Varbūtības blīvuma funkcija — definīcija un piemēri

Varbūtības blīvuma funkcija ir funkcija, ko var definēt jebkuram nepārtrauktam varbūtības sadalījumam. Varbūtības blīvuma funkcijas integrālis intervālā [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} dod varbūtību, ka dotais nejaušais mainīgais ar doto blīvumu atrodas dotajā intervālā. Citos vārdos, ja f(x) ir varbūtības blīvuma funkcija, tad

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Šī integrāļa vērtība nosaka varbūtību, un integrētās blīvuma funkcijas vērtības sakrīt ar iespējamības mērvienībām attiecīgajā intervālā.

Pamatīpašības

• Ne-negativitāte: f(x) ≥ 0 visiem x.
• Normalizācija: ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = 1 — kopējā varbūtība ir 1.
• Precīzas vērtības varbūtība: varbūtība, ka nepārtraukts mainīgais tieši vienā punktā x0, ir 0 (P(X = x0) = 0). Varbūtības tiek noteiktas intervālos kā integrāļi.
• Attiecība ar sadalījuma funkciju (CDF): ja F(x) ir kumulatīvā sadalījuma funkcija, tad, ja F ir diferenciabla vietā x, f(x) = F′(x) gandrīz visur.

Piemēri un salīdzinājums ar diskretajiem sadalījumiem

Varbūtības blīvuma funkcija ir nepieciešama, lai varētu strādāt ar nepārtrauktiem sadalījumiem. Izmetot kauliņu, iegūsim skaitļus no 1 līdz 6 ar varbūtību 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}. , bet tā nav nepārtraukta funkcija, jo iespējami tikai skaitļi no 1 līdz 6. Turpretī diviem cilvēkiem nebūs vienāds augums vai svars. Izmantojot varbūtības blīvuma funkciju, ir iespējams noteikt varbūtību cilvēkiem, kuru garums ir no 180 centimetriem līdz 181 centimetram vai no 80 kilogramiem līdz 81 kilogramam, lai gan starp šīm divām robežām ir bezgalīgi daudz vērtību.

Praktiski piemēri

• Vienmērīgais sadalījums (uniform): ja X ir vienmērīgi sadalīts intervālā [a, b], tad f(x) = 1/(b−a) uz [a, b] un 0 ārpus tā.
• Normālais sadalījums (Gauss): blīvums f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(−(x−μ)²/(2σ²)). Tas bieži apraksta mērījumu un dabisko parādību sadalījumus.
• Eksponenciālais sadalījums: lieto, lai modelētu laiku starp notikumiem; f(x) = λ e^{−λ x} par x ≥ 0.

Skaitļošanas un lietojuma piezīmes

• Varbūtība intervālā: vienmēr aprēķina kā integrāli: P(a < X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Atkarībā no blīvuma funkcijas integrālis var būt izteiksmes formā vai jāaprēķina skaitliski.
• Gaida (ekspektācija) un dispersija: gaida vērtība E[X] = ∫_{−∞}^{∞} x f(x) dx, dispersija Var(X) = ∫ (x − E[X])² f(x) dx.
• Vektori un kopējās blīvuma funkcijas: vairāku mainīgo gadījumā pastāv kopējā blīvuma f(x, y, ...), no kuras var iegūt marginālās blīvuma funkcijas integrējot pa nevēlamajiem mainīgajiem.
• Nosacītās blīvuma funkcijas: ja ir kopējā blīvuma f_{X,Y}(x,y), tad nosacītā blīvuma f_{X|Y}(x|y) = f_{X,Y}(x,y) / f_Y(y), ja f_Y(y) > 0.

Kopsavilkums

Varbūtības blīvuma funkcija nav tieša "varbūtība par vienu punktu", bet gan līdzeklis, ar kura palīdzību noteikt varbūtības intervāliem, aprēķināt ekspektācijas un analizēt nepārtrauktus nejaušos mainīgos. Pareiza sapratne par blīvumu un integrāli ir būtiska statistikas, signālu apstrādes, fizikālu un inženiertehnisku procesu modelēšanā.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir varbūtības blīvuma funkcija?

J: Kā raksta nejaušā lieluma X varbūtības blīvuma funkciju?

J: Ko attēlo varbūtības blīvuma funkcijas integrāls?

Vai varbūtības blīvuma funkcija vienmēr ir nenegatīva visā tās apgabalā?

Vai integrēšana intervālā summējas līdz 1?

J: Kāda veida sadalījumu raksturo varbūtības blīvuma funkcija?

Meklēt pēc burta