Pirmskaitlis
Vienkāršais skaitlis ir konkrēta veida dabiskais skaitlis. Jebkurš dabiskais skaitlis ir vienāds ar 1 reiz pats par sevi. Ja skaitlis ir vienāds ar jebkuru citu skaitļu reizinājumu, tad skaitli sauc par saliktu skaitli. Mazākais saliktais skaitlis ir 4, jo 2 x 2 = 4. 1 nav salikts skaitlis. Katrs cits skaitlis ir pirmskaitlis. Vienkāršie skaitļi ir skaitļi, kas nav 1 un kas nav vienādi ar m x n (izņemot 1 x sevi pašu). Mazākais pirmskaitlis ir 2. Nākamie pirmskaitļi ir 3, 5, 7, 11 un 13. Lielākā pirmskaitļa nav.
Tas, kā rodas pirmie skaitļi, ir sarežģīta problēma matemātiķiem. Ja skaitlis ir lielāks, ir grūtāk noteikt, vai tas ir pirmskaitlis. Viena no atbildēm ir pirmskaitļu teorēma. Viena no neatrisinātajām problēmām ir Goldbaha minējums.
Šeit ir vēl viens veids, kā domāt par pirmskaitļiem. Skaitlis 12 nav pirmskaitlis, jo var izveidot taisnstūri, kura malas ir 4 un 3 garas. Šī taisnstūra laukums ir 12, jo ir izmantoti visi 12 klucīši. To nevar izdarīt ar 11. Neatkarīgi no tā, kā taisnstūris tiks sakārtots, vienmēr paliks pāri bloki, izņemot taisnstūri ar malu garumu 11 un 1. Tāpēc 11 ir jābūt pirmskaitlim.
Kā atrast mazus pirmskaitļus
Ir vienkārša metode, kā atrast pirmskaitļu sarakstu. To ir radījis Eratostēns. Tai ir nosaukums Eratostēna siets. Tajā tiek notverti skaitļi, kas nav pirmie (kā sietā), un caur to izlaiž pirmie skaitļi.
Metode darbojas ar skaitļu sarakstu un īpašu skaitli b, kas mainās metodes laikā. Metodes gaitā dažus skaitļus sarakstā apvelk ar aplīti, bet citus izsvītro. Katrs apvilktais skaitlis ir pirmskaitlis, un katrs svītrotais skaitlis ir salikts skaitlis. Sākumā visi skaitļi ir vienkārši: nav apvilkti un nav izsvītroti.
Metode vienmēr ir viena un tā pati:
- Uz papīra lapas uzraksti visus veselos skaitļus no 2 līdz pārbaudāmajam skaitlim. Nepierakstiet skaitli 1. Pārejiet uz nākamo soli.
- Sāciet ar b, kas vienāds ar 2. Pārejiet uz nākamo soli.
- Sarakstā apvelciet b. Pārejiet uz nākamo soli.
- Sākot no b, sarakstā saskaitiet vēl b un izsvītrojiet šo skaitli. Atkārtojiet vēl b skaitļu skaitīšanu un skaitļu svītrošanu līdz saraksta beigām. Pārejiet uz nākamo soli.
- (Piemēram: Ja b ir 2, apvelciet 2 un izsvītrojiet 4, 6, 8 un tā tālāk. Ja b ir 3, apvelciet 3 un izsvītrojiet 6, 9, 12 utt. 6 un 12 jau ir izsvītroti. Atkārtoti tos vēlreiz izsvītrojiet.)
- Palieliniet b par 1. Pārejiet uz nākamo soli.
- Ja b ir pārsvītrots, atgriezieties pie iepriekšējā soļa. Ja b ir sarakstā esošais numurs, kas nav svītrots, pārejiet uz 3. soli. Ja b nav sarakstā, pārejiet uz pēdējo soli.
- (Šis ir pēdējais solis.) Jūs esat gatavs. Visi pirmie skaitļi ir apvilkti un visi saliktie skaitļi ir pārsvītroti.
Piemēram, šo metodi var izmantot, izmantojot sarakstu ar skaitļiem no 2 līdz 10. Beigās tiks apvilkti skaitļi 2, 3, 5 un 7. Tie ir pirmie skaitļi. Savukārt 4, 6, 8, 9 un 10 tiks pārsvītroti. Tie ir saliktie skaitļi.
Lai atrastu ļoti lielus pirmskaitļus, šī metode vai algoritms aizņem pārāk daudz laika. Taču tā ir mazāk sarežģīta nekā metodes, ko izmanto ļoti lielu pirmskaitļu noteikšanai, piemēram, Fermata pirmskaitļa pārbaude (pārbaude, lai noteiktu, vai skaitlis ir vai nav pirmskaitlis) vai Millera-Rabina pirmskaitļa pārbaude.
Kādiem pirmskaitļiem izmanto pirmskaitļus
Pirmskaitļi ir ļoti svarīgi matemātikā un datorzinātnē. Tālāk ir sniegti daži reāli lietojumi. Ļoti garus skaitļus ir grūti atrisināt. Ir grūti atrast to pirmreizinātājus, tāpēc visbiežāk šifrēšanai un slepeniem kodiem izmanto tādus skaitļus, kas, iespējams, ir pirmreizēji.
- Lielākajai daļai cilvēku ir bankas karte, ar kuru viņi var saņemt naudu no sava konta, izmantojot bankomātu. Šī karte ir aizsargāta ar slepenu piekļuves kodu. Tā kā kods ir jāsaglabā slepenībā, to nevar saglabāt kartē atklātā tekstā. Lai kodu uzglabātu slepenā veidā, izmanto šifrēšanu. Šifrēšanā izmanto reizinājumus, dalījumus un lielu pirmskaitļu atlikumu atrašanu. Praksē bieži izmanto algoritmu, ko sauc par RSA. Tajā izmanto ķīniešu atlikuma teorēmu.
- Ja kādam e-pasta ziņojumam ir digitālais paraksts, tiek izmantots šifrēšana. Tādējādi tiek nodrošināts, ka neviens nevar viltot viņu e-pastu. Pirms parakstīšanas tiek izveidota ziņojuma hash vērtība. Pēc tam to apvieno ar digitālo parakstu, lai iegūtu parakstītu ziņojumu. Izmantotās metodes ir vairāk vai mazāk tādas pašas kā pirmajā gadījumā.
- Lielākās līdz šim zināmās pirmās vietas atrašana ir kļuvusi par sava veida sportu. Pārbaudīt, vai skaitlis ir pirmskaitlis, var būt sarežģīti, ja skaitlis ir liels. Lielākie zināmie pirmskaitļi parasti ir Mersena pirmskaitļi, jo visātrākais zināmais pirmskaitļa tests ir Lūkasa-Lehmera tests, kas balstās uz Mersena skaitļu īpašo formu. Grupa, kas meklē Mersena pirmskaitļus, ir šeit[1].
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir pirmskaitlis?
A: Vienkāršais skaitlis ir dabiskais skaitlis, kuru nevar dalīt ar nevienu citu dabisko skaitli, izņemot 1 un sevi pašu.
J: Kāds ir mazākais saliktais skaitlis?
A: Mazākais saliktais skaitlis ir 4, jo 2 x 2 = 4.
J: Kādi ir nākamie pirmie skaitļi pēc 2?
A: Nākamie pirmie skaitļi pēc 2 ir 3, 5, 7, 11 un 13.
J: Vai ir lielākais pirmskaitlis?
A: Nē, nav lielākā pirmskaitļa. Vienkāršo skaitļu kopa ir bezgalīga.
J: Ko nosaka aritmētikas fundamentālā teorēma?
A: Aritmētikas fundamentālā teorēma nosaka, ka katru veselu pozitīvu skaitli var unikālā veidā ierakstīt kā pirmskaitļu reizinājumu.
J: Kas ir Goldbaha pieņēmums?
A: Goldbaha hipotēze ir neatrisināta problēma matemātikā, kas apgalvo, ka katru pāra skaitli, kas lielāks par divi, var izteikt kā divu pirmskaitļu summu.
J: Kurš pierakstīja pierādījumu, ka nav lielākā pirmskaitļa?
A.: Eiklīds ierakstīja pierādījumu, ka nav lielākā pirmskaitļa.
