Algebriskā šķirne: definīcija, īpašības un Nullstellensatz

Algebriskā šķirne: skaidra definīcija, būtiskākās īpašības un Nullstellensatz — pārskats, kas palīdz izprast saikni starp polinomu ideāliem un ģeometriju.

Matemātikā algebriskās šķirnes (biežāk sauktas arī par šķirnēm) ir viens no centrālajiem algebriskās ģeometrijas izpētes objektiem. Sākotnējā, klasiskā intuīcija definēja šīs kopas kā polinomu vienādojumu sistēmu atrisinājumu kopas laukā, piemēram, reālo vai komplekso skaitļu laukā; mūsdienu definīcijas šo jēdzienu vispārinās, saglabājot ģeometrisko skatījumu un vienlaikus sasaistot to ar gredzenu teoriju.

Definīcija un pamatpiemēri

Algebriskā šķirne parasti tiek definēta kā kopums V(I) = {punkti | visi polinomi no I iznāk nulles}, kur I ir ideāls polinomu gredzenā k[x1,...,xn] pār kādu lauku k. Algebriskā daudzkārtība (variety) dažreiz tiek pieprasīta būt nereducējamai (nav iespējama kā divu mazāku slēgto daļu apvienojums Zariska topoloģijā); šādu nereducējamu objektu bieži sauc par algebriskām kopām. Taču konvencijas atšķiras un daudzi autori atļauj arī reducējamas "dažādības".

Vienkārši piemēri:

• Parabola definēta ar vienādojumu y − x2 = 0 — tipisks algebriskās šķirnes piemērs.
• Divu līniju apvienojums (piem., (y−x)(y+x)=0) ir reducējama algebriskā kopa — tā sastāv no divām nereducējamām sastāvdaļām.

Topoloģija, koordinatoru gredzens un atbilstības

Zariska topoloģija uz k^n ir definēta tā, ka slēgtas kopas ir tieši algebriskas kopas V(I). Šajā kontekstā svarīga ir saikne starp ģeometriju un algebru: katrai algebriskajai kopai V var piesaistīt koordinatoru gredzenu k[V] = k[x1,...,xn]/I(V). Izmantojot šo gredzenu, ģeometriskas īpašības bieži pārtulkojas par algebriskām īpašībām gredzenā.

Dažas izteiktas atbilstības:

• Irreducible (nereducējama) algebriskā kopa ↔ prime ideals (galvenais ideāls) gredzenā.
• Radikālais ideāls (ideāls, kas satur visus elementu p‑to pakāpes sakņus) atbilst slēgtajai algebriskai kopai caur Nullstellensatz (skat. tālāk).
• Morfismi starp algebriskām šķirnēm atbilst gredzenu homomorfismiem starp to koordinatoru gredzeniem (pretējā virzienā).

Dažādība, daudzkārtne un singulārie punkti

Termins daudzveidība (variety) reizēm tiek lietots līdzīgi kā daudzkārtne, bet galvenā atšķirība ir tā, ka algebriskā dažādība var saturēt singulārus punktus (piemēram, izliektu "knaģi" vai paņēmienu vietas), kamēr diferenciālajā ģeometrijā daudzkārtnei parasti pieprasa gludu struktūru bez singulāritātēm. Singulārie punkti var raksturot, piemēram, ar Jakoba matricas rangu vai ar lokālo gredzena īpašībām (vietējā gredzena nav gluda/regulara). Šo jēdzienu precizēšana ļauj izpētīt vietējo struktūru un desingularizācijas iespējas.

Nullstellensatz — saikne starp ideāliem un algebriskajām kopām

Ap 1800. gadu matemātiskie rezultāti parāda spēcīgu sakarību starp polinomu gredzenu un to sakņu kopām; šo saikni sistemātiski formulēja Hilberts Nullstellensatz. Nullstellensatz ir viens no fundamentālajiem rezultātiem savienošanai starp algebru un ģeometriju. Biežāk lietotās formas ir:

• Vājš Nullstellensatz (parasti): pār laukiem k, kas ir algebraiski slēgti (piem., k = C), ja I ir ideāls k[x1,...,xn], tad V(I) = ∅ tieši tad, ja I satur vienību (t.i., I = k[x1,...,xn]).
• Spaids/Spēcīgais Nullstellensatz: ja k ir algebraiski slēgts, tad par jebkuru ideālu I ⊂ k[x1,...,xn] attiecas I(V(I)) = rad(I), t.i., ideāls polinomu, kas anulējas visos V(I), ir tieši I radikālais aizpildījums. Tas nodrošina kanonisku atbilstību starp slēgtajām Zariska kopām un radikālajiem ideāliem.

Šīs rezultāta nozīme:

• Radikālo ideālu un algebrisko kopu atbilstība ļauj pārvērst ģeometriskus jautājumus par algebriskajiem un otrādi.
• Daudz problēmu algebriskajā ģeometrijā var formulēt kā gredzenu teorijas jautājumus (piem., par ideāliem, primāru faktorizāciju, koordinatoru gredzenu īpašībām), un Nullstellensatz ir centrāla saikne šai divvirzienu tulkošanai.

Dimensija, lokālā struktūra un morfismi

Algebriskās šķirnes dimensija parasti definējama kā Krulla dimensija atbilstošajam koordinatoru gredzenam, ko var interpretēt arī kā maksimālo nesagriezuģu ķēžu (nedalāmu slēgto zemkopu ķēžu) garumu. Morfismi starp šķirnēm ir regulāras funkcijas (polinomu vai frakcionālas funkcijas piemēram kopā ar pietiekamu domēnu), un tie atbilst koordinatoru gredzenu homomorfismiem pretējā virzienā. Šīs kategorijas dualitāte ir pamats modernajai algebriskajai ģeometrijai.

Reālais vs komplekss

Atkarībā no pamatlauka (piem., reālie vai kompleksi skaitļi) mainās daži kvalitatīvie aspekti. Piemēram, Nullstellensatz vislabāk formulējams pār algebraiski slēgtu lauku kā C; reālajā gadījumā jāizmanto reālais Nullstellensatz, kas ir smalkāks un ietver papildnoteikumus par kvadrātu summām un semi-algebriskām kopām. Tomēr pamatideja par sakariem starp polinomu ideāliem un to sakņu kopām saglabājas.

Saīsinājums — kā šo zināt praktiski

Ja strādājat ar konkrētu polinomu sistēmu, bieži lieto šādas darbības:

• Aprēķināt I = <polinomi> un pārbaudīt, vai I ir radikāls vai primārs (izmantojot datoralgebras programmas — Gröbner pamatu aprēķinus u.c.).
• Atrast V(I) — ģeometrisko objektu, kas var būt punkts, līnija, plakne, kurve vai kombinācija tamlīdzīgu objektu.
• Izmantot Nullstellensatz, lai noteiktu, kuri polinomi iznāk nulles attiecīgajā V(I), un tādējādi iegūt informāciju par koordinatoru gredzena struktūru.

Kopsavilkums

Algebriskā šķirne ir gan ģeometrisks, gan algebraisks objekts: jaukta polinomu vienādojumu risinājumu kopa, kurai var piesaistīt koordinatoru gredzenu, Zariska topoloģiju un daudzus citus instrumentus. Nullstellensatz nodrošina fundamentālu tiltu starp polinomu ideāliem un to sakņu kopām, kas ļauj mūsdienu algebriskajai ģeometrijai savienot ģeometriju ar abstraktu algebru un gredzenu teoriju.

Vēl plašākai izpratnei par algebrisko objekta raksturu var noderēt literatūra par gredzenu teoriju, kommutatīvo algebru, kā arī par ķermeņu īpašībām un algebraisko geometriju kopumā.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir algebriskie varianti?

J: Kā mūsdienu definīcijas atšķiras no sākotnējās definīcijas?

J: Kāda ir atšķirība starp dažādību un daudzādību?

J: Ko nosaka algebras fundamentālā teorēma?

J: Ko nodrošina Hilberta nulles stellensatz?

J: Kā matemātiķi ir izmantojuši šo atbilstību?

Meklēt pēc burta