Zīmīgie cipari — skaitļu precizitāte, decimālzīmes un noapaļošana

Zīmīgie cipari, decimālzīmes un noapaļošana: skaidri skaidrojumi, formulas un praktiski piemēri, kas palīdz nodrošināt pareizu ciparu precizitāti un aprēķinu rezultātus.

Skaitliskās vērtības precizitāte raksturo, cik daudz ciparu tiek izmantots, lai parādītu šo vērtību. Zinātniskajā kontekstā parasti runā par kopējo ciparu skaitu (to bieži sauc par zīmīgajiem cipariem), bet praktiskos un finanšu lietojumos lieto arī terminu par daļskaitļu vai decimālciparu skaitu (ciparu skaits pēc decimālpunkta). Šī otra definīcija ir īpaši noderīga finanšu un inženiertehniskajos aprēķinos, kur svarīgas ir tieši vietas pēc komata.

Kas ir zīmīgie cipari?

Zīmīgie cipari (significant figures) ir cipari, kuri reāli raksturo skaitļa precizitāti. Galvenie noteikumi:

• Visi nenulles cipari ir zīmīgi (piem., 1, 2, 3 utt.).
• Nulles, kas atrodas ciparu starpā (iecentrālās nulles), ir zīmīgas: 102 → trīs zīmīgie cipari.
• Vadošās nulles (pirms pirmā nenulles cipara) nav zīmīgas: 0,0123 → trīs zīmīgie cipari).
• Beigu nulles aiz komata ir zīmīgas: 2,300 → četri zīmīgie cipari.
• Beigu nulles veselu skaitļu rakstībā var būt neziņojumu avots — par zīmīgumu jānorāda ar decimālpunktu vai ar formālu piezīmi (piem., 1500. → četri zīmīgie cipari; 1500 → divi zīmīgie cipari vai atkarībā no papildinformācijas).
• Precīzas konstanšu vērtības (piem., definīcijas, skaitļu skaits) tiek uzskatītas par bezgalīgi daudz zīmīgiem cipariem.

Decimālzīmes un noapaļošana

Piemēram, decimālskaitli 12,345 var izteikt ar dažādu zīmīgo ciparu vai decimālzīmju skaitu. Ja pieejamā precizitāte ir mazāka par nepieciešamo, skaitli noapaļo, lai tas atbilstu pieejamai precizitātei. Noapaļošanas mērķis ir saglabāt ticamu precizitātes informāciju, neizliekot vairāk ciparu, nekā atļauj mērījums vai aprēķins.

Praktiskas noapaļošanas metodes:

• Round half up (biežāk lietotā): ja nākamais cipars ir 5 vai vairāk, apaļo uz augšu; ja mazāk par 5, apaļo uz leju.
• Round half to even (banku apaļošana, "rounding to nearest even"): gadījumā, ja nākamais cipars ir tieši 5 un nav citu nenulļu ciparu aiz tā, apaļo tā, lai pēdējais saglabātais cipars būtu pāra skaitlis. Šī metode samazina sistēmiskas kļūdas lielos datu kopumos.

Abos gadījumos terminu "precizitāte" var izmantot, lai aprakstītu pozīciju, kurā tiks noapaļots neprecīzs rezultāts. Piemēram, aritmētikā ar peldošo komatu rezultāts tiek noapaļots līdz noteiktai vai fiksētai precizitātei, kas ir iegūtā signifikanta garums. Finanšu aprēķinos skaitli bieži noapaļo līdz noteiktam vietu skaitam (piem., līdz divām vietām aiz decimāldaļu atdalītāja daudzās pasaules valūtās).

Praktiski piemēri

Ja pieņemam, ka jāparāda 12,345 ar dažādu zīmīgo ciparu skaitu un ar noapaļošanu uz tuvāko vērtību:

• 1 zīmīgais cipars: 10 (noapaļojot uz vienu zīmīgo ciparu)
• 2 zīmīgie cipari: 12
• 3 zīmīgie cipari: 12,3
• 4 zīmīgie cipari: 12,35 (ja izmanto round half up)

Ņemiet vērā: bieži vien nav lietderīgi attēlot skaitli ar vairāk cipariem, nekā var izmērīt. Piemēram, ja ierīce mēra ar precizitāti līdz gramam un uzrāda 12,345 kg, tad izteikt šo mērījumu kā "12,34500 kg" būtu maldinoši — tas radītu nepareizu precizitāti, norādot papildu ticamību, kuras faktiskajā mērījumā nav.

Zīmīgie cipari aprēķinos

Noteikumi par zīmīgajiem cipariem atšķiras atkarībā no darbības veida:

• Reizināšana un dalīšana: rezultātam jābūt ar tik zīmīgiem cipariem, cik mazākais zīmīgo ciparu skaits ir starp reizināmajiem. (piem., 2,5 × 3,42 → 2,5 ir divi zīmīgie cipari, tāpēc rezultātu noapaļo līdz diviem zīmīgajiem cipariem).
• Saskaitīšana un atņemšana: rezultāts tiek noapaļots tādā vietā aiz komata, cik liela ir vismazā mērījuma nenoteiktā vieta. (piem., 12,11 + 0,3 = 12,4, jo 0,3 ir precizitāte līdz vienai desmitdaļai).

Matemātiska formula un tās skaidrojums

Pozitīva skaitļa x attēlojumam ar p zīmīgajiem cipariem var dot formulu, kas izsaka noapaļoto skaitli:

apaļš(^10-n-x) - 10^n, kur n = floor(log10x) + 1 - p.

Vienkāršāk paskaidrojot: nosaka, kur atrodas pirmā nenulles zīme (tas ir saistīts ar log10 funkciju), tad pārbīda skaitli tā, lai saglabātu tikai p zīmīgos ciparus, apaļo un atpakaļ pārbīda uz sākotnējo skalējumu. Negatīvam skaitlim vienkārši ņem mīnus zīmi un piemēro to pašu procedūru uz absolūto vērtību. Skaitlis 0 ar jebkuru precizitāti tiek uzskatīts par 0.

Padomi praksē

• Vienmēr reģistrējiet mērījuma nenoteiktību vai precizitāti kopā ar mērījumu (piem., 12,35 ± 0,01).
• Skaitļus prezentējiet tā, lai zīmīgie cipari atbilstu mērījumu ierīces iespējām un eksperimentālajai precizitātei.
• Programmatiski strādājot ar aprēķiniem (piem., peldošā komata skaitļi), ziniet, kura noapaļošanas metode tiek izmantota, jo tas ietekmē akumulētās kļūdas lielos aprēķinos.

Šie principi palīdz saglabāt informācijas ticamību un konsekvenci gan zinātniskajos, gan praktiskajos aprēķinos.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir skaitliskās vērtības precizitāte?

J: Kā precizitāti var izmantot, lai aprakstītu pozīciju, kurā tiks noapaļots neprecīzs rezultāts?

Jautājums: Kā var izteikt 12,345 ar dažādu zīmīgo ciparu vai decimālzīmju skaitu?

J: Kas notiek, ja precizitāte ir nepietiekama?

Vai ir pareizi attēlot skaitli ar vairāk cipariem, nekā var izmērīt?

J: Kāda formula izsaka pozitīvus skaitļus x ar precizitāti p zīmīgo ciparu?

Meklēt pēc burta