Fermata skaitļi: definīcija, formula un pirmie piemēri

Uzzini Fermata skaitļu definīciju, formulu un pirmos piemērus — no F0 līdz F8, to faktorizāciju un Fermata pirmskaitļu īpašības vienā pārskatā.

Autors: Leandro Alegsa

17-10-2025 13:31

Fermata skaitlis ir īpašs pozitīvs skaitlis, kas definēts formā F_n = 2^2ⁿ + 1. Nosaukums cēlies no matemātiķa Pjēra de Fermā. Bieži izmanto arī attēloto formula/izteiksmi:

F n = 2 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\oversets {n}{}}}}+1}} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

Definīcija

Fermata skaitli definē nepāra izteiksme F_n = 2^2ⁿ + 1, kur n ir nenegatīvs vesels skaitlis (n = 0, 1, 2, ...). Šie skaitļi ļoti ātri kļūst milzīgi, jo eksponents pats par sevi ir divas pakāpes.

Pirmie piemēri

Pirmie deviņi Fermata skaitļi (OEIS A000215, OEIS) ir:

F0 = 2^2⁰ + 1 = 2¹ + 1 = 3

F1 = 2^2¹ + 1 = 2² + 1 = 5

F2 = 2^2² + 1 = 2⁴ + 1 = 17

F3 = 2^2³ + 1 = 2⁸ + 1 = 257

F4 = 2^2⁴ + 1 = 2¹⁶ + 1 = 65537

F5 = 2^2⁵ + 1 = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = 2^2⁶ + 1 = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = 2^2⁷ + 1 = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = 2^2⁸ + 1 = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Īpašības un identitātes

Pāru reizinājuma identitāte: eksistē svarīga sakarība starp Fermata skaitļiem:
produktā no F0 līdz F_{n-1} iegūst F_n − 2, t.i., product_{k=0}^{n-1} F_k = F_n − 2. No šī seko, ka jebkuri divi dažādi Fermata skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi (gcd(F_m, F_n) = 1, ja m ≠ n).
Ja 2^n + 1 ir pirmskaitlis (n > 0), tad n ir diva pakāpe: precīzāk — n jābūt pavisam konkrētai formā n = 2^k. Pierādījums izmanto to, ka, ja n = r·s un r ir nepāra (>1), tad 2^{rs} + 1 dalās ar 2^{s} + 1, tāpēc nav pirmskaitlis. Tādēļ visi pirmskaitļi, kuriem forma ir 2^n + 1, rodas tikai tiem n, kas paši ir divu pakāpes.
Fermata pirmskaitļi: pirmskaitļus, kas ir Fermata skaitļi, sauc par Fermata pirmskaitļiem. Pašlaik vienīgie zināmie Fermata pirmskaitļi ir F0, F1, F2, F3 un F4 (tātad 3, 5, 17, 257, 65537).

Vēsture un nozīmīgi rezultāti

Fermāts 17. gadsimtā izteica pieņēmumu, ka visi aizpildītie skaitļi F_n būtu pirmskaitļi. Eulerā 1732. gadā demonstrēja, ka F5 = 4294967297 nav pirmskaitlis, atradot dalītāju 641, pamatīgi izmainot Fermāta pieņēmumu. Pēc tam vairāki citi lielāki F_n tika pierādīti par kompozītiem, un katram no tiem ir atrasti vai tiek meklēti pirmie faktori.

Faktorizācija un pašreizējais statuss

Līdz 2007. gadam bija pilnībā izskaitļoti tikai pirmie 12 Fermata skaitļi. Pēc tam turpinājās aktīvi darbi, un daudziem lielākiem Fermata skaitļiem ir atrasti priekšfaktori, tomēr lielai daļai joprojām nav pilnīgas faktorizācijas. Faktorizācijas datubāzes un projektu lapas apkopo atrastos dalītājus un atjauninājumus (piemēram, lapas “Fermata skaitļu pirmie faktori”).

Saistība ar ģeometriju

Fermata pirmskaitļiem ir svarīga loma klasiskajā ģeometrijā: Karls Frīdrihs Gausa un citu matemātiķu rezultāts liecina, ka regulāru n-stūra (ar taisnu leņķi) konstrukcija ar lineālu un cirkuli ir iespējama tieši tad, ja n = 2^k × p1 × p2 × ... × pr, kur p1,...,pr ir atšķirīgi Fermata pirmskaitļi. Piemēram, regulāru 17-stūri (heptadecagonu) var uzkonstruēt, jo 17 ir Fermata pirmskaitlis (F2).

Atvērti jautājumi

Nav zināms, vai eksistē bezgalīgi daudz Fermata pirmskaitļu — tas paliek neatbildēts jautājums matemātikā.
Mazās un lielās faktorizācijas rezultāti turpina parādīties, pateicoties gan teorētiskajiem rezultātiem, gan skaitļošanas projektiem.

Ja vēlaties padziļinātāk — pieejami daudzi resursi par Fermata skaitļu faktorizāciju, pierādījumu tehnikām un to pielietojumu teorētiskajā un eksperimentālajā skaitļu teorijā.

Vienkārša kopsavilkuma rindkopa: Fermata skaitļi ir F_n = 2^{2^n} + 1, tie ir pāru-kopīgi un ātri augoši; no tiem tikai F0,...,F4 ir zināmi kā pirmskaitļi, un jautājums par nākamajiem Fermata pirmskaitļiem joprojām ir atvērts.

Interesantas lietas par Fermā skaitļiem

Diviem Fermata skaitļiem nav kopīgu dalītāju.
Fermata skaitļus var aprēķināt rekursīvi: Lai iegūtu N-o skaitli, reiziniet visus pirms tā esošos Fermas skaitļus un rezultātam pieskaitiet divus.

Kādam nolūkam tās tiek izmantotas

Mūsdienās Fermata skaitļus var izmantot, lai ģenerētu nejaušus skaitļus no 0 līdz kādai vērtībai N, kas ir 2 reizinājums.

Fermā minējums

Kad Fermats pētīja šos skaitļus, viņš izteica pieņēmumu, ka visi Fermata skaitļi ir pirmie. To, ka tas bija nepareizi, pierādīja Leonhards Eulers, kurš 1732. gadā veica F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ faktorizāciju.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir Fermata skaitlis?

A: Fermā skaitlis ir īpašs pozitīvs skaitlis, kas nosaukts Pjēra de Fermā vārdā. To iegūst pēc formulas F_n = 2^2^(n) + 1, kur n ir nenegatīvs vesels skaitlis.

J: Cik ir Fermata skaitļu?

A: Kopš 2007. gada ir pilnībā sakopoti tikai pirmie 12 Fermata skaitļi.

J: Kādi ir pirmie deviņi Fermata skaitļi?

A: Pirmie deviņi Fermā skaitļi ir šādi: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), un F8 = 1157920892089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

J: Ko var teikt par pirmskaitļiem formā 2n + 1?

A: Ja 2n + 1 ir pirmskaitlis un n > 0, tad var pierādīt, ka n jābūt divu pakāpei. Katrs 2n + 1 pirmskaitlis ir arī Fermas skaitlis, un šādus pirmskaitļus sauc par Fermas pirmskaitļiem. Vienīgie zināmie Fermata pirmskaitļi ir no 0 līdz 4.

J: Kur var atrast visu 12 zināmo Fermata skaitļu faktorizācijas?

A: Visu 12 zināmo Fermata skaitļu faktorizācijas var atrast vietnē Fermata skaitļu pirmfaktori.

J: Kas bija Pjērs de Fermats?

A: Pjērs de Fermāts bija ietekmīgs franču matemātiķis, kurš dzīvoja 17. gadsimtā un kura darbi lielā mērā lika pamatus mūsdienu matemātikai. Viņš ir vislabāk pazīstams ar savu ieguldījumu varbūtību teorijā un analītiskajā ģeometrijā, kā arī ar savu slaveno Pēdējo teorēmu, kas palika neatrisināta līdz pat 1995. gadam, kad to beidzot pierādīja Endrjū Vailzs, izmantojot algebriskās ģeometrijas metodes.

Meklēt