Matemātikā izliekts regulārs 4-politops (vai polihorons) ir četrdimensiju (4D) politops, kas ir gan regulārs, gan izliekts. Tie ir četrdimensiju analogi Platona ķermeņiem (trīs dimensijās) un regulāriem daudzstūriem (divās dimensijās).
Šos daudzstūrus 19. gadsimta vidū pirmo reizi aprakstīja šveiciešu matemātiķis Ludvigs Šlēfli. Šlēfli atklāja, ka ir tieši seši šādi skaitļi. Piecas no tām var uzskatīt par Platona ķermeņu augstāka izmēra analogiem. Ir vēl viena figūra (24-šūnu figūra), kurai nav trīsdimensiju ekvivalenta.
Katru izliektu regulāru 4-politopu ierobežo trīsdimensiju šūnu kopa, kas visas ir viena veida un lieluma Platona cietvielas. Tās ir savienotas gar savām attiecīgajām virsmām regulārā veidā.
Seši izliektie regulārie 4-politopi
Ir tieši seši konvekso (izliektu) regulāru 4-politopu veidi. Tos bieži apzīmē ar Šlēfli simbolu {p,q,r}, kur šūnas ir regulārs sešstūris {p,q} un virsotņu figūra ir {q,r}. Zemāk ir īss pārskats par katru no sešiem, ar nosaukumiem, Šlēfli simboliem un elementu skaitiem:
- 5-šūnu figūra (pentahorons, 4-simplex) — Šlēfli simbols {3,3,3}.
Šūnas: 5 (tetraedri); Sejas: 10 (trijstūri); Malas: 10; Virsotnes: 5.
Autoduals (pašduāla) — tas nozīmē, ka duālais daudzstūris ir tāds pats tips. - 8-šūnu figūra (tesserakts, hiperkubs) — Šlēfli simbols {4,3,3}.
Šūnas: 8 (kubi); Sejas: 24 (kvadrāti); Malas: 32; Virsotnes: 16.
Duāls: 16-šūnu figūra. - 16-šūnu figūra (hexadecachoron) — Šlēfli simbols {3,3,4}.
Šūnas: 16 (tetraedri); Sejas: 32 (trijstūri); Malas: 24; Virsotnes: 8.
Duāls: tesserakts. - 24-šūnu figūra (icositetrachoron) — Šlēfli simbols {3,4,3}.
Šūnas: 24 (oktahēdri); Sejas: 96 (trijstūri); Malas: 96; Virsotnes: 24.
Pašduāla un unikāla — šai figūrai nav tieša trīsdimensiju Platona analoga. - 120-šūnu figūra (hekatonicosachoron, 120-cell) — Šlēfli simbols {5,3,3}.
Šūnas: 120 (dodekaedri); Sejas: 720 (piecstūri); Malas: 1200; Virsotnes: 600.
Duāls: 600-šūnu figūra. - 600-šūnu figūra (hexacosichoron, 600-cell) — Šlēfli simbols {3,3,5}.
Šūnas: 600 (tetraedri); Sejas: 1200 (trijstūri); Malas: 720; Virsotnes: 120.
Duāls: 120-šūnu figūra.
Regulāra, konveksa un duālas īpašības
Ar terminu regulārs saprot, ka politopam ir pilnīga simetrija: simetriju grupa darbojas tranzitīvi uz tā flagām (apvienojumiem no virsotnes, malas un šūnas u. tml.), tāpēc visas elementu klases (virsotnes, malas, sejas, šūnas) ir ekvivalenti. Ar vārdu izliekts (konvekss) norāda, ka daudzstūris atrodas Eiropas telpā (4D) kā konveksa ķermenis bez „iegriezumiem” iekšpusē.
Duāls daudzstūris iegūstams, apmaiņot virsotnes ar šūnām un malas ar sejām; regulāri daudzstūri parasti veido duālas pārus (izņemot pašduālos). Tā, piemēram, tesserakts un 16-šūnu figūra ir duāli, līdzīgi 120- un 600-šūnu figūras ir duāli, bet 5-šūnu un 24-šūnu figūras ir pašduālas.
Šlēfli simbols un ģeometriskā nozīme
Šlēfli simbols {p,q,r} īsi kodē struktūru: katra šūna ir regulārs polihedrs {p,q} (Pietiekama: tas ir Platona cietvielas tips), un virsotņu figūra ir {q,r}. No simbola var nolasīt, kādi sejas un cik to apkārt katrai malas vai virsotnei sastopas.
Simetrijas grupas
Šiem politopiem ir ciešas saites ar Coxeteru un Lie grupu teoriju. Vairākus no tiem klasificē pēc Coxetera grupām: A4 atbilst 5-šūnu figūrai, B4 — tesseraktam/16-šūnu figūrai, F4 — 24-šūnu figūrai, un H4 — 120/600-šūnu pārim. Šīs simetrijas nosaka, cik regulāras un „pilnas” var būt 4D figūras.
Vizualizācija un pielietojumi
Četrdimensiju politopu vizualizācija prasa projekcijas uz 3D vai 2D telpu — bieži izmanto projekcijas, šķērsgriezumus vai grafiskus modeļus. Lai gan tie nav tieši novērojami mūsu trīs dimensijās, to īpašības ir noderīgas simetrijas pētījumos, topoloģijā, kombinatorikā un teorētiskās fizikas modeļos, kur parādās augstākas dimensijas struktūras.
Šis kopsavilkums sniedz pārskatu par izliektajiem regulārajiem 4-politopiem, to galvenajām īpašībām un relācijām ar trīsdimensiju Platona ķermeņiem. Ja vēlaties, varu pievienot ilustrācijas, projekciju piemērus vai detalizētāk izskaidrot Šlēfli simbolu matemātisko izcelsmi.
