Algebriskās struktūras: definīcija, pamattipi un piemēri

Algebriskās struktūras — skaidra definīcija, pamattipi (magma, pusgrupa, monoīds, grupa, gredzens, lauks) un saprotami, ilustratīvi piemēri mācībām.

Matemātikā algebriska struktūra ir kopa ar vienu, divām vai vairākām binārajām operācijām, kas uz to slēgtas — t.i., katras operācijas rezultāts atkal pieder tai pašai kopai. Binārā operācija nozīmē noteikumu, kas katriem diviem kopas elementiem a un b piešķir trešo elementu a * b kopā (formāli: funkcija no S × S uz S). Papildus slēgtībai operācijām var būt īpašības kā asociativitāte, identitātes elements, inverzs, komutatīvums u. c., un dažādu īpašību kombinācijas nosaka konkrēto algebrisko struktūru tipu.

Pamattipi ar vienu bināro operāciju

• Magma (matemātika)

Magma ir visvienkāršākā struktūra: vienkārši kopa ar vienu slēgtu bināro operāciju. Nav prasību par asociativitāti vai identitāti. Piemērs: jebkura kopa ar kādu definētu slēgtu divu elementu darbību.

• Pusgrupa

Pusgrupa (semigrupa) ir kopa ar asociatīvu bināro operāciju. Asociativitāte nozīmē, ka (a * b) * c = a * (b * c) visiem elementiem. Piemēri: naturālie skaitļi ar saskaitīšanu (bez nulles kā obligāta elementa) vai beigto skaitļu kopas ar reizināšanu.

• Monoīds

Monoīds ir pusgrupa, kurai ir arī identitātes elements e tā, ka e * a = a * e = a visiem a. Piemēri: naturālie skaitļi N0 ar saskaitīšanu (identitāte 0), vektoru virkņu kopas ar konkatenāciju (identitāte - tukšā virkne).

• Grupa

Grupa ir monoīds, kurā katram elementam eksistē apgrieztais elements (inverzs): a * a^{-1} = a^{-1} * a = e. Grupas piemēri: veselu skaitļu kopa Z ar saskaitīšanu (inverzs = pretējais skaitlis); permutāciju grupas S_n.

• Komutatīvā grupa

Komutatīvā (abeliska) grupa ir grupa ar komutatīvu operāciju, t.i., a * b = b * a visiem a, b. Piemēri: reālo vai kompleksu skaitļu grupa ar saskaitīšanu, vektoru telpas pievienošanas grupa.

Pamattipi ar divām binārajām operācijām

• Gredzens

Gredzens ir kopa ar divām operācijām — parasti sauktām par saskaitīšanu un reizināšanu. Ar saskaitīšanu kopa veido komutatīvu grupu; ar reizināšanu tā parasti ir pusgrupa (dažās definīcijās reizināšanai pieprasa arī identitātes elementu, tātad monoīdu). Turklāt reizināšana ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu (skat. sadales īpašību): a*(b+c) = a*b + a*c un (a+b)*c = a*c + b*c. Piemēri: veselo skaitļu gredzens Z, modulāro atlikumu gredzens Z_n, polinomu gredzens R[x].

• Komutatīvais gredzens

Komutatīvais gredzens ir gredzens, kur reizināšana ir komutatīva. Piemēri: Z, R, C, Z_n.

• Laukums

Lauks (field) ir komutatīvs gredzens, kurā visi nenulles elementi veido kopu, kurai ir reizināšanas inverzi (tātad kopa ar reizināšanu ir grupa bez nulles elementa). Citiem vārdiem, katram a ≠ 0 eksistē a^{-1} tā, ka a * a^{-1} = 1. Pazīstami lauki: racionālie Q, reālie R, kompleksie C un galīgi lauki F_p (p ir pirmskaitlis).

Piemēri un papildus jēdzieni

• Grupas piemēri: cikliskā grupa Z_n ar saskaitīšanu mod n, simetriju grupas, permutāciju grupas S_n.
• Gredzeni un lauki praksē: matricas izmanto kā nelineāru (bieži nē) gredzenu piemēru (matricas ar skaitļu reizināšanu parasti neveido komutatīvu gredzenu). Polinomu gredzeni R[x] ir svarīgi algebraiskajā teorijā.
• Papildjēdzieni: apakškopa, homomorfisms (kartezijas attēlojums, kas saglabā operācijas), faktorgredzens/faktorgrupa, nulles dalītāji, vienībelements un vienību grupa.

Algebriskās struktūras ir pamats daudziem matemātiskas teorijas un pielietojumu laukiem: no skaitļu teorijas un lineārās algebras līdz kriptogrāfijai un kodēšanai. Strukturālas īpašības (piem., asociativitāte, komutatīvitāte, invertējamība) nosaka, kādus rīkus un rezultatīvus paņēmienus var pielietot konkrētā problēmu risināšanā.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir algebriskā struktūra?

J: Kādas ir pamata algebriskās struktūras ar vienu bināro operāciju?

J: Kādas ir pamata algebriskās struktūras ar divām binārajām operācijām?

J: Kas ir magma (matemātika)?

J: Kas ir pusgrupa?

J: Ko nozīmē, ja operācija ir komutatīva?

Meklēt pēc burta