Fermata skaitlis ir īpašs pozitīvs skaitlis, kas definēts formā Fn = 22n + 1. Nosaukums cēlies no matemātiķa Pjēra de Fermā. Bieži izmanto arī attēloto formula/izteiksmi:
F n = 2 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\oversets {n}{}}}}+1}} 
Definīcija
Fermata skaitli definē nepāra izteiksme Fn = 22n + 1, kur n ir nenegatīvs vesels skaitlis (n = 0, 1, 2, ...). Šie skaitļi ļoti ātri kļūst milzīgi, jo eksponents pats par sevi ir divas pakāpes.
Pirmie piemēri
Pirmie deviņi Fermata skaitļi (OEIS A000215, OEIS) ir:
F0 = 220 + 1 = 21 + 1 = 3
F1 = 221 + 1 = 22 + 1 = 5
F2 = 222 + 1 = 24 + 1 = 17
F3 = 223 + 1 = 28 + 1 = 257
F4 = 224 + 1 = 216 + 1 = 65537
F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 226 + 1 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 227 + 1 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 228 + 1 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
Īpašības un identitātes
- Pāru reizinājuma identitāte: eksistē svarīga sakarība starp Fermata skaitļiem:
produktā no F0 līdz F_{n-1} iegūst F_n − 2, t.i., product_{k=0}^{n-1} F_k = F_n − 2. No šī seko, ka jebkuri divi dažādi Fermata skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi (gcd(F_m, F_n) = 1, ja m ≠ n). - Ja 2^n + 1 ir pirmskaitlis (n > 0), tad n ir diva pakāpe: precīzāk — n jābūt pavisam konkrētai formā n = 2^k. Pierādījums izmanto to, ka, ja n = r·s un r ir nepāra (>1), tad 2^{rs} + 1 dalās ar 2^{s} + 1, tāpēc nav pirmskaitlis. Tādēļ visi pirmskaitļi, kuriem forma ir 2^n + 1, rodas tikai tiem n, kas paši ir divu pakāpes.
- Fermata pirmskaitļi: pirmskaitļus, kas ir Fermata skaitļi, sauc par Fermata pirmskaitļiem. Pašlaik vienīgie zināmie Fermata pirmskaitļi ir F0, F1, F2, F3 un F4 (tātad 3, 5, 17, 257, 65537).
Vēsture un nozīmīgi rezultāti
Fermāts 17. gadsimtā izteica pieņēmumu, ka visi aizpildītie skaitļi F_n būtu pirmskaitļi. Eulerā 1732. gadā demonstrēja, ka F5 = 4294967297 nav pirmskaitlis, atradot dalītāju 641, pamatīgi izmainot Fermāta pieņēmumu. Pēc tam vairāki citi lielāki F_n tika pierādīti par kompozītiem, un katram no tiem ir atrasti vai tiek meklēti pirmie faktori.
Faktorizācija un pašreizējais statuss
Līdz 2007. gadam bija pilnībā izskaitļoti tikai pirmie 12 Fermata skaitļi. Pēc tam turpinājās aktīvi darbi, un daudziem lielākiem Fermata skaitļiem ir atrasti priekšfaktori, tomēr lielai daļai joprojām nav pilnīgas faktorizācijas. Faktorizācijas datubāzes un projektu lapas apkopo atrastos dalītājus un atjauninājumus (piemēram, lapas “Fermata skaitļu pirmie faktori”).
Saistība ar ģeometriju
Fermata pirmskaitļiem ir svarīga loma klasiskajā ģeometrijā: Karls Frīdrihs Gausa un citu matemātiķu rezultāts liecina, ka regulāru n-stūra (ar taisnu leņķi) konstrukcija ar lineālu un cirkuli ir iespējama tieši tad, ja n = 2^k × p1 × p2 × ... × pr, kur p1,...,pr ir atšķirīgi Fermata pirmskaitļi. Piemēram, regulāru 17-stūri (heptadecagonu) var uzkonstruēt, jo 17 ir Fermata pirmskaitlis (F2).
Atvērti jautājumi
- Nav zināms, vai eksistē bezgalīgi daudz Fermata pirmskaitļu — tas paliek neatbildēts jautājums matemātikā.
- Mazās un lielās faktorizācijas rezultāti turpina parādīties, pateicoties gan teorētiskajiem rezultātiem, gan skaitļošanas projektiem.
Ja vēlaties padziļinātāk — pieejami daudzi resursi par Fermata skaitļu faktorizāciju, pierādījumu tehnikām un to pielietojumu teorētiskajā un eksperimentālajā skaitļu teorijā.
Vienkārša kopsavilkuma rindkopa: Fermata skaitļi ir F_n = 2^{2^n} + 1, tie ir pāru-kopīgi un ātri augoši; no tiem tikai F0,...,F4 ir zināmi kā pirmskaitļi, un jautājums par nākamajiem Fermata pirmskaitļiem joprojām ir atvērts.
