Aritmētikas fundamentālā teorēma — unikālā faktorizācija un nozīme

Pirmais, kurš pierādīja šo teorēmu, bija Eiklīds. Pirmais detalizētais un pareizais pierādījums bija Kārļa Frīdriha Gausa "Disquisitiones Arithmeticae".

Daži cilvēki var domāt, ka teorēma ir patiesa visur. Tomēr teorēma nav patiesa vispārīgākās skaitļu sistēmās, piemēram, algebriskos veselos skaitļos. Pirmo reizi to minēja Ernsts Kummers 1843. gadā savā darbā par Fermā pēdējo teorēmu. Lai uzzinātu vairāk par to, izlasiet algebrisko skaitļu teoriju.

Pierādījums sastāv no divām daļām: pirmkārt, mēs parādām, ka katru skaitli var pierakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu; otrkārt, mēs parādām, ka, ja skaitli otrreiz pierakstām kā pirmskaitļu reizinājumu, tad abiem pirmskaitļu sarakstiem jābūt vienādiem.

Pierādījuma pirmā daļa

Mēs parādīsim, ka, ja ne katru skaitli, kas lielāks par 1, var uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu, mēs nonākam līdz kaut kādai neiespējamībai. Pēc tam mēs secinām, ka ir jābūt patiesībai, ka katru skaitli var uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu.

Tagad paskatieties, kas notiek, ja kāds saka, ka zina veselu pozitīvu skaitli, kas lielāks par 1 un ko nevar uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu. Šādā gadījumā mēs lūdzam viņam/viņai nosaukt visus skaitļus, kas lielāki par 1 un ko nevar uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu. Vienam no šiem skaitļiem jābūt mazākajam: sauksim to n. Protams, šis skaitlis n nevar būt 1. Turklāt tas nevar būt pirmskaitlis, jo pirmskaitlis ir viena pirmskaita "reizinājums" - tas ir pats par sevi. Tātad tam jābūt skaitļu reizinājumam. Tādējādi -

n = ab

kur gan a, gan b ir veseli pozitīvi skaitļi, kas, protams, ir mazāki par n. Bet: n bija mazākais skaitlis, ko nevar uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu. Tātad ir jābūt iespējai a un b uzrakstīt kā pirmskaitļu reizinājumus, jo tie abi ir mazāki par n. Bet tad reizinājums

n = ab

var arī rakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu. Tas ir neiespējami, jo mēs teicām, ka n nevar rakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu.

Tagad mēs esam parādījuši neiespējamību, kas pastāv, ja teorēmas pirmā daļa nebūtu patiesa. Šādā veidā mēs esam pierādījuši teorēmas pirmo daļu.

Pierādījuma otrā daļa

Tagad mums ir jāpierāda, ka ir tikai viens veids, kā pozitīvu skaitli, kas lielāks par 1, ierakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu.

Lai to izdarītu, mēs izmantojam šādu lemu: ja pirmskaitlis p dala reizinājumu ab, tad tas dala a vai dala b (Eiklīda lema). Vispirms mēs pierādīsim šo lemu. Pieņemsim, ka p nedala a. Tad p un a ir kopmēri, un mums ir Bezuta identitāte, kas saka, ka ir jābūt veseliem skaitļiem x un y tādiem, ka

px + ay = 1.

Visu reizinot ar b, iegūst

pbx + lai = b,

Atcerieties, ka ab var dalīties ar p. Tātad tagad kreisajā pusē ir divi locekļi, kas dalās ar p. Tātad arī loceklis labajā pusē ir dalāms ar p. Tagad esam pierādījuši, ka, ja p nedala a, tad tam jādala b. Tas pierāda lemu.

Tagad mēs pierādīsim, ka veselu skaitli, kas lielāks par 1, kā pirmskaitļu reizinājumu varam ierakstīt tikai vienā veidā. Ņemiet divus pirmskaitļu A un B reizinājumus, kuriem ir vienāds rezultāts. Tātad mēs zinām, ka šo reizinājumu iznākums ir A = B. Paņemsim jebkuru pirmskaitli p no pirmā reizinājuma A. Tas dala A, tātad tas dala arī B. Izmantojot vairākas reizes nupat pierādīto lemu, redzam, ka p tad jādala vismaz viens B reizinātājs b. Bet visi reizinātāji paši ir pirmskaitļi, tātad arī b ir pirmskaitlis. Bet mēs zinām, ka arī p ir pirmskaitlis, tātad p ir jābūt vienādam ar b. Tātad tagad dalām A ar p un arī B ar p. Un iegūstam tādu rezultātu kā A* = B*. Atkal varam paņemt pirmskaitli p no pirmā reizinājuma A* un noskaidrot, ka tas ir vienāds ar kādu skaitli reizinājumā B*. Šādi turpinot, beigās redzam, ka abu reizinājumu pirmreizinātājiem jābūt tieši vienādiem. Tas pierāda, ka pozitīvu veselu skaitli kā pirmreizinātāju reizinājumu varam ierakstīt tikai vienā vienīgā veidā.