Surjektīvā funkcija (onto): definīcija, īpašības un piemēri
Surjektīvā (onto) funkcija — skaidra definīcija, būtiskākās īpašības, ilustrējoši piemēri un risināti uzdevumi studentiem un skolotājiem.
Matemātikā surjektīvā jeb onto funkcija ir funkcija f : A → B ar šādu īpašību. Katram elementam b kodu domēnā B ir vismaz viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b. Tas nozīmē, ka f darbības lauks un koddomēna ir viena un tā pati kopa.
Terminu surjekcija un ar to saistītos terminus injekcija un bijekcija ieviesa matemātiķu grupa, kas sevi sauca par Nikolaju Burbaki. Pagājušā gadsimta 30. gados šī matemātiķu grupa publicēja virkni grāmatu par moderno progresīvo matemātiku. Franču priedēklis sur nozīmē virs vai uz un tika izvēlēts tāpēc, ka surjektīva funkcija pārnes savu domēnu uz savu koddomēnu.
Precīza definīcija un noformējums
Formāli: funkcija f: A → B ir surjektīva, ja Im(f) = f(A) = B. Ekvivalenti:
- katram b ∈ B pastāv a ∈ A, tā ka f(a) = b;
- attēla vai bildes (image) kopā ir visa kodomēna kopa B;
- preimage jeb pirmsattēlu kopas f^{-1}({b}) nav tukšas nevienam b ∈ B.
Piezīme par terminoloģiju: bieži izmanto jēdzienus kodoma vai kodomenes vietā — latviešu literatūrā var sastapt arī terminu kodomēns (angļu valodā "codomain").
Īpašības un seku piemēri
- Kompozīcija: ja f: A→B un g: B→C ir surjektīvas, tad g∘f: A→C arī ir surjektīva. Pretējā virzienā: ja g∘f ir surjektīva, tad g ir surjektīva (taču f var nebūt).
- Labā inversija: funkcija f ir surjektīva tieši tad, ja pastāv funkcija g: B→A tāda, ka f∘g = id_B (identitāte uz B), t.i., g ir labais inverss. Lai šādu g konstruētu vispārīgam gadījumam, var būt nepieciešama izvēles aksioma (Axiom of Choice), jo jārīkojas ar virkni izvēlēm, ja katram b jāizvēlas viens no iespējamiem a.
- Attiecība ar injekciju un bijekciju: bijekcija = injekcija + surjekcija. Ja f ir bijektīva, pastāv gan kreisais, gan labais inverss, un tie sakrīt.
- Beigu kopas: ja A un B ir galīgas kopas, tad f: A→B ir surjektīva tikai tad, ja |Im(f)| = |B|, kas prasa |A| ≥ |B|.
- Lineārās transformācijas: lineāra attēlojuma T: V→W (vektoru telpas) surjektivitāte nozīmē, ka katrs w ∈ W ir kāda v ∈ V attēls. Matricu gadījumā (reālām telpām) tas atbilst ranga vienādībai: rank(T) = dim W.
Piemēri
- f(x)=x^3 kā funkcija f: ℝ→ℝ ir surjektīva, jo katram reālam y ir reāls x ar x^3=y.
- f(x)=x^2 kā funkcija f: ℝ→ℝ nav surjektīva, jo nav reāla x ar x^2 = −1. Taču f: ℝ→[0,∞) (ja kodomēnu ierobežo uz [0,∞)) tad tā kļūst surjektīva.
- Eksponenciālā funkcija exp: ℝ→ℝ (jeb e^x) nav surjektīva uz ℝ, bet ir surjektīva uz (0,∞).
- Modulo atlikuma funkcija ℤ→ℤ_n, k ↦ k mod n, ir surjektīva — katrs atlikums modulo n ir sasniedzams.
- Lineāra transformācija, ko attēlo matrica m×n, ir surjektīva uz ℝ^m, ja un tikai ja tās rangu ir m (pilns rangs).
Īss pierādījums: kompozīcija un labā inversa eksistence
Kompozīcija: ja f un g ir surjektīvas, ņem jebkuru c ∈ C. Pastāv b ∈ B ar g(b)=c, un pastāv a ∈ A ar f(a)=b. Tad (g∘f)(a)=g(f(a))=g(b)=c, tātad kompozīcija sasniedz katru c.
Labais inverss: ja f ir surjektīva, tad katram b ∈ B izvēlas vienu elementu a_b ∈ A ar f(a_b)=b. Definē g(b)=a_b. Tad (f∘g)(b)=f(g(b))=f(a_b)=b — iegūts identitātes attēlojums uz B. Lai izvēle būtu veicama vienmēr (īpaši, ja A ir nebeidzama un nav strukturēta), var būt nepieciešama izvēles aksioma.
Kā atpazīt, vai funkcija ir surjektīva
- Pārbaudiet, vai formulā vai definīcijā dots priekšstats, ka visi iespējamie mērķi tiek sasniegti (piem., ja funkcijas attēls ir atvērts/ierobežots, iespējams, ne visi mērķi tiek sasniegti).
- Lineāros gadījumos pārbaudiet rangu vai homogēno/nehomogēno vienādojumu risināmību.
- Galīgos gadījumos vienkārši pārbaudiet attēlu kopa un salīdziniet ar kodomēnu.
Surjektivitāte ir pamatjēdziens matemātikā ar plašu pielietojumu algebra, analīze, kombinatorikā un citur. Saprotot gan definīciju, gan tipiskos testus un īpašības, ir vieglāk klasificēt funkcijas un saprast to inversu un kompozīciju uzvedību.
Pamatīpašības
Oficiāli:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} ir
surjektīva funkcija, ja ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\eksistē a\in A} tāda
, ka f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementu b {\displaystyle b}
sauc par elementa a {\displaystyle a}
attēlu.
- Formālā definīcija nozīmē: Katrs kopas B elements ir vismaz viena A domēna elementa attēls.
Elementu a {\displaystyle a} sauc par elementa b {\displaystyle b} pirmtēlu.
- Formālā definīcija nozīmē: Katram kopas B elementam ir vismaz viens pirmtēls domēnā A.
Priekšattēlam nav jābūt unikālam. Augšējā attēlā gan {X}, gan {Y} ir elementa {1} priekšattēli. Svarīgi ir tikai tas, lai būtu vismaz viens priekšattēls. (Sk. arī: injektīva funkcija, bijektīva funkcija)
Piemēri
Elementāras funkcijas
Lai f(x):ℝ→→ℝ ir reālas vērtības funkcija y=f(x) reālas vērtības argumentam x. (Tas nozīmē, ka gan ieeja, gan izeja ir skaitļi.)
- Grafiskā nozīme: Funkcija f ir surjekcija, ja katra horizontālā līnija šķērso f grafiku vismaz vienā punktā.
- Analītiskā nozīme: Ja katram reālajam skaitlim yo var atrast vismaz vienu reālo skaitli x, kas ir otāds, ka y=fo(xo).
Atrast pirmtēlu xo dotajam yo ir līdzvērtīgi abiem jautājumiem:
- Vai vienādojumam f(x)-y=0o ir atrisinājums? vai
- Vai funkcijai f(x)-yo ir sakne?
Matemātikā mēs varam atrast precīzas (analītiskas) saknes tikai pirmās, otrās (un trešās) pakāpes polinomiem. Visu pārējo funkciju saknes atrodam aptuveni (skaitliski). Tas nozīmē, ka formāls pārņemamības pierādījums reti kad ir tiešs. Tāpēc turpmāk izklāstītās diskusijas ir neformālas.
Piemērs: Uz slīpas līnijas lineārā funkcija ir onto. Tas ir, y=ax+b, kur a≠0 ir surjekcija. (Tā ir arī injekcija un tādējādi bijekcija.)
Pierādījums: Tā kā a≠0, mēs iegūstam x= (y-boo)/a. Tas nozīmē, ka x=o(y-bo)/a ir yo pirmtēls. Tas pierāda, ka funkcija y=ax+b, kur a≠0 ir surjection. (Tā kā ir tieši viens pirmtēls, šī funkcija arī ir injekcija.)
Praktisks piemērs: y= -2x+4. Kāds ir y=2 pirmtēls? Risinājums: Šeit a= -2, t.i., a≠0, un jautājums ir šāds: Kādam x ir y=2? Ievietojam y=2 funkcijā. Iegūstam x=1, t. i., y(1)=2. Tātad atbilde ir: x=1 ir y=2 pirmtēls.
Piemērs: Kubiskais (trešās pakāpes) polinoms f(x)=x-3x3 ir surjekcija.
Diskusija: Kubiskajai vienādībai x-3x-y=03o ir reāli koeficienti (a=13, a=02, a=-31, a=-y0o). Katram šādam kubiskam vienādojumam ir vismaz viena reālā sakne. Tā kā polinoma domēns ir ℝ, tas nozīmē, ka šajā domēnā ir vismaz viens priekšveids xo. Tas ir, (x0)3-3x-y=00o. Tātad funkcija ir surjekcija. (Tomēr šī funkcija nav injekcija. Piemēram, y=2o ir 2 pirmtēli: x=-1 un x=2. Patiesībā katram y, -2≤y≤2 ir vismaz 2 pirmvarianti.)
Piemērs: Kvadrātfunkcija f(x) = x2 nav surjekcija. Nav tāda x, lai x 2= -1. X² intervāls ir [0,+∞) , tas ir, nenegatīvo skaitļu kopa. (Arī šī funkcija nav injekcija.)
Piezīme: Nesurjektīvu funkciju var pārvērst par surjekciju, ierobežojot tās kodu domēnu ar tās diapazona elementiem. Piemēram, jaunā funkcija fN(x):ℝ → [0,+∞), kur fN(x) = x2, ir surjektīva funkcija. (Tas nav tas pats, kas funkcijas ierobežojums, kas ierobežo domēnu!)
Piemērs: Eksponenciālā funkcija f(x) = 10x nav surjekcija. Diapazons ir 10x(0,+∞), tas ir, pozitīvo skaitļu kopa. (Šī funkcija ir injekcija.)
|
Surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (un injekcija) |
Surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (nav injekcija) |
Nav surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne injekcija) |
|
Nav surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (bet ir injekcija) |
Surjekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (un injekcija) |
Surjekcija. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Attēlā redzams, ka z=2 pirmtēls ir līnija y=2.) |
Citi piemēri ar reālās vērtības funkcijām
Piemērs: f(x):(0,+∞)→ℝ, ko definē f(x)=log(x) vai y=log10(x), ir surjekcija (un injekcija). (Tā ir 10 xapgrieztā funkcija.)
- Karteziskā reizinājuma A × B projekcija uz vienu no tā faktoriem ir surjekcija.
Piemērs: Funkcija f((x,y)):ℝ²→ℝ, ko definē ar z=y, ir surjekcija. Tās grafiks ir plakne trīsdimensiju telpā. Zo pirmtēls ir līnija y=zo plaknē xy. 0
- 3D spēlēs trīsdimensiju telpa tiek projicēta uz divdimensiju ekrāna, izmantojot surjection.
Saistītās lapas
Jautājumi un atbildes
J: Kas matemātikā ir surjektīva funkcija?
A: Surjektīva funkcija matemātikā ir funkcija f: A → B, kurai piemīt īpašība, ka katram elementam b kopapjomā B ir vismaz viens elements a domēnā A, kas ir tāds, ka f(a)=b.
J: Kāda ir surjektīvās funkcijas nozīme matemātikā?
A: Surjektīvā funkcija nodrošina, ka neviens elements koddomēnā nav neattēlots un ka f diapazons un koddomēna ir viena un tā pati kopa.
J: Kāda ir termina surjekcija izcelsme?
A.: Terminu surjekcija ieviesa matemātiķu grupa, ko sauca par Nikolaju Burbaki.
J: Kāda ir franču valodas priedēkļa sur nozīme vārdam surjective?
A: Franču valodas priedēklis sur nozīmē virs vai uz.
J: Kāpēc šādai funkcijai tika izvēlēts termins surjektīvs?
A: Termins "surjektīvs" tika izvēlēts šāda veida funkcijai, jo surjektīvā funkcija attiecina savu domēnu uz savu kopdomēnu.
J: Kas pagājušā gadsimta 30. gados izdeva grāmatu sēriju par moderno progresīvo matemātiku?
A: Matemātiķu grupa, ko sauca par Nikolaju Burbaki, 20. gadsimta 30. gados publicēja grāmatu sēriju par moderno progresīvo matemātiku.
J: Kas ir injekcija un bijekcija matemātikā?
A: Injekcija un bijekcija ir ar surjekciju saistīti termini matemātikā. Injekcijas funkcija nodrošina, ka neviens no diviem domēna elementiem nav attiecināms uz vienu un to pašu elementu koddomenā. Bijekcijas funkcija ir gan surjektīva, gan injektīva.
Meklēt