Algebriskā dažādība
Matemātikā algebriskās šķirnes (sauktas arī par šķirnēm) ir viens no centrālajiem algebriskās ģeometrijas izpētes objektiem. Pirmajās algebriskās dažādības definīcijās tā tika definēta kā polinomu vienādojumu sistēmas atrisinājumu kopa reālo vai komplekso skaitļu laukā. Mūsdienu algebriskās dažādības definīcijas šo jēdzienu vispārina, vienlaikus cenšoties saglabāt sākotnējās definīcijas ģeometrisko intuīciju.
Konvencijas attiecībā uz algebriskās šķirnes definīciju atšķiras: Daži autori pieprasa, lai "algebriskā dažādība" pēc definīcijas būtu nereducējama (tas nozīmē, ka tā nav divu mazāku kopu, kas ir slēgtas Zariska topoloģijā, savienība), bet citi to nepieprasa. Ja izmanto pirmo konvenciju, nereducējamas algebriskās dažādības sauc par algebriskām kopām.
Daudzveidības jēdziens ir līdzīgs jēdzienam daudzšķautne. Viena atšķirība starp dažādību un daudzkārtni ir tā, ka dažādībai var būt singulāri punkti, bet daudzkārtnei - ne. Ap 1800. gadu pierādītā algebras fundamentālā teorēma izveido saikni starp algebru un ģeometriju, parādot, ka monisku polinomu vienā mainīgajā ar kompleksiem koeficientiem (algebras objektu) nosaka tā sakņu kopa (ģeometriskais objekts). Apkopojot šo rezultātu, Hilberta Nullstellensatz nodrošina fundamentālu atbilstību starp polinomu gredzenu ideāliem un algebriskām kopām. Izmantojot Nullstellensatz un ar to saistītos rezultātus, matemātiķi ir izveidojuši ciešu atbilstību starp jautājumiem par algebriskām kopām un gredzenu teorijas jautājumiem. Šī atbilstība ir algebriskās ģeometrijas īpatnība citu ģeometrijas apakšjomu vidū.
Virpots kubiskais ir projektīvā algebriskā dažādība.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir algebriskie varianti?
A: Algebriskās šķirnes ir viens no centrālajiem algebriskās ģeometrijas izpētes objektiem. Tās definē kā polinomu vienādojumu sistēmas atrisinājumu kopu reālo vai komplekso skaitļu laukā.
J: Kā mūsdienu definīcijas atšķiras no sākotnējās definīcijas?
A: Mūsdienu definīcijas cenšas saglabāt sākotnējās definīcijas ģeometrisko intuīciju, vienlaikus to vispārinot. Daži autori pieprasa, lai "algebriskā dažādība" pēc definīcijas būtu nereducējama (tas nozīmē, ka tā nav divu mazāku kopu savienība, kas ir slēgtas Zariska topoloģijā), bet citi to nepieprasa.
J: Kāda ir atšķirība starp dažādību un daudzādību?
A.: Šķirnei var būt singulāri punkti, bet daudzkārtnei - ne.
J: Ko nosaka algebras fundamentālā teorēma?
Algebras fundamentālā teorēma izveido saikni starp algebru un ģeometriju, parādot, ka monisku polinomu vienā mainīgajā ar kompleksiem koeficientiem (algebras objektu) nosaka tā sakņu kopa (ģeometriskais objekts).
J: Ko nodrošina Hilberta nulles stellensatz?
A: Hilberta nullesstellensatz nodrošina fundamentālu atbilstību starp polinomu gredzenu ideāliem un algebriskām kopām.
J: Kā matemātiķi ir izmantojuši šo atbilstību?
A. Matemātiķi ir izveidojuši ciešu atbilstību starp jautājumiem par algebriskām kopām un gredzenu teorijas jautājumiem, izmantojot šo atbilstību.
J: Ar ko šī konkrētā joma ir unikāla citu ģeometrijas apakšjomu vidū? A: Šī spēcīgā atbilstība starp jautājumiem par algebriskām kopām un gredzenu teorijas jautājumiem padara šo konkrēto jomu unikālu citu ģeometrijas apakšjomu vidū.
