Pirmskaitļu teorēma: definīcija, formula n/ln(n) un vēsture
Teorēma par pirmskaitļiem ir teorēma no skaitļu teorijas. Pirmskaitļi nav vienmērīgi sadalīti visā skaitļu diapazonā:, tomēr to blīvums samazinās, kad skaitļi kļūst lielāki. Teorēma formalizē ideju, ka, skaitļiem pieaugot, varbūtība, ka trāpīsies pirmskaitlis no 1 līdz noteiktam skaitlim, kļūst mazāka. Precīzāk, ja π(x) apzīmē pirmskaitļu skaitu, kas nepārsniedz x, tad pirmskaitļu teorēma apgalvo, ka π(x) asimptotiski uzvedas kā x / ln(x). Citiem vārdiem sakot,
lim_{x→∞} π(x) · ln(x) / x = 1,
tātad π(x) ~ x / ln(x). Šeit ln(x) ir naturālā logaritma funkcija, un zīme ~ norāda asimptotisku vienādību (attiecību tuvinājumu, kas kļūst precīzāks, kad x → ∞).
Kā to interpretēt praktiski
No šīs asimptotikas izriet aptuvenie aprēķini par pirmskaitļu blīvumu un vidējām starpībām:
- Varbūtība, ka nejauši izvēlēts skaitlis apmēram x ir pirmskaitlis, ir aptuveni 1 / ln(x).
- Tāpēc skaitļiem ar 2n cipariem šī varbūtība ir aptuveni uz pusi mazāka nekā skaitļiem ar n cipariem, jo ln(10^{2n}) = 2 ln(10^{n}).
- Ja p_n ir n‑tais pirmskaitlis, tad no pirmskaitļu teorēmas izriet, ka p_n ~ n ln n, kas nozīmē, ka vidējā starpība starp pirmajiem N pirmskaitļiem ir aptuveni ln N.
Piemēri skaitliskai ilistrācijai: visi veseli pozitīvie skaitļi ar ne vairāk kā 1000 cipariem ir visi skaitļi līdz 101000. Tādēļ varbūtība, ka nejauši izvēlēts skaitlis līdz 101000 ir pirmskaitlis, ir aptuveni 1 / ln(101000) = 1 / (1000·ln 10) ≈ 1 / 2302,6. Līdzīgi, skaitļiem ar ne vairāk kā 2000 cipariem varbūtība ir aptuveni 1 / (2000·ln 10) ≈ 1 / 4605,2.
Vēsture un pierādījumi
1793. gadā piecpadsmit gadus vecajam Kārlim Frīdriham Gausam radās aizdomas, ka pastāv saistība starp pirmskaitļiem un logaritmiem. Arī Adrienam Marijam Legendram 1798. gadā radās līdzīgas aizdomas, un gan Gausa, gan Legendra pieņēmumi vēlāk tika formulēti kā konkrētas asimptotiskas izteiksmes (Legendra ierosināja precīzāku formu ar papildu parametrus).
Dažas svarīgas starpposma rezultātu kārtas deva Pafnucijs Tombs un Pafnucijs de Ševerjē, bet pirmais pilnīgs pierādījums tika sniegts 1896. gadā neatkarīgi no diviem matemātiķiem — Žaka Hadamāra (Jacques Hadamard) un Šarla-Žana de Valē Puzēna (Charles-Jean de La Vallée Poussin). Viņu pierādījumi izmantoja kompleksās analīzes metodes, īpaši īpašības par Riemanna zētas funkciju ζ(s) un tās nenullēšanos uz daļas Re(s)=1 kompleksās plaknē. Tas bija liels sasniegums, jo parādīja, ka π(x) ~ x/ln x.
Vēlāk, 20. gadsimta vidū (1949), Pauls Erdoss un Atle Selbergs sniedza elementāru pierādījumu pirmskaitļu teorēmai — tas nozīmē, ka viņu arguments neizmanto kompleksās funkcijas teoriju, bet gan “reālās” metode un elementārus skaitļu teorijas paņēmienus. Tomēr arī šie pierādījumi izmantoja dziļas idejas un nebija vienkārši.
Paplašinājumi un precizējumi
Pirmskaitļu teorēma sniedz galveno asimptotisko rādītāju, bet neatrisina precīzu kļūdas termiņu. Ir liela interese par to, cik ātri attiecība π(x) / (x/ln x) tuvojās 1. Šeit uzdodas saikne ar Riemanna hipotēzi: ja Riemanna hipotēze ir patiess apgalvojums, tad var iegūt daudz spēcīgākas robežas kļūdai (piemēram, kļūdas rādītājs aptuveni O(x^{1/2} ln x)). Bez Riemanna hipotēzes labākie ziņotie vispārinātie kļūdas novērtējumi izmanto sarežģītus analītiskus paņēmienus un parasti sniedz lēzenākus, bet joprojām noderīgus ierobežojumus.
Ir arī citas saistītas funkcijas un rezultāti, kas bieži lieto pirmskaitļu teorēmas kontekstā: Čebīševa funkcijas θ(x) un ψ(x), Chebyshev robežas un daudzi citi, kas palīdz iegūt gan aptuvenus, gan stingrus ierobežojumus pirmskaitļu sadalījumam.
Svarīgākais kopsavilkums
- Pirmskaitļu teorēma: π(x) ~ x / ln x, jeb lim_{x→∞} π(x) ln x / x = 1.
- Praktiska interpretācija: blīvums ap x ir aptuveni 1/ln x, un n‑tā pirmskaitļa lielums apmēram p_n ~ n ln n.
- Vēsturē galvenie pavedieni: Gausa un Legendra intuīcijas, Hadamarda un de la Vallée Poussin rigorozie pierādījumi (1896), un Erdosa–Selberga elementārais pierādījums (1949).
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir pirmskaitļu teorēma?
A: Pirmā skaitļa teorēma ir teorēma no skaitļu teorijas, kas izskaidro, kā pirmie skaitļi sadalās skaitļu diapazonā.
Vai pirmie skaitļi ir vienmērīgi sadalīti skaitļu diapazonā?
A: Nē, pirmie skaitļi nav vienmērīgi sadalīti skaitļu diapazonā.
J: Ko formalizē pirmskaitļu teorēma?
A: Pirmā skaitļa teorēma formalizē ideju, ka, skaitļiem pieaugot, varbūtība, ka trāpīsies pirmskaitlis starp 1 un konkrētu skaitli, kļūst mazāka.
J: Kāda ir varbūtība, ka trāpīs pirmskaitlis starp 1 un doto skaitli?
A: Iespēja trāpīt pirmskaitlim starp 1 un doto skaitli ir aptuveni n/ln(n), kur ln(n) ir naturālā logaritma funkcija.
Vai varbūtība trāpīt pirmskaitlim ar 2n cipariem ir lielāka nekā varbūtība trāpīt pirmskaitlim ar n cipariem?
A: Nē, varbūtība trāpīt pirmskaitlim ar 2n cipariem ir aptuveni uz pusi mazāka nekā ar n cipariem.
J: Kas pierādīja pirmskaitļu teorēmu?
A: Žaks Hadamārs un Šarls Žans de La Valē Puzēns pierādīja pirmskaitļu teorēmu 1896. gadā, vairāk nekā gadsimtu pēc tam, kad 1793. gadā Gausam radās aizdomas par pirmskaitļu un logaritmu saistību.
J: Kāds ir vidējais intervāls starp pirmajiem N pirmajiem veselajiem skaitļiem?
A: Vidējā starpība starp pirmajiem N pirmajiem veselajiem skaitļiem ir aptuveni ln(N).
