Konstanta funkcija — definīcija, īpašības un piemēri matemātikā

Uzzini, kas ir konstanta funkcija: skaidra definīcija, galvenās īpašības un ilustrēti piemēri matemātikā — viegli saprotami skaidrojumi un grafiki.

Autors: Leandro Alegsa

06-01-2026 22:37

Matemātikā konstanta funkcija ir funkcija, kuras izejas vērtība ir vienāda katrai ieejas vērtībai. Piemēram, funkcija y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} $y(x)=4$ ir konstanta funkcija, jo y ( x ) {\displaystyle y(x)} vērtība ir $y(x)$ 4 neatkarīgi no ieejas vērtības x {\displaystyle x} (skatīt attēlu).

Kas ir konstanta funkcija — precīzāka definīcija

Konstanta funkcija f no kopas A uz kopu B ir tāda funkcija, kurai pastāv konstanta c ∈ B, ka f(x) = c visiem x ∈ A. Īsāk: visas attēlotās vērtības veido vienu punktu {c}.

Galvenās īpašības

Attēls (range): attēlu kopai ir viens elements — {c}.
Domēns: var būt jebkura kopa A; funkcija ir definēta visos domēna punktos ar vienu un to pašu vērtību c.
Grafiks: reālās mainīgās gadījumā f(x)=c grafiks ir horizontāla taisne y=c.
Derivācija: ja f(x)=c definēta uz atvērtā intervāla, tad f′(x)=0 visos intervāla punktos. (Atvasinājuma definīcijas robeža (f(x+h)-f(x))/h = 0.)
Integrālis: noteiktā integrālā ∫_a^b c dx = c(b−a). Neitrālais antiderivāts ir F(x)=cx + C.
Kontinuitāte: konstanta funkcija ir visur kontinuāla uz domēna.
Monotonitāte: gan nekristoša, gan nenmaujoša — tā ir vienlaikus nedilstoša un neaugoša.
Injektivitāte un surjektivitāte: konstanta funkcija nav injektīva, ja domēnā ir vismaz divi atšķirīgi elementi. Tā ir surjektīva tikai tad, ja kodomēna kopas B = {c} (t.i., kodomēns satur tikai šo vienīgo vērtību).
Periodiskums: konstanta funkcija ir periodiska ar jebkuru periodu T ≠ 0 (jo f(x+T)=c=f(x)).
Boundedness un Lipschitz: ir ierobežota (bounded) — |f(x)| ≤ M kur M = |c|; ir Lipschitz ar konstanti 0.
Algebraiskas īpašības: summas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas (izņemot dalījumu ar 0) ar konstantām rezultāts ir konstanta. Kompozīcija f∘g ir konstanta, ja f ir konstanta.

Vienkārši piemēri

f: R → R, f(x) = 0 (nulles funkcija).
g: R → R, g(x) = 4 (piemērs no ievada).
h: {1,2,3} → R, h(x) = 7 (konstanta funkcija ar ierobežotu domēnu).
Ar triviālu mainīgo: ja f′(x)=0 uz intervāla, tad f(x) = c uz šī intervāla — tas ir diferenciālvienādojuma f′=0 vispārīgais risinājums.

Nelieli pierādījumi un paskaidrojumi

Derivācija = 0: Lai f(x)=c, atvasinājums definējas kā lim_{h→0} (f(x+h)-f(x))/h = lim_{h→0} (c−c)/h = 0.
Integrālis: ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b c dx = c ∫_a^b dx = c(b−a). Antiderivāts F(x)=cx + C, jo F′(x)=c.
Ne-injektivitāte: ja domēnā A ir x1≠x2, tad f(x1)=c=f(x2), tātad funkcija nevar būt viens‑vienai (injektīva).

Praktiska nozīme un pielietojums

Konstanta funkcija ir bieži sastopama teorētiskos un praktiskos kontekstos: kā risinājums vienkāršiem diferenciālvienādojumiem (f′=0), kā robežas vērtība statistikas vai funkciju analīzes uzdevumos, kā nosacījums modeļos, kad kāds parametrs paliek nemainīgs. Tā arī kalpo kā viegls piemērs īpašību pārbaudei (kontinuitāte, atvasināmība, integrējamība utt.).

Piezīmes

Konstanta funkcija ir vienkāršākais iespējamais funkciju veids, bet pat tā var rādīt dažādas ģeometriskas un algebraiskas īpašības, kas noder plašākai teorētiskai izpratnei.
Ja nepieciešams saglabāt kodomēnu, der atcerēties, ka surjektivitātes pārbaudei jāņem vērā tieši kodomēna kopas elementi.

Constant funkcija y=4

Pamatīpašības

Formāli konstantai funkcijai f(x):R→R ir forma f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} $f(x)=c$ . Parasti mēs rakstām y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} $y(x)=c$ vai vienkārši y = c {\displaystyle y=c} $y=c$ .

Funkcijai y=c ir 2 mainīgie x un у un 1 konstante c. (Šajā funkcijas formā mēs neredzam x, bet tas tur ir.)

Konstante c ir reāls skaitlis. Pirms strādāt ar lineāro funkciju, mēs aizstājam c ar reālu skaitli.
Y=c domēns jeb ieejas vērtība ir R. Tātad var ievadīt jebkuru reālu skaitli x. Tomēr izeja vienmēr ir vērtība c.
Y=c diapazons arī ir R. Tomēr, tā kā izeja vienmēr ir c vērtība, tad kodomaina ir tikai c.

Piemērs: Funkcija y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} $y(x)=4$ vai vienkārši y = 4 {\displaystyle y=4} $y=4$ ir specifiska konstantas funkcija, kuras izejas vērtība ir c = 4 {\displaystyle c=4} $c=4$ . Domēns ir visi reālie skaitļi ℝ. Kodomaina ir tikai {4}. Proti, y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,..... Neatkarīgi no tā, kāda x vērtība tiek ievadīta, izejas rezultāts ir "4".

Konstantās funkcijas y = c {\displaystyle y=c} $y=c$ grafiks ir horizontāla līnija plaknē, kas šķērso punktu ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} $(0,c)$ .
Ja c≠0, tad konstantā funkcija y=c ir nulles pakāpes polinoms vienā mainīgajā x.

Šīs funkcijas y-intercepts ir punkts (0,c).
Šai funkcijai nav x-intercepcijas. Tas nozīmē, ka tai nav saknes vai nulles. Tā nekad nešķērso x asi.

Ja c=0, tad ir y=0. Tas ir nulles polinoms jeb identiski nulles funkcija. Katrs reālais skaitlis x ir sakne. Y=0 grafiks ir ass x plaknē.
Konstanta funkcija ir vienmērīga funkcija, tāpēc y ass ir simetrijas ass katrai konstantai funkcijai.

Konstantas funkcijas atvasinājums

Tās definīcijas kontekstā funkcijas atvasinājums mēra funkcijas (izejas) vērtību izmaiņu ātrumu attiecībā pret izmaiņām ieejas vērtībās. Konstanta funkcija nemainās, tāpēc tās atvasinājums ir 0. To bieži raksta: ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} $(c)'=0$

Piemērs: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}} $y(x)=-{\sqrt {2}}$ ir konstanta funkcija. Y atvasinājums ir identiski nulles funkcija y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{{\sqrt {2}}})'=0} $y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0$

Arī pretējais (pretējais) ir taisnība. Tas ir, ja funkcijas atvasinājums visur ir vienāds ar nulli, tad šī funkcija ir konstanta funkcija.

Matemātiski mēs rakstām šos divus apgalvojumus:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\forall x\in \mathbb {R} } $y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\forall x\in \mathbb {R}$

Apkopojums

Funkcija f : A → B ir konstanta funkcija, ja f(a) = f(b) katram a un b A.

Piemēri

Reāls piemērs: Veikals, kurā katra prece tiek pārdota par 1 eiro. Šīs funkcijas domēns ir preces veikalā. Kodomaina ir 1 euro.

Piemērs: Lai f : A → B, kur A={X,Y,Z,W} un B={1,2,3} un f(a)=3 katram a∈A. Tad f ir konstanta funkcija.

Piemērs: z(x,y)=2 ir konstanta funkcija no A=ℝ² uz B=ℝ, kur katrs punkts (x,y)∈ℝ² tiek attēlots uz vērtību z=2. Šīs konstantās funkcijas grafiks ir horizontālā plakne (paralēla x0y plaknei) trīsdimensiju telpā, kas šķērso punktu (0,0,0,2).

Piemērs: Polārā funkcija ρ(φ)=2,5 ir konstanta funkcija, kas katru leņķi φ attiecina uz rādiusu ρ=2,5. Šīs funkcijas grafiks ir 2,5 rādiusa aplis plaknē.

Vispārināta konstantas funkcija.

Konstantā funkcija z(x,y)=2

Pastāvīgā polārā funkcija ρ(φ)=2,5

Citas īpašības

Pastāvīgām funkcijām ir arī citas īpašības. Skatiet Konstanta funkcija angļu Vikipēdijā

Saistītās lapas

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir konstanta funkcija?

A: Konstanta funkcija ir funkcija, kuras izejas vērtība paliek nemainīga katrai ieejas vērtībai.

J: Vai varat minēt konstantas funkcijas piemēru?

A: Jā, konstantas funkcijas piemērs būtu y(x) = 4, kur y(x) vērtība vienmēr ir vienāda ar 4 neatkarīgi no ieejas vērtības x.

J: Kā var noteikt, vai funkcija ir konstanta funkcija?

Atbilde: To, vai funkcija ir konstanta funkcija, var noteikt pēc tā, vai tās izejas vērtība paliek vienāda katrai ieejas vērtībai.

J: Ko nozīmē, ja mēs sakām, ka "y(x)=4" attiecībā uz konstantu funkciju?

A: Kad mēs sakām, ka "y(x)=4", tas nozīmē, ka y(x) izejas vērtība vienmēr būs vienāda ar 4 neatkarīgi no tā, kāda būs x ieejas vērtība.

J: Vai ir kāds veids, kā vizualizēt, kā izskatās konstantas funkcijas?

A: Jā, viens no veidiem, kā vizualizēt, kā izskatās konstantas funkcijas, ir attēls vai grafiks.

J: Vai konstantu funkciju izvades rezultāts mainās atkarībā no ieejas vērtības?

A: Nē, konstantu funkcijās izeja nemainās atkarībā no ieejas.

Meklēt