Distributīvā īpašība algebrā — definīcija un ilustrējoši piemēri

Distributīvā īpašība algebrā: skaidra definīcija un ilustrējoši piemēri ar soļiem — ideāli skolēniem, studentiem un skolotājiem praktiskai izpratnei.

Autors: Leandro Alegsa

28-01-2026 10:37

Sadalījums ir jēdziens no algebras: tas norāda, kā jāveic binārijas operācijas. Vienkāršākais gadījums ir skaitļu saskaitīšana un reizināšana. Piemēram, aritmētikā:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), bet 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Pirmā vienādojuma kreisajā pusē 2 reizina 1 un 3 summu; labajā pusē tas reizina 1 un 3 atsevišķi, pēc tam saskaitot reizinājumus. Tā kā tie dod vienu un to pašu galīgo atbildi (8), tiek teikts, ka reizināšana ar 2 sadala 1 un 3 saskaitīšanu. Tā kā 2, 1 un 3 vietā iepriekš varēja ievietot jebkurus reālos skaitļus un joprojām būtu iegūts pareizs vienādojums, mēs sakām, ka reālo skaitļu reizināšana izlīdzina reālo skaitļu saskaitīšanu.

Formāla definīcija

Distributīvā īpašība (sadalījums) nozīmē, ka viena binārā operācija "izdala" vai ir saderīga ar otru, izpildot noteiktu likumu. Visbiežāk lietotā forma ir reizināšanas izkliede pār saskaitīšanu:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

Šis izteiksmes variants tiek saukts par no kreisās puses distributīvu. Ja operācija ir iespējama arī no otras puses, tad runājam par labējo distributivitāti:

(b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a

Dažās algebraiskās struktūrās (piem., lauki, ringi, matricas) parasti pieņem, ka reizināšana ir distributīva pār saskaitīšanu gan no kreisās, gan no labās puses.

Piemēri un ilustrācijas

Skaitļi: kā parādīts sākotnējā piemērā, 2⋅(1+3)=2⋅1+2⋅3. Ar jebkuriem reāliem skaitļiem a, b, c spēkā ir a(b+c)=ab+ac.
Polinomi: (x+2)(x+3)=x⋅x + x⋅3 + 2⋅x + 2⋅3 = x^2 + 3x + 2x + 6. Distributivitāte ļauj izdalīt katru locekli no otras summas.
Vektori un skalāra reizināšana: skalārs c reizina vektoru summu sekojoši: c(v + w) = c v + c w.
Matricas: matricas reizināšana ir distributīva pār matricas saskaitīšanu: A(B + C) = AB + AC un (B + C)A = BA + CA. Jo matricas reizināšana nav komutatīva, ir jēga runāt par kreiso un labo distributivitāti atsevišķi — tomēr abas puses parasti ir spēkā.

Kad distributivitāte nepiemērojas

Dalīšana: parasti dalīšana nav distributīva pār saskaitīšanu: 2 / (1 + 3) ≠ 2/1 + 2/3 — tas ir sākotnējā teksta pretpiemērs.
Eksponenciācija: parasti a^(b + c) ≠ a^b + a^c.
Negatīvie un īpašie gadījumi: dažas operācijas var būt distributīvas tikai vienā virzienā vai tikai īpašos apstākļos; vienmēr jāpārbauda konkrētā algebraiskā struktūra (piem., daži bezgalīgi summu gadījumi prasa papildu nosacījumus).

Algoritmisks paskaidrojums — kā saprast distributivitāti praktiski

Domājiet par reizināšanu ar a kā par darbību: ja jums ir b + c, tad distributivitāte nozīmē, ka jūs varat visiem summas komponentiem atsevišķi veikt šo darbību un pēc tam rezultātus saskaitīt. Tas bieži atvieglo aprēķinus un simboliskas manipulācijas (piem., vienkāršošanu, izvēršanu).

Matemātiskā pamatojuma norāde

Distributivitāte reālajos skaitļos izriet no lauka aksiomām: lauka definīcijā iekļauta prasība, ka reizināšana distributīva pār saskaitīšanu. Intuitīvi veselajiem skaitļiem to var arī skaidrot kā reizināšanas interpretāciju kā atkārtotu saskaitīšanu (piem., 3⋅(4+5) = 3⋅9 = 27, un 3⋅4 + 3⋅5 = 12 + 15 = 27).

Arī ringos un citās algebraiskās struktūrās distributivitāte ir definēta aksioma vai īpašība, kas jāņem vērā, formulējot teikumus un pierādījumus.

Papildus piezīmes

Multiplikācija izplata arī pār atņemšanu: a(b − c) = ab − ac.
Par bezgalīgām summām (sērijām) distributivitāte prasa konverģences nosacījumus — piemēram, parasti nepieciešama absolūta konverģence, lai droši varētu reizināt summu ar skaitli pa elementiem.
Loģikā un boolea algebrā ir analogas īpašības: piemēram, AND distributīvs pār OR: x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).

Ja vēlaties, varu pievienot papildu skaitliskus piemērus, izvēršanas un faktorizācijas soļus vai demonstrēt, kā distributivitāte tiek izmantota pierādījumos algebraiskos uzdevumos.

Definīcija

Ja ir dota kopa $S$ un divi bināri operatori ∗ un + uz $S,$ mēs sakām, ka operācija:

∗ ir kreisā-distributīvs pār +, ja, ņemot vērā jebkurus $S$ elementus $x, y$ un $z,$

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ ir labēji distributīvs pār +, ja, ņemot vērā jebkurus $S$ elementus $x, y$ un $z,$

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ un

∗ ir distributīvs pār +, ja tas ir kreisās un labās puses distributīvs. Ievērojiet, ka, ja ∗ ir komutatīvs, iepriekš minētie trīs nosacījumi ir loģiski līdzvērtīgi.

Aplikācijas

Sadalījuma īpašību var attiecināt arī uz:

Reālie skaitļi
Kompleksie skaitļi
Matricas (piemēro īpašus noteikumus)
Vektori (piemēro īpašus noteikumus)
Komplekti
Propozicionālā loģika

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir sadalījums algebrā?

A: Sadalījums ir algebras jēdziens, kas apraksta, kā tiek veiktas tādas binārijas darbības kā saskaitīšana un reizināšana.

J: Vai jūs varat sniegt piemēru par sadalījumu aritmētikā?

A: Jā, aritmētiskā sadalījuma piemērs ir 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), kur kreisajā pusē 2 reizina 1 un 3 summu, bet labajā pusē 2 reizina 1 un 3 atsevišķi, pēc tam saskaitot reizinājumus.

J: Kāpēc algebrā ir svarīgs sadalījuma jēdziens?

A: Algebrā sadalījuma jēdziens ir svarīgs, jo tas palīdz vienkāršot vienādojumus un atvieglo to risināšanu.

J: Vai reizināšana sadalās, saskaitot visus reālos skaitļus?

A: Jā, reālo skaitļu reizināšana sadalās pār reālo skaitļu saskaitīšanu, kas nozīmē, ka aritmētiskā sadalījuma piemērā izmantotā vienādojuma vērtību vietā var ievietot jebkurus reālos skaitļus un joprojām iegūt patiesu vienādojumu.

Vai visos gadījumos saskaitīšana ir sadalāmāka par reizināšanu?

Atbilde: Nē, saskaitīšana nav sadaloša attiecībā pret reizināšanu visos gadījumos; tā ir taisnība tikai attiecībā uz noteiktām skaitļu kopām, piemēram, reālajiem skaitļiem.

J: Vai vari minēt piemēru, kur sadalījums nav patiess?

A: Jā, pretpiemēram, kur sadalījums nav taisnība, ir 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). Šajā gadījumā kreisās puses vienādojums nav vienāds ar labās puses vienādojumu, jo dalīšana neizplatās pār saskaitīšanu.

J: Kā sadalījums attiecas uz binārajām operācijām?

A: Sadalījums algebrā īpaši attiecas uz binārajām operācijām, piemēram, saskaitīšanu un reizināšanu, kur tas apraksta, kā jāveic operācijas, ja ir iesaistīts vairāk nekā viens operands.

Meklēt