Izliekts regulārs 4-politops

Matemātikā izliekts regulārs 4-politops (vai polihorons) ir četrdimensiju (4D) politops, kas ir gan regulārs, gan izliekts. Tie ir četrdimensiju analogi Platona ķermeņiem (trīs dimensijās) un regulāriem daudzstūriem (divās dimensijās).

Šos daudzstūrus 19. gadsimta vidū pirmo reizi aprakstīja šveiciešu matemātiķis Ludvigs Šlēfli. Šlēfli atklāja, ka ir tieši seši šādi skaitļi. Piecas no tām var uzskatīt par Platona ķermeņu augstāka izmēra analogiem. Ir vēl viena figūra (24-šūnu figūra), kurai nav trīsdimensiju ekvivalenta.

Katru izliektu regulāru 4-politopu ierobežo trīsdimensiju šūnu kopa, kas visas ir viena veida un lieluma Platona cietvielas. Tās ir savienotas gar savām attiecīgajām virsmām regulārā veidā.

Īpašības

Turpmākajās tabulās ir uzskaitītas dažas sešu izliektu regulāru daudzstūru īpašības. Visu šo polihoru simetrijas grupas ir Koksetera grupas, un tās ir dotas šajā rakstā aprakstītajā apzīmējumā. Skaitlis aiz grupas nosaukuma ir grupas kārtas numurs.

Nosaukumi	Ģimene	Schläfli simbols	Virsotnes	Malas	Sejas	Šūnas	Virsotņu skaitļi	Dubultpolitops	Simetrijas grupa
Pentahorāns5-šūnupentatopshiperpiramīdashipertetraedrs4-simplekss	simplekss (n-simplekss)	{3,3,3}	5	10	10 trīsstūri	5 tetraedri	tetraedri	(pašdivokā)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hiperkubs (n-kubs)	{4,3,3}	16	32	24 kvadrāti	8 kubi	tetraedri	16 šūnu	B₄	384
Heksadekahoron16-šūnu kortopleksshiperoktaedrs4-ortoplekss	šķērspolitops (n-ortopolekss)	{3,3,4}	8	24	32 trīsstūri	16 tetraedri	astoņstūra	tesseract	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 trīsstūri	24 astoņstūra	kubi	(pašdivokā)	F₄	1152
Hekatonikozahorons120-šūnuldodekaplekshiperdodekaedrspolidodekaedrs		{5,3,3}	600	1200	720 piecstūri	120 dodekaedri	tetraedri	600 šūnu	H₄	14400
Heksakosihorons600-šūnutetrapleksshiperikozaedrspolitetraedrs		{3,3,5}	120	720	1200 trīsstūri	600 tetraedri	ikozaedri	120 šūnu	H₄	14400

Tā kā katra no šīm figūrām ir topoloģiski līdzvērtīga 3 sfērām, kuru Eilesera īpašība ir nulle, mēs iegūstam Eilesera daudzstūra formulas četrdimensiju analogu:

N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

kur N_k apzīmē k-virsmu skaitu daudzstūrī (virsotne ir 0-virsma, mala ir 1-virsma utt.).

Vizualizācijas

Nākamajā tabulā parādītas dažas šo daudzstūru 2 dimensiju projekcijas. Dažādas citas vizualizācijas ir atrodamas citās tīmekļa vietnēs, kas norādītas zemāk. Zem Šlēfli simbola ir doti arī Koksetera-Diņkina diagrammu grafiki.

5 šūnu	8 šūnu	16 šūnu	24 šūnu	120 šūnu	600 šūnu
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Ortogrāfiskās projekcijas Petrie daudzstūru iekšpusē.

Cietās ortogrāfiskās projekcijas
tetraedriskais apvalks (šūnu/virsotņu centrēts)	kubiskā apvalka (centrēta uz šūnām)	astoņstūra apvalks (centrēts uz virsotnēm)	kuboktaedriskā apvalka (centrēta uz šūnām)	saīsināta rombiskā rombiskā kontaedra aploksne (centrēta uz šūnām)	Pentakisa ikozidodekaedriskais apvalks (virsotnes centrēts)
Šlēgeļa diagrammas (Perspektīvā projekcija)
(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz šūnām vērsts)	(Uz virsotnēm orientēts)
Stereogrāfiskās projekcijas (hipersfēriskās)

Saistītās lapas

Regulārs politops
Platona cietā viela

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir izliekts regulārs 4-politops?

A: Izliekts regulārs 4-politops ir četrdimensiju politops, kas ir gan regulārs, gan izliekts.

J: Kādi ir izliektu regulāru 4-politopu analogi trijās un divās dimensijās?

A: Izliektu regulāru 4-politopu analogi trīs dimensijās ir Platona cietie ķermeņi, bet divās dimensijās tie ir regulārie daudzstūri.

J: Kurš pirmais aprakstīja izliektus regulārus 4-politopus?

A: Šveiciešu matemātiķis Ludvigs Šlēfli (Ludwig Schläfli) 19. gadsimta vidū pirmais aprakstīja izliektus regulārus 4-politopus.

Jautājums: Cik daudz ir izliektu regulāru 4-politopu?

A: Ir tieši seši izliektie regulārie 4-politopi.

Kāda ir 24 šūnu politopa unikālā īpašība starp izliektajiem regulārajiem 4 politopiem?

A: 24 šūnu politopam nav trīsdimensiju ekvivalenta starp izliektiem regulāriem 4 politopiem.

J: Kādi ir trīsdimensiju elementi, kas ierobežo katru izliekto regulāro 4-politopu?

A: Katru izliekto regulāro 4-politopu ierobežo trīsdimensiju šūnu kopa, kas visas ir viena veida un lieluma Platona cietvielas.

J: Kā trīsdimensiju šūnas ir savienotas kopā izliektā regulārā 4-politopā?

A: Izliektā regulārajā 4-politopā trīsdimensiju šūnas ir saliktas kopā gar to attiecīgajām virsmām regulārā veidā.