Četrdimensiju regulārie politopi (polihoroni) — Šlēfli un Platona analogi

Atklāj četrdimensiju regulāros politopus (polihoronus): Šlēfli atklājumi, seši 4D Platona analogi un unikālā 24-šūnu figūra — vizuāla un teorētiska ceļvedis.

Autors: Leandro Alegsa

22-10-2025 10:59

Matemātikā izliekts regulārs 4-politops (vai polihorons) ir četrdimensiju (4D) politops, kas ir gan regulārs, gan izliekts. Tie ir četrdimensiju analogi Platona ķermeņiem (trīs dimensijās) un regulāriem daudzstūriem (divās dimensijās).

Šos daudzstūrus 19. gadsimta vidū pirmo reizi aprakstīja šveiciešu matemātiķis Ludvigs Šlēfli. Šlēfli atklāja, ka ir tieši seši šādi skaitļi. Piecas no tām var uzskatīt par Platona ķermeņu augstāka izmēra analogiem. Ir vēl viena figūra (24-šūnu figūra), kurai nav trīsdimensiju ekvivalenta.

Katru izliektu regulāru 4-politopu ierobežo trīsdimensiju šūnu kopa, kas visas ir viena veida un lieluma Platona cietvielas. Tās ir savienotas gar savām attiecīgajām virsmām regulārā veidā.

Seši izliektie regulārie 4-politopi

Ir tieši seši konvekso (izliektu) regulāru 4-politopu veidi. Tos bieži apzīmē ar Šlēfli simbolu {p,q,r}, kur šūnas ir regulārs sešstūris {p,q} un virsotņu figūra ir {q,r}. Zemāk ir īss pārskats par katru no sešiem, ar nosaukumiem, Šlēfli simboliem un elementu skaitiem:

5-šūnu figūra (pentahorons, 4-simplex) — Šlēfli simbols {3,3,3}.
Šūnas: 5 (tetraedri); Sejas: 10 (trijstūri); Malas: 10; Virsotnes: 5.
Autoduals (pašduāla) — tas nozīmē, ka duālais daudzstūris ir tāds pats tips.
8-šūnu figūra (tesserakts, hiperkubs) — Šlēfli simbols {4,3,3}.
Šūnas: 8 (kubi); Sejas: 24 (kvadrāti); Malas: 32; Virsotnes: 16.
Duāls: 16-šūnu figūra.
16-šūnu figūra (hexadecachoron) — Šlēfli simbols {3,3,4}.
Šūnas: 16 (tetraedri); Sejas: 32 (trijstūri); Malas: 24; Virsotnes: 8.
Duāls: tesserakts.
24-šūnu figūra (icositetrachoron) — Šlēfli simbols {3,4,3}.
Šūnas: 24 (oktahēdri); Sejas: 96 (trijstūri); Malas: 96; Virsotnes: 24.
Pašduāla un unikāla — šai figūrai nav tieša trīsdimensiju Platona analoga.
120-šūnu figūra (hekatonicosachoron, 120-cell) — Šlēfli simbols {5,3,3}.
Šūnas: 120 (dodekaedri); Sejas: 720 (piecstūri); Malas: 1200; Virsotnes: 600.
Duāls: 600-šūnu figūra.
600-šūnu figūra (hexacosichoron, 600-cell) — Šlēfli simbols {3,3,5}.
Šūnas: 600 (tetraedri); Sejas: 1200 (trijstūri); Malas: 720; Virsotnes: 120.
Duāls: 120-šūnu figūra.

Regulāra, konveksa un duālas īpašības

Ar terminu regulārs saprot, ka politopam ir pilnīga simetrija: simetriju grupa darbojas tranzitīvi uz tā flagām (apvienojumiem no virsotnes, malas un šūnas u. tml.), tāpēc visas elementu klases (virsotnes, malas, sejas, šūnas) ir ekvivalenti. Ar vārdu izliekts (konvekss) norāda, ka daudzstūris atrodas Eiropas telpā (4D) kā konveksa ķermenis bez „iegriezumiem” iekšpusē.

Duāls daudzstūris iegūstams, apmaiņot virsotnes ar šūnām un malas ar sejām; regulāri daudzstūri parasti veido duālas pārus (izņemot pašduālos). Tā, piemēram, tesserakts un 16-šūnu figūra ir duāli, līdzīgi 120- un 600-šūnu figūras ir duāli, bet 5-šūnu un 24-šūnu figūras ir pašduālas.

Šlēfli simbols un ģeometriskā nozīme

Šlēfli simbols {p,q,r} īsi kodē struktūru: katra šūna ir regulārs polihedrs {p,q} (Pietiekama: tas ir Platona cietvielas tips), un virsotņu figūra ir {q,r}. No simbola var nolasīt, kādi sejas un cik to apkārt katrai malas vai virsotnei sastopas.

Simetrijas grupas

Šiem politopiem ir ciešas saites ar Coxeteru un Lie grupu teoriju. Vairākus no tiem klasificē pēc Coxetera grupām: A4 atbilst 5-šūnu figūrai, B4 — tesseraktam/16-šūnu figūrai, F4 — 24-šūnu figūrai, un H4 — 120/600-šūnu pārim. Šīs simetrijas nosaka, cik regulāras un „pilnas” var būt 4D figūras.

Vizualizācija un pielietojumi

Četrdimensiju politopu vizualizācija prasa projekcijas uz 3D vai 2D telpu — bieži izmanto projekcijas, šķērsgriezumus vai grafiskus modeļus. Lai gan tie nav tieši novērojami mūsu trīs dimensijās, to īpašības ir noderīgas simetrijas pētījumos, topoloģijā, kombinatorikā un teorētiskās fizikas modeļos, kur parādās augstākas dimensijas struktūras.

Šis kopsavilkums sniedz pārskatu par izliektajiem regulārajiem 4-politopiem, to galvenajām īpašībām un relācijām ar trīsdimensiju Platona ķermeņiem. Ja vēlaties, varu pievienot ilustrācijas, projekciju piemērus vai detalizētāk izskaidrot Šlēfli simbolu matemātisko izcelsmi.

Īpašības

Turpmākajās tabulās ir uzskaitītas dažas sešu izliektu regulāru daudzstūru īpašības. Visu šo polihoru simetrijas grupas ir Koksetera grupas, un tās ir dotas šajā rakstā aprakstītajā apzīmējumā. Skaitlis aiz grupas nosaukuma ir grupas kārtas numurs.

Nosaukumi	Ģimene	Schläfli simbols	Virsotnes	Malas	Sejas	Šūnas	Virsotņu skaitļi	Dubultpolitops	Simetrijas grupa
Pentahorāns5-šūnupentatopshiperpiramīdashipertetraedrs4-simplekss	simplekss (n-simplekss)	{3,3,3}	5	10	10 trīsstūri	5 tetraedri	tetraedri	(pašdivokā)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hiperkubs (n-kubs)	{4,3,3}	16	32	24 kvadrāti	8 kubi	tetraedri	16 šūnu	B₄	384
Heksadekahoron16-šūnu kortopleksshiperoktaedrs4-ortoplekss	šķērspolitops (n-ortopolekss)	{3,3,4}	8	24	32 trīsstūri	16 tetraedri	astoņstūra	tesseract	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 trīsstūri	24 astoņstūra	kubi	(pašdivokā)	F₄	1152
Hekatonikozahorons120-šūnuldodekaplekshiperdodekaedrspolidodekaedrs		{5,3,3}	600	1200	720 piecstūri	120 dodekaedri	tetraedri	600 šūnu	H₄	14400
Heksakosihorons600-šūnutetrapleksshiperikozaedrspolitetraedrs		{3,3,5}	120	720	1200 trīsstūri	600 tetraedri	ikozaedri	120 šūnu	H₄	14400

Tā kā katra no šīm figūrām ir topoloģiski līdzvērtīga 3 sfērām, kuru Eilesera īpašība ir nulle, mēs iegūstam Eilesera daudzstūra formulas četrdimensiju analogu:

N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

kur N_k apzīmē k-virsmu skaitu daudzstūrī (virsotne ir 0-virsma, mala ir 1-virsma utt.).

Vizualizācijas

Nākamajā tabulā parādītas dažas šo daudzstūru 2 dimensiju projekcijas. Dažādas citas vizualizācijas ir atrodamas citās tīmekļa vietnēs, kas norādītas zemāk. Zem Šlēfli simbola ir doti arī Koksetera-Diņkina diagrammu grafiki.

5 šūnu	8 šūnu	16 šūnu	24 šūnu	120 šūnu	600 šūnu
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Ortogrāfiskās projekcijas Petrie daudzstūru iekšpusē.

Cietās ortogrāfiskās projekcijas
tetraedriskais apvalks (šūnu/virsotņu centrēts)	kubiskā apvalka (centrēta uz šūnām)	astoņstūra apvalks (centrēts uz virsotnēm)	kuboktaedriskā apvalka (centrēta uz šūnām)	saīsināta rombiskā rombiskā kontaedra aploksne (centrēta uz šūnām)	Pentakisa ikozidodekaedriskais apvalks (virsotnes centrēts)
Šlēgeļa diagrammas (Perspektīvā projekcija)
(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz virsotnēm orientēts)
Stereogrāfiskās projekcijas (hipersfēriskās)

Saistītās lapas

Regulārs politops
Platona cietā viela

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir izliekts regulārs 4-politops?

A: Izliekts regulārs 4-politops ir četrdimensiju politops, kas ir gan regulārs, gan izliekts.

J: Kādi ir izliektu regulāru 4-politopu analogi trijās un divās dimensijās?

A: Izliektu regulāru 4-politopu analogi trīs dimensijās ir Platona cietie ķermeņi, bet divās dimensijās tie ir regulārie daudzstūri.

J: Kurš pirmais aprakstīja izliektus regulārus 4-politopus?

A: Šveiciešu matemātiķis Ludvigs Šlēfli (Ludwig Schläfli) 19. gadsimta vidū pirmais aprakstīja izliektus regulārus 4-politopus.

Jautājums: Cik daudz ir izliektu regulāru 4-politopu?

A: Ir tieši seši izliektie regulārie 4-politopi.

Kāda ir 24 šūnu politopa unikālā īpašība starp izliektajiem regulārajiem 4 politopiem?

A: 24 šūnu politopam nav trīsdimensiju ekvivalenta starp izliektiem regulāriem 4 politopiem.

J: Kādi ir trīsdimensiju elementi, kas ierobežo katru izliekto regulāro 4-politopu?

A: Katru izliekto regulāro 4-politopu ierobežo trīsdimensiju šūnu kopa, kas visas ir viena veida un lieluma Platona cietvielas.

J: Kā trīsdimensiju šūnas ir savienotas kopā izliektā regulārā 4-politopā?

A: Izliektā regulārajā 4-politopā trīsdimensiju šūnas ir saliktas kopā gar to attiecīgajām virsmām regulārā veidā.

Meklēt