Surjektīva funkcija

Matemātikā surjektīvā jeb onto funkcija ir funkcija f : A → B ar šādu īpašību. Katram elementam b kodu domēnā B ir vismaz viens elements a domēnā A tāds, ka f(a)=b. Tas nozīmē, ka f darbības lauks un koddomēna ir viena un tā pati kopa.

Terminu surjekcija un ar to saistītos terminus injekcija un bijekcija ieviesa matemātiķu grupa, kas sevi sauca par Nikolaju Burbaki. Pagājušā gadsimta 30. gados šī matemātiķu grupa publicēja virkni grāmatu par moderno progresīvo matemātiku. Franču priedēklis sur nozīmē virs vai uz un tika izvēlēts tāpēc, ka surjektīva funkcija pārnes savu domēnu uz savu koddomēnu.

Pamatīpašības

Oficiāli:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} ir $f:A\rightarrow B$ surjektīva funkcija, ja ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\eksistē a\in A} tāda $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ , ka f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Elementu b {\displaystyle b} $b$ sauc par elementa a {\displaystyle a} attēlu.

Formālā definīcija nozīmē: Katrs kopas B elements ir vismaz viena A domēna elementa attēls.

Elementu a {\displaystyle a} sauc par elementa b {\displaystyle b} $b$ pirmtēlu.

Formālā definīcija nozīmē: Katram kopas B elementam ir vismaz viens pirmtēls domēnā A.

Priekšattēlam nav jābūt unikālam. Augšējā attēlā gan {X}, gan {Y} ir elementa {1} priekšattēli. Svarīgi ir tikai tas, lai būtu vismaz viens priekšattēls. (Sk. arī: injektīva funkcija, bijektīva funkcija)

Piemēri

Elementāras funkcijas

Lai f(x):ℝ→→ℝ ir reālas vērtības funkcija y=f(x) reālas vērtības argumentam x. (Tas nozīmē, ka gan ieeja, gan izeja ir skaitļi.)

Grafiskā nozīme: Funkcija f ir surjekcija, ja katra horizontālā līnija šķērso f grafiku vismaz vienā punktā.
Analītiskā nozīme: Ja katram reālajam skaitlim y_o var atrast vismaz vienu reālo skaitli x, kas ir _otāds, ka y=f_o(x_o).

Atrast pirmtēlu x_o dotajam y_o ir līdzvērtīgi abiem jautājumiem:

Vai vienādojumam f(x)-y=0_o ir atrisinājums? vai
Vai funkcijai f(x)-y_o ir sakne?

Matemātikā mēs varam atrast precīzas (analītiskas) saknes tikai pirmās, otrās (un trešās) pakāpes polinomiem. Visu pārējo funkciju saknes atrodam aptuveni (skaitliski). Tas nozīmē, ka formāls pārņemamības pierādījums reti kad ir tiešs. Tāpēc turpmāk izklāstītās diskusijas ir neformālas.

Piemērs: Uz slīpas līnijas lineārā funkcija ir onto. Tas ir, y=ax+b, kur a≠0 ir surjekcija. (Tā ir arī injekcija un tādējādi bijekcija.)

Pierādījums: Tā kā a≠0, mēs iegūstam x= (y-b_oo)/_a. Tas nozīmē, ka x=_o(y-b_o)/_a ir y_o pirmtēls. Tas pierāda, ka funkcija y=ax+b, kur a≠0 ir surjection. (Tā kā ir tieši viens pirmtēls, šī funkcija arī ir injekcija.)

Praktisks piemērs: y= -2x+4. Kāds ir y=2 pirmtēls? Risinājums: Šeit a= -2, t.i., a≠0, un jautājums ir šāds: Kādam x ir y=2? Ievietojam y=2 funkcijā. Iegūstam x=1, t. i., y(1)=2. Tātad atbilde ir: x=1 ir y=2 pirmtēls.

Piemērs: Kubiskais (trešās pakāpes) polinoms f(x)=x-3x³ ir surjekcija.

Diskusija: Kubiskajai vienādībai x-3x-y=0³_o ir reāli koeficienti (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Katram šādam kubiskam vienādojumam ir vismaz viena reālā sakne. Tā kā polinoma domēns ir ℝ, tas nozīmē, ka šajā domēnā ir vismaz viens priekšveids x_o. Tas ir, (x₀)³-3x-y=0_0o. Tātad funkcija ir surjekcija. (Tomēr šī funkcija nav injekcija. Piemēram, y=2_o ir 2 pirmtēli: x=-1 un x=2. Patiesībā katram y, -2≤y≤2 ir vismaz 2 pirmvarianti.)

Piemērs: Kvadrātfunkcija f(x) = x² nav surjekcija. Nav tāda x, lai x ²= -1. X² intervāls ir [0,+∞) , tas ir, nenegatīvo skaitļu kopa. (Arī šī funkcija nav injekcija.)

Piezīme: Nesurjektīvu funkciju var pārvērst par surjekciju, ierobežojot tās kodu domēnu ar tās diapazona elementiem. Piemēram, jaunā funkcija f_N(x):ℝ → [0,+∞), kur f_N(x) = x², ir surjektīva funkcija. (Tas nav tas pats, kas funkcijas ierobežojums, kas ierobežo domēnu!)

Piemērs: Eksponenciālā funkcija f(x) = 10^x nav surjekcija. Diapazons ir 10^x(0,+∞), tas ir, pozitīvo skaitļu kopa. (Šī funkcija ir injekcija.)

Surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (un injekcija)

Surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (nav injekcija)

Nav surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne injekcija)

Nav surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (bet ir injekcija)

Surjekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (un injekcija)

Surjekcija. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Attēlā redzams, ka z=2 pirmtēls ir līnija y=2.)

Citi piemēri ar reālās vērtības funkcijām

Piemērs: f(x):(0,+∞)→ℝ, ko definē f(x)=log(x) vai y=log₁₀(x), ir surjekcija (un injekcija). (Tā ir 10 ^xapgrieztā funkcija.)

Karteziskā reizinājuma A × B projekcija uz vienu no tā faktoriem ir surjekcija.

Piemērs: Funkcija f((x,y)):ℝ²→ℝ, ko definē ar z=y, ir surjekcija. Tās grafiks ir plakne trīsdimensiju telpā. Z_o pirmtēls ir līnija y=z_o plaknē xy. 0

3D spēlēs trīsdimensiju telpa tiek projicēta uz divdimensiju ekrāna, izmantojot surjection.

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas matemātikā ir surjektīva funkcija?

A: Surjektīva funkcija matemātikā ir funkcija f: A → B, kurai piemīt īpašība, ka katram elementam b kopapjomā B ir vismaz viens elements a domēnā A, kas ir tāds, ka f(a)=b.

J: Kāda ir surjektīvās funkcijas nozīme matemātikā?

A: Surjektīvā funkcija nodrošina, ka neviens elements koddomēnā nav neattēlots un ka f diapazons un koddomēna ir viena un tā pati kopa.

J: Kāda ir termina surjekcija izcelsme?

A.: Terminu surjekcija ieviesa matemātiķu grupa, ko sauca par Nikolaju Burbaki.

J: Kāda ir franču valodas priedēkļa sur nozīme vārdam surjective?

A: Franču valodas priedēklis sur nozīmē virs vai uz.

J: Kāpēc šādai funkcijai tika izvēlēts termins surjektīvs?

A: Termins "surjektīvs" tika izvēlēts šāda veida funkcijai, jo surjektīvā funkcija attiecina savu domēnu uz savu kopdomēnu.

J: Kas pagājušā gadsimta 30. gados izdeva grāmatu sēriju par moderno progresīvo matemātiku?

A: Matemātiķu grupa, ko sauca par Nikolaju Burbaki, 20. gadsimta 30. gados publicēja grāmatu sēriju par moderno progresīvo matemātiku.

J: Kas ir injekcija un bijekcija matemātikā?

A: Injekcija un bijekcija ir ar surjekciju saistīti termini matemātikā. Injekcijas funkcija nodrošina, ka neviens no diviem domēna elementiem nav attiecināms uz vienu un to pašu elementu koddomenā. Bijekcijas funkcija ir gan surjektīva, gan injektīva.