Parciālais atvasinājums matemātikā: definīcija, notācija un piemēri

Iepazīsties ar parciālā atvasinājuma definīciju, notāciju un skaidriem piemēriem — soli pa solim skaidrojumi, kas palīdz saprast daudzmainīgo funkcijas diferenciāciju.

Autors: Leandro Alegsa

Aprēķinos, kas ir sarežģīts matemātikas veids, funkcijas daļējais atvasinājums ir viena nosauktā mainīgā atvasinājums, bet funkcijas nenoteiktais mainīgais tiek turēts nemainīgs. Citiem vārdiem sakot, ar daļējo atvasinājumu tiek iegūts dažu norādīto funkcijas mainīgo atvasinājums un netiek diferencēts pārējais mainīgais(-ie). Norāde

Definīcija

Ja f = f(x1, x2, ..., xn) ir funkcija no n mainīgajiem, tad daļējais atvasinājums pēc xi nozīmē limita vērtību, kurā visi citi mainīgie tiek turēti konstantā vērtībā. Formāli:

∂f/∂xi = lim_{h→0} [f(x1, ..., xi + h, ..., xn) − f(x1, ..., xi, ..., xn)] / h

Šis aprēķins nosaka, kā f mainās, ja maina tikai xi, kamēr pārējie mainīgie paliek nemainīgi.

Notācija

Visbiežāk lietotā notācija ir simbols ∂ (kā atšķirību no parastā atvasinājuma zīmes d). Ievērojiet sekojošo rindu, kas parasti tiek izmantota, lai attēlotu daļējo atvasinājumu; attēls un MathML elements saglabāti kā oriģinālā:

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

Citas izplatītas notācijas:

  • f_x vai f_y — īsā forma divu mainīgo gadījumā;
  • ∂_x f vai ∂/∂x f — alternatīva simbolika;
  • ∂^2 f/∂x^2 — otra kārtas daļējais atvasinājums pēc x;
  • ∂^2 f/∂x∂y — jaukta (mixed) otrā kārtas daļējā atvasinājuma notācija.

Piemēri

Vienkāršs divu mainīgo piemērs:

f(x,y) = x^2 y + sin(y)

  • Daļējais atvasinājums pēc x: ∂f/∂x = 2x y (jo y tiek turēts konstants)
  • Daļējais atvasinājums pēc y: ∂f/∂y = x^2 + cos(y)

Vēl viens piemērs ar vairāk mainīgajiem:

g(x,y,z) = x e^{y} + yz

  • ∂g/∂x = e^{y}
  • ∂g/∂y = x e^{y} + z
  • ∂g/∂z = y

Īpašības un likumi

  • Linearitāte: ∂(af + bg)/∂x = a ∂f/∂x + b ∂g/∂x, kur a un b ir konstantas.
  • Reizināšanas noteikums (produkta likums): ∂(fg)/∂x = f ∂g/∂x + g ∂f/∂x.
  • Ķēdes likums: ja funkcija ir salikta, nepieciešams pielietot ķēdes likumu, piemēram, ja u = u(x,y) un f = f(u), tad ∂f/∂x = (df/du)·(∂u/∂x).
  • Jauktie atvasinājumi un Klaīro (Schwarz) teorema: ja f ir pietiekami gluda (piem., kontinuiski atvasināma otrās kārtas), tad jauktie atvasinājumi ir vienādi: ∂^2 f/∂x∂y = ∂^2 f/∂y∂x.

Augstākās kārtas daļējie atvasinājumi

Tāpat kā vienas mainīgās gadījumā, var aprēķināt otrās vai augstākās kārtas daļējos atvasinājumus. Piemēram, no f(x,y) var iegūt ∂^2 f/∂x^2, ∂^2 f/∂y^2 un jauktos ∂^2 f/∂x∂y. Šie lielumi tiek izmantoti, piemēram, Hessiana matricas veidošanā optimizācijas problēmām.

Geometriskā interpretācija

Daļējais atvasinājums ∂f/∂x pie punkta parāda virsmas z = f(x,y) slīpumu virzienā, kurā mainās x, kamēr y paliek nemainīgs. Tas ir virziena atvasinājuma gadījums, kad virziens sakrīt ar x ass virzienu.

Atšķirība no totālā atvasinājuma

Daļējais atvasinājums mēra izmaiņu, mainot vienu mainīgo, kamēr pārējie tiek fiksēti. Totālais atvasinājums (vai gradients un diferenciālis) ņem vērā visu neatkarīgo mainīgo kopējo ietekmi, piemēram, ja visi mainīgie ir atkarīgi no kādas citas parametriskas funkcijas.

Lietojumi

  • Optimizācija (atrast maksimumus/minimumus, kritiskie punkti un Hessiana izmantošana);
  • Fizikā un inženierzinātnēs — daudzmainīgās sistēmas modelēšana (siltuma, plūsmas, elektromagnētiskie lauki u.c.);
  • Dažādu diferenciālvienādojumu (PDE) formulēšana un risināšana;
  • Datu analītikā un mašīnmācībā — gradienta izmantošana optimizācijas algoritmos (piem., gradienta nolaišanās).

Kopsavilkums

Daļējais atvasinājums ir pamatjēdziens daudzmainīgu funkciju analīzē. Tas ļauj izolēt, kā funkcija mainās attiecībā pret vienu mainīgo, kamēr pārējie tiek turēti konstantā stāvoklī. Sapratne par notāciju, īpašībām un piemēriem ir svarīga gan teorētiskai matemātikai, gan praktiskai lietošanai dažādās zinātnes un tehnikas jomās.

Piemēri

Ja mums ir funkcija f ( x , y ) = x 2 + y {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y} {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y}, tad ir vairāki f(x, y) daļējie atvasinājumi, kas visi ir vienlīdz derīgi. Piemēram,

∂ ∂ y [ f ( x , y ) ] = 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1} {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1}

Vai arī mēs varam rīkoties šādi:

∂ ∂ x [ f ( x , y ) ] = 2 x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x} {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x}

Saistītās lapas

  • Atšķirības koeficients

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir daļējs atvasinājums?


A: Daļējs atvasinājums ir funkcijas viena nosauktā mainīgā atvasinājums, ja visi pārējie nenoteiktie mainīgie ir nemainīgi.

J: Kā parasti pieraksta daļējo atvasinājumu?


A: Funkcijas f daļējo atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x parasti pieraksta kā {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}}, f_x vai \partial _{x}f.

Vai daudzfaktoru funkcijai vienmēr tiek ņemts daļējais atvasinājums?


A: Parasti, lai gan ne vienmēr, daļējo atvasinājumu ņem daudzfaktoru funkcijā (funkcijā, kuras ievadā ir divi vai vairāki mainīgie).

J: Ko nozīmē diferencēt dažus norādītos funkcijas mainīgos?


A: Dažu funkcijas norādīto mainīgo diferencēšana nozīmē šo konkrēto mainīgo atvasinājumu iegūšanu, saglabājot visus pārējos mainīgos nemainīgus.

J: Kāda veida aprēķins ietver šo jēdzienu?


A: Šis jēdziens ietver daudzfaktoru kalkulu, kas pēta izmaiņu ātrumu funkcijām ar vairākiem mainīgajiem.

J: Vai papildus tekstā minētajam ir vēl kādi citi derīgi atvasinātā daļējā atvasinājuma apzīmējumi?


A: Jā, papildus tekstā minētajām var būt arī citas derīgas atvasinātās formulas.


Meklēt
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3