Teorēma par pirmskaitļiem
Teorēma par pirmskaitļiem ir teorēma no skaitļu teorijas. Pirmskaitļi nav vienmērīgi sadalīti visā skaitļu diapazonā. Teorēma formalizē ideju, ka, skaitļiem pieaugot, varbūtība, ka trāpīsies pirmskaitlis no 1 līdz noteiktam skaitlim, kļūst mazāka. Šī varbūtība ir aptuveni n/ln(n), kur ln(n) ir naturālā logaritma funkcija. Tas nozīmē, ka varbūtība trāpīt pirmskaitlim ar 2n cipariem ir aptuveni uz pusi mazāka nekā ar n cipariem. Piemēram, starp veseliem pozitīviem skaitļiem ar ne vairāk kā 1000 cipariem aptuveni viens no 2300 ir pirmskaitlis (ln 101000 ≈ 2302,6), bet starp veseliem pozitīviem skaitļiem ar ne vairāk kā 2000 cipariem aptuveni viens no 4600 ir pirmskaitlis (ln 102000 ≈ 4605,2). Citiem vārdiem sakot, vidējā starpība starp pirmajiem N pirmskaitļiem ir aptuveni ln(N).
1793. gadā piecpadsmit gadus vecajam Kārlim Frīdriham Gausam radās aizdomas, ka pastāv saistība starp pirmskaitļiem un logaritmiem. Arī Adrienam Marijam Legendram 1798. gadā radās aizdomas par šādu saistību. Žaks Hadamārs (Jacques Hadamard) un Šarls Žans de Valē Puzēns (Charles-Jean de La Vallée Poussin) 1896. gadā, vairāk nekā gadsimtu pēc Gausa, pierādīja pirmskaitļu teorēmu.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir pirmskaitļu teorēma?
A: Pirmā skaitļa teorēma ir teorēma no skaitļu teorijas, kas izskaidro, kā pirmie skaitļi sadalās skaitļu diapazonā.
Vai pirmie skaitļi ir vienmērīgi sadalīti skaitļu diapazonā?
A: Nē, pirmie skaitļi nav vienmērīgi sadalīti skaitļu diapazonā.
J: Ko formalizē pirmskaitļu teorēma?
A: Pirmā skaitļa teorēma formalizē ideju, ka, skaitļiem pieaugot, varbūtība, ka trāpīsies pirmskaitlis starp 1 un konkrētu skaitli, kļūst mazāka.
J: Kāda ir varbūtība, ka trāpīs pirmskaitlis starp 1 un doto skaitli?
A: Iespēja trāpīt pirmskaitlim starp 1 un doto skaitli ir aptuveni n/ln(n), kur ln(n) ir naturālā logaritma funkcija.
Vai varbūtība trāpīt pirmskaitlim ar 2n cipariem ir lielāka nekā varbūtība trāpīt pirmskaitlim ar n cipariem?
A: Nē, varbūtība trāpīt pirmskaitlim ar 2n cipariem ir aptuveni uz pusi mazāka nekā ar n cipariem.
J: Kas pierādīja pirmskaitļu teorēmu?
A: Žaks Hadamārs un Šarls Žans de La Valē Puzēns pierādīja pirmskaitļu teorēmu 1896. gadā, vairāk nekā gadsimtu pēc tam, kad 1793. gadā Gausam radās aizdomas par pirmskaitļu un logaritmu saistību.
J: Kāds ir vidējais intervāls starp pirmajiem N pirmajiem veselajiem skaitļiem?
A: Vidējā starpība starp pirmajiem N pirmajiem veselajiem skaitļiem ir aptuveni ln(N).
