Algebriskā ģeometrija — definīcija, polinomu vienādojumi un varietātes

Algebriskā ģeometrija: definīcija, polinomu vienādojumu sistēmas, varietātes un piemēri (līknes, eliptiskās līknes). Uzzini pamatus, īpašības un pētījumu virzienus.

Algebriskā ģeometrija ir matemātikas nozare, kas pēta polinomu vienādojumus un to risinājumu ģeometriskās struktūras. Mūsdienu algebriskās ģeometrijas pamatā ir abstraktākas algebras metodes (īpaši komutatīvā algebra), kā arī ģeometriskas intuīcijas un rīki, piemēram, shēmu un lāņu (sheaf) teorija.

Galvenie algebriskās ģeometrijas izpētes objekti ir algebriskās šķirnes jeb varietātes — to var uztvert kā to punktu kopas, kas apmierina dotu polinomu vienādojumu sistēmu. Tipiski piemēri plaknē ir algebraiskas līknes: taisnes, apļi, parabolas, elipses, hiperbolas, kā arī sarežģītākas līknes, piemēram, kubiskās līknes — eliptiskās līknes — un kvartālās līknes, piemēram, lemniskāte vai Kasīni ovāli. Punkts pieder algebriskajai līknei, ja tā koordinātas apmierina dotā polinoma vienādojumu. Pamatjautājumi ietver īpašu punktu, piemēram, singulāro punktu, infleksijas punktu un bezgalības punktu, izpēti, kā arī līkņu topoloģiju un savstarpējās attiecības, ja tās dotas ar dažādiem vienādojumiem.

Polinomu vienādojumi un varietāšu struktūra

Parasti algebriskā daudzveidība (varietāte) tiek definēta kā polinomu nulles kopa affinajā vai projektīvajā telpā. Affinās varietātes pētī ar koordinātu gredzenu palīdzību — dotajai varietātei atbilst korespondējošs koordinates gredzens, un ar Hilberta Nullstellensatz saistītie rezultāti saista ģeometriskas vietas ar ideāliem šajos gredzenos. Projektīvās varietātes ļauj aprakstīt bezgalības punktus un dod labāku kontroli pār homogēnu polinomu īpašībām. No svarīgajiem invariantiem ir varietātes dimensija, grāds, kā arī topoloģiskie un algebriskie invarianti, piemēram, ūdens (cohomology) grupa un kanoniskais spēcīgums.

Svarīgi jēdzieni un rezultāti

• Singularitātes: punkti, kuros varietātes lokālā struktūra nav gluda; to klasifikācija un rezolūcija (piem., Hironaka rezultāts) ir centrāla tēma.
• Morfismi un racionālas funkcijas: homomorfismi starp varietātēm, racionālie mapi un biracionālā ekvivalence — svarīgi, lai saprastu, kad varietātes ir "to pašu lauku" skatījumā identiskas.
• Bezout likums: nosaka šķērsgriezuma skaitu starp projekcijas krāsām pēc pieskaņošanas ar grādu un skaitliskām nosacījumiem.
• Genuss un topoloģiskie invarianti: īpaši svarīgi līknēm (piem., eliptiskajām līknēm genus = 1) un to klasifikācijai.
• Kohomoloģijas teorijas: lāņu teorija un sheaf cohomology, tostarp etālās kohomoloģijas attīstība, kas guva izcili svarīgu lomu, pierādot Vaila (Weil) konjektūras.

Apakšnozares un specializācijas

• Galvenā algebriskās ģeometrijas plūsma ir veltīta algebrisko dažādību kompleksu punktu un, vispārīgāk, punktu ar koordinātēm algebriski noslēgtā laukā izpētei.
• Algebriskās daudzveidības punktu ar koordinātēm racionālo skaitļu laukā vai citā skaitļu laukā izpēte kļuva par aritmētisko ģeometriju (klasiskāk — Diofantīna ģeometriju), kas ir algebriskās skaitļu teorijas apakšnozare.
• Algebriskās daudzveidības reālo punktu pētīšana ir reālās algebriskās ģeometrijas priekšmets; tur svarīgas ir arī reālās analīzes un semialgebriskās metodes.
• Liela daļa singularitātes teorijas ir veltīta algebrisko daudzveidību singularitātēm un to izpratnei gan lokāli, gan globāli.
• Kad datori kļuva plaši pieejami, attīstījās skaitļošanas algebriskā ģeometrija, kas aplūko algebriskās ģeometrijas un datoralgebras krustpunktus. Tā nodarbojas ar algoritmu un programmatūras izstrādi (piemēram, Grēbnera bāzes, rezolūcijas algoritmi, numeriskie metodi), lai izpētītu un automātiski aprēķinātu dotu algebrisko daudzveidību īpašības.

Metodes un teorētiskie sasniegumi

Liela daļa 20. gadsimta attīstības notika abstraktās algebras un shēmu (scheme) teorijas ietvaros, pievēršot uzmanību varietāšu "iekšējām" īpašībām, kas nav atkarīgas no konkrētas ievietošanas koordinātu telpā. Topoloģijas, diferenciālās un kompleksās ģeometrijas attīstība ritēja paralēli, un šo disciplīnu mijiedarbība bagātināja metodes un rezultātus. Viens no galvenajiem abstraktās algebriskās ģeometrijas sasniegumiem ir Grothendieck shēmu teorija, kas piemēro lāņu teoriju un koherentās lāņu (sheaf) struktūras algebriskajām vietām. Shēmu pieeja paplašina klasisko sakaru starp punktiem un ideāliem: affinās varietātes punktus var sasaistīt ar koordinašu gredzena maksimālajiem ideāliem, bet shēmas punkti atbilst visiem šī gredzena primeidāliem, ļaujot vienotā veidā apvienot pieejas, kas izmanto gan komplekso analītiku, gan aritmētisko ģeometriju.

Pielietojumi

Algebriskā ģeometrija nepaliek tikai teorētiska: tai ir bagātīgas pielietojumu jomas. Piemēram, eliptisko līkņu teorija ir centrāla mūsdienu kriptogrāfijā (elliptic-curve cryptography), aritmētiskā ģeometrija ir kodu teorijā un skaitļu teorijas problēmu risināšanā, un dažas metodes tiek izmantotas arī matemātiskajā fizikā (piemēram, moduli telpas teorijas un lauku teorijas saistības ar teoriju par šķēršļiem un dažādu lauku simetrijām). Vēl viens spožs piemērs ir Vailsa (Wiles) pierādījums Fermā pēdējā teorēma, kur kā centrālie elementi figurēja eliptiskās līknes un to saistība ar modulārajām formām.

Kopsavilkumā, algebriskā ģeometrija ir gan dziļi teorētiska, gan praktiski nozīmīga matemātikas nozare, kurā savijas algebraiskas, topoloģiskas, analītiskas un skaitļošanas metodes, lai pētītu polinomu vienādojumu ģeometriskās sekas un to pielietojumus citās zinātnes nozarēs.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir algebriskā ģeometrija?

J: Kādas metodes izmanto mūsdienu algebriskajā ģeometrijā?

J: Kāda veida vienādojumus pēta algebriskā ģeometrija?

J: Kā tā izmanto abstrakto algebru?

J: Vai šajā jomā izmanto kādu īpašu valodu?

J: Kā mūsdienu tehnoloģijas ir ietekmējušas šo jomu?

Meklēt pēc burta