompozīcija sasniedz katru c.

Labais inverss: ja f ir surjektīva, tad katram b ∈ B izvēlas vienu elementu a_b ∈ A ar f(a_b)=b. Definē g(b)=a_b. Tad (f∘g)(b)=f(g(b))=f(a_b)=b — iegūts identitātes attēlojums uz B. Lai izvēle būtu veicama vienmēr (īpaši, ja A ir nebeidzama un nav strukturēta), var būt nepieciešama izvēles aksioma.

Kā atpazīt, vai funkcija ir surjektīva

  • Pārbaudiet, vai formulā vai definīcijā dots priekšstats, ka visi iespējamie mērķi tiek sasniegti (piem., ja funkcijas attēls ir atvērts/ierobežots, iespējams, ne visi mērķi tiek sasniegti).
  • Lineāros gadījumos pārbaudiet rangu vai homogēno/nehomogēno vienādojumu risināmību.
  • Galīgos gadījumos vienkārši pārbaudiet attēlu kopa un salīdziniet ar kodomēnu.

Surjektivitāte ir pamatjēdziens matemātikā ar plašu pielietojumu algebra, analīze, kombinatorikā un citur. Saprotot gan definīciju, gan tipiskos testus un īpašības, ir vieglāk klasificēt funkcijas un saprast to inversu un kompozīciju uzvedību.