Puankarē hipotēze
Poankarē hipotēze ir jautājums par sfērām matemātikā. Tā ir nosaukta franču matemātiķa un fiziķa Anrī Poankarē vārdā, kurš to formulēja 1904. gadā.
Sfērai (saukta arī par 2-sfēru, jo tā ir divdimensiju virsma, lai gan parasti to uzskata par trīsdimensiju telpas iekšpusi) piemīt īpašība, ka jebkuru cilpu uz tās var sašaurināt līdz punktam (ja ap sfēru aptin gumiju, to var noslīdēt līdz punktam). Matemātiķi saka, ka 2-sfēra ir vienkārši savienota. Citām telpām šī īpašība nepiemīt, piemēram, donātam: gumiju, kas vienreiz apvij visu donātu, nevar noslīdēt uz leju līdz punktam, neatstājot virsmu.
Matemātiķi zināja, ka šī īpašība ir unikāla tikai 2-sfērai tādā nozīmē, ka jebkura cita vienkārši savienota telpa, kurai nav malu un kura ir pietiekami maza (matemātiķu izpratnē - kompakta), faktiski ir 2-sfēra. Tomēr tas vairs nav taisnība, ja atmetam ideju par mazumu, jo bezgalīgi liela plakne arī ir vienkārši savienota. Arī regulārs disks (aplis un tā iekšpuse) ir vienkārši savienots, bet tam ir mala (ierobežojošais aplis).
Domājumā tiek jautāts, vai tas pats attiecas arī uz 3-sfēru, kas ir objekts, kurš dabiski dzīvo četrās dimensijās. Šis jautājums motivēja lielu daļu mūsdienu matemātikas, īpaši topoloģijas jomā. Šo jautājumu 2002. gadā beidzot atrisināja krievu matemātiķis Grigorijs Perelmans, izmantojot ģeometrijā izmantotās metodes un pierādot, ka tas patiešām ir taisnība. Par savu darbu viņš saņēma Fīldsa medaļu un Tūkstošgades balvu 1 miljona ASV dolāru apmērā, no kuras abas viņš atteicās.
Puankarē hipotēzi var attiecināt arī uz lielākām dimensijām: tā ir vispārinātā Puankarē hipotēze. Pārsteidzoši, ka šo faktu bija vieglāk pierādīt augstākas dimensijas sfērām: 1960. gadā Smale pierādīja, ka tas ir patiess 5, 6 un augstākām sfērām. Frīdmans 1982. gadā pierādīja, ka tas ir taisnība arī attiecībā uz 4 sfēru, par ko viņam tika piešķirta Fīldsa medaļa.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Poankarē hipotēze?
A: Poankarē hipotēze ir jautājums par sfērām matemātikā, kas nosaukts Anrī Poankarē vārdā un kurā uzdots jautājums, vai noteiktas 2-sfēras īpašības ir patiesas arī 3-sfēras gadījumā.
J: Kāda īpašība piemīt 2-sfērai?
A: 2-sfērai piemīt īpašība, ka jebkuru tās cilpu var sašaurināt līdz punktam.
Vai šī īpašība ir raksturīga tikai 2-sfērai?
A: Šī īpašība ir unikāla tikai 2-sfērai attiecībā uz mazām telpām, kurām nav malu. Tomēr bezgalīgi liela plakne un regulārs disks (aplis un tā iekšpuse) ir vienkārši savienoti, bet tiem ir malas.
Jautājums: Kas pierādīja, ka tas ir taisnība attiecībā uz lielākas dimensijas sfērām?
A: 1960. gadā Smale pierādīja, ka tas ir taisnība 5, 6 un lielākām sfērām, un 1982. gadā Freedmans pierādīja, ka tas ir taisnība arī 4 dimensiju sfērām.
J: Kas atrisināja Poankarē hipotēzi?
A: Puankarē hipotēzi atrisināja krievu matemātiķis Grigorijs Perelmans, kurš, izmantojot ģeometrijas metodes, pierādīja, ka tā patiešām ir patiesa.
J: Kādus apbalvojumus Perelmans saņēma par savu darbu?
A: Perelmans par savu darbu pie Poinkarē hipotēzes atrisināšanas saņēma Fīldsa medaļu un 1 miljona ASV dolāru Tūkstošgades balvu, tomēr viņš abas balvas atteicās saņemt.
