Algebriskā ģeometrija
Algebriskā ģeometrija ir matemātikas nozare, kas pēta polinomu vienādojumus. Mūsdienu algebriskās ģeometrijas pamatā ir abstraktākas abstraktās algebras, īpaši komutatīvās algebras, metodes ar ģeometrijas valodu un problēmām.
Galvenie algebriskās ģeometrijas izpētes objekti ir algebriskās šķirnes, kas ir ģeometriskas izpausmes polinomu vienādojumu sistēmu atrisinājumu kopām. Visvairāk pētīto algebrisko varietēšu klašu piemēri ir: plaknes algebriskās līknes, pie kurām pieder taisnes, apļi, parabolas, elipses, hiperbolas, kubiskās līknes, piemēram, eliptiskās līknes un kvartālās līknes, piemēram, lemniskāti, un Kasīni ovāli. Plaknes punkts pieder algebriskajai līknei, ja tā koordinātas atbilst dotajam polinoma vienādojumam. Pamatjautājumi ietver īpašu interešu punktu, piemēram, singulāro punktu, infleksijas punktu un punktu bezgalībā, izpēti. Sarežģītāki jautājumi ietver līknes topoloģiju un attiecības starp līknēm, kas dotas ar dažādiem vienādojumiem.
Algebriskā ģeometrija ieņem centrālo vietu mūsdienu matemātikā. Tajā izmantotie jēdzieni to saista ar tādām dažādām jomām kā kompleksā analīze, topoloģija un skaitļu teorija. Sākotnēji algebriskā ģeometrija pētīja polinomu vienādojumu sistēmas vairākos mainīgos. Algebriskā ģeometrija sākas tur, kur beidzas vienādojumu risināšana: Daudzos gadījumos svarīgāk par konkrēta atrisinājuma atrašanu ir atrast īpašības, kas piemīt visiem dotās vienādojumu kopas atrisinājumiem: tas ved uz visdziļākajām matemātikas jomām gan konceptuālā, gan tehniskā ziņā.
20. gadsimtā algebriskā ģeometrija ir sadalījusies vairākās apakšnozarēs.
- Galvenā algebriskās ģeometrijas plūsma ir veltīta algebrisko dažādību komplekso punktu un vispārīgāk - punktu ar koordinātēm algebriski noslēgtā laukā izpētei.
- Algebriskās daudzveidības punktu ar koordinātēm racionālo skaitļu laukā vai skaitļu laukā izpēte kļuva par aritmētisko ģeometriju (vai klasiskāk - Diofantīna ģeometriju), kas ir algebriskās skaitļu teorijas apakšnozare.
- Algebriskās daudzveidības reālo punktu pētīšana ir reālās algebriskās ģeometrijas priekšmets.
- Liela daļa singularitātes teorijas ir veltīta algebrisko daudzveidību singularitātēm.
- Kad datori kļuva izplatītāki, attīstījās nozare ar nosaukumu "skaitļošanas algebriskā ģeomārija". Tajā aplūko algebriskās ģeometrijas un datoralgebras krustpunktus. Tā nodarbojas ar algoritmu un programmatūras izstrādi, lai pētītu un atrastu nepārprotami dotu algebrisko daudzveidību īpašības.
Liela daļa no galvenās algebriskās ģeometrijas attīstības 20. gadsimtā notika abstraktās algebras ietvaros, aizvien lielāku uzsvaru liekot uz algebrisko dažādību "iekšējām" īpašībām, kas nav atkarīgas no kāda konkrēta veida, kā šo dažādību ievietot apkārtējā koordinātu telpā. Topoloģijas, diferenciālās un kompleksās ģeometrijas attīstība notika līdzīgā veidā. Viens no galvenajiem šīs abstraktās algebriskās ģeometrijas sasniegumiem ir Grothendieck shēmas teorija, kas ļauj algebrisko daudzveidību pētīšanā izmantot slāņu teoriju veidā, kas ir ļoti līdzīgs tās izmantošanai diferenciālo un analītisko daudzšķautņu pētniecībā. Klasiskajā algebriskajā ģeometrijā afinās daudzveidības punktu var identificēt ar Hilberta Nullstellensatz palīdzību ar koordinātu gredzena maksimālo ideālu, savukārt atbilstošās afinās shēmas punkti ir visi šī gredzena pirmeideāli. Tas nozīmē, ka šādas shēmas punkts var būt vai nu parasts punkts, vai arī apakšdaudzveidība. Šī pieeja arī ļauj apvienot klasiskās algebriskās ģeometrijas valodu un instrumentus, kas galvenokārt attiecas uz kompleksajiem punktiem, un algebrisko skaitļu teoriju. Šīs pieejas spēka piemērs ir Vailsa (Wiles) pierādījums sen izteiktajai hipotēzei, ko sauc par Fermā pēdējo teorēmu.
Šī Togliati virsma ir piektās pakāpes algebriska virsma. Attēlā ir attēlota daļa no tās reālā lokusa
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir algebriskā ģeometrija?
A: Algebriskā ģeometrija ir matemātikas nozare, kas pēta polinomu vienādojumus.
J: Kādas metodes izmanto mūsdienu algebriskajā ģeometrijā?
A: Mūsdienu algebriskā ģeometrija izmanto abstraktākus paņēmienus no abstraktās algebras, piemēram, komutatīvo algebru, lai risinātu ģeometrijas valodu un problēmas.
J: Kāda veida vienādojumus pēta algebriskā ģeometrija?
A: Algebriskā ģeometrija pēta polinomu vienādojumus.
J: Kā tā izmanto abstrakto algebru?
A: Tajā izmanto abstrakto algebru, jo īpaši komutatīvo algebru, lai izprastu ar ģeometriju saistīto valodu un problēmas.
J: Vai šajā jomā izmanto kādu īpašu valodu?
Jā, mūsdienu algebriskā ģeometrija izmanto ar ģeometriju saistīto valodu un problēmas.
J: Kā mūsdienu tehnoloģijas ir ietekmējušas šo jomu?
A.: Modernās tehnoloģijas ir ļāvušas izmantot modernākas abstraktās algebras metodes, pētot polinomu vienādojumus šajā jomā.
