Hiperbola — koniskā šķērsgriezuma definīcija, īpašības un piemēri

Uzzini hiperbolas definīciju, īpašības, grafiku (f(x)=1/x) un praktiskus piemērus dabā un fizikā — skaidriem zīmējumiem un aprēķiniem vienuviet.

Hiperbola ir koniskā šķērsgriezuma veids. Tāpat kā pārējie trīs konisko šķērsgriezumu veidi - parabolas, elipses un apļi - tā ir līkne, ko veido konusa un plaknes krustpunkts. Hiperbola veidojas, kad plakne šķērso abas dubultā konusa puses, radot divas līknes, kas izskatās līdzīgas viena otrai, bet ir atvērtas pretējos virzienos. Tas notiek tad, ja leņķis starp konusa asi un plakni ir mazāks par leņķi starp līniju konusa malā un plakni.

Hiperbolas ir sastopamas daudzviet dabā. Piemēram, objekts, kas atrodas atklātā orbītā ap citu objektu, kur tas nekad neatgriežas, var kustēties hiperbolas formā. Saules pulksteņa ēnas gals laika gaitā ir hiperbola.

Viena no pazīstamākajām hiperbolām ir vienādojuma f ( x ) = 1 / x grafiks {\displaystyle f(x)=1/x}.

Definīcija ar fokusu un atšķirību

Alternatīvi definē hiperbolu kā punktu vietu plaknē, kurus raksturo konstanta absolūtā attālumu starpība līdz diviem fiksētiem punktiem (fokusiem). Ja fokusi ir F1 un F2, tad katram punktam P hiperbolā izpildās:

|PF1 − PF2| = 2a, kur 2a ir konstante (attāluma starpības lielums) un a > 0.

Standarta vienādojumi un parametri

Vispārīgā centra hiperbolas standarta forma, ja centra koordinātas ir (0,0) un transversālā ass ir x-ass, ir:

(x² / a²) − (y² / b²) = 1

Ja transversālā ass ir y-asis, tad formas zīmes apgriežas:

(y² / a²) − (x² / b²) = 1

Šeit:

• a — puse no transversālās ass garuma (attālums no centra līdz virsotnei),
• b — saistīts ar konjugētās ass garumu,
• c — attālums no centra līdz fokusam, kur c² = a² + b².

Asimptotes, ekscentritāte un parametrizācija

Hiperbolai vienmēr ir divas taisnes — asimptotes — uz kurām līkne pietuvojas, bet nekad tās nesasniedz. Centrētas formas asimptotes ir:

y = ±(b/a) x (ja transversālā ass ir x-ass). Ja hiperbola ir pārbīdīta vai rotēta, asimptotes vienādojumi tiek attiecīgi nobīdīti vai rotēti.

Ekscentritāte e nosaka “atvērtību”:

e = c / a = sqrt(1 + b² / a²). Hiperbolai e > 1.

Iespējamās parametrizācijas:

• Trigonometriskā/sekanto forma: x = a sec(t), y = b tan(t)
• Hiperboliskā funkciju forma: x = a cosh(u), y = b sinh(u)

Īpašības

• Divas atzarsaknes (branches): hiperbola sastāv no divām disjunktām līknēm, kas ir simetriskas attiecībā pret centru un asīm.
• Skaitliskā definīcija no kvadrātiskās formas: Vispārīgai kvadrātiskai līknei Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 hiperbola rodas, ja discriminants B² − 4AC > 0.
• Atstarošanas īpašība: Gaismas vai skaņas staru atstarošanās no vienas fokusa virzienā uz hiperbolas virsotni šķiet nākam no otras fokusa. Tas nozīmē, ka gaismas stars, kas virzās uz hiperbolas atsevišķu līniju, atstarojas tā, it kā tas nāktu no otrā fokusa.
• Atšķirība no elipses: elipsē ir konstanta attālumu summa līdz fokusiem; hiperbolā — konstanta attālumu starpība.
• Speciālā gadījuma — taisnstūra (rectangular) hiperbola: ja a = b, tad asimptotes ir savstarpēji perpendikulāras (piemēram, līkne xy = konstante vai f(x) = 1/x ir taisnstūra hiperbola ar asimptotēm koordinātu asīm).

Piemēri un pielietojumi

• Matemātikā: viena no vienkāršākajām hiperbolām ir f(x) = 1/x (grafiks skatāms iepriekš), kas ir praktisks piemērs funkcijai ar divām atsevišķām zarām un asimptotēm x = 0 un y = 0.
• Astrofizikā: brīvas orbītas ar pietiekami lielu enerģiju var būt hiperboliskas — objekts pieiet tuvāk, izkustinās ap citu objektu un aiziet, nekad neatgriežoties (hiperboliska tuvošanās / aizbēgšana).
• Tehniskās lietojumprogrammas: asimptotiskās īpašības un fokusu ģeometrija izmantojama vienu staru koncentrēšanai vai novirzīšanai (piem., dažos antenu un reflektoru dizainos var tikt izmantotas hiperboliskas virsmas kombinācijās).
• Praktiskie piemēri dabā un ikdienā: saules pulksteņa ēnas galu trajektorija noteiktos apstākļos var sekot hiperbolai; arī dažādu optisko elementu krustpunkti un ēnu kustības bieži ved pie hiperboliskām formām.

Grafiskais attēlojums un skaitliskā analīze

Lai uzzīmētu hiperbolu, noder atzīmēt centru, virsotnes, fokusus un asimptotes. Asimptotes dod virzienus, uz kuriem zaras tuvojas, un ar tiem kopā var nosaukt precīzu formu. Skaitliskai analīzei izmanto parametrizācijas vai atrisināšanu pēc y no standarta vienādojuma, rūpējoties par reālām saknēm (t.i., x² / a² − 1 ≥ 0 gadījumā).

Kopsavilkums

Hiperbola ir koniskā šķērsgriezuma tips ar divām atsevišķām zarām, skaidri noteiktu ģeometriju (fokusi, virsotnes, asimptotes) un īpašību, ka absolūtā attālumu starpība līdz fokusiem ir konstanta. Tā parādās gan teorētiskos matemātikas uzdevumos, gan reālās fizikālās un inženiertehniskās situācijās.

Definīcijas un vienādojumi

Divas atdalītās līknes, kas veido hiperbolu, sauc par atzariem jeb zariem.

Divi punkti, kuros zari atrodas vistuvāk viens otram, tiek saukti par virsotnēm. Taisni starp šiem diviem punktiem sauc par šķērsasi jeb galveno asi. Šķērseniskās ass viduspunkts ir hiperbolas centrs.

Lielos attālumos no centra hiperbolas atzari tuvojas divām taisnēm. Šīs divas līnijas sauc par asimptotēm. Palielinoties attālumam no centra, hiperbola arvien vairāk tuvojas asimptotēm, bet nekad tās nešķērso.

Konjugātā ass jeb mazā ass ir perpendikulāra šķērsass asij vai atrodas taisnā leņķī pret šķērsasi. Konjugētās ass galapunkti ir augstumā, kur segments, kas šķērso virsotni un ir perpendikulārs šķērseniskajai asimptotai, šķērso asimptotes.

Hiperbolas, kuras centrs ir Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktā, kas ir punkts (0,0), un šķērsas ass atrodas uz x ass, var izteikt kā vienādojumu.

x 2 a 2 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}}{b^{2}}}=1.}

a ir attālums starp centru un virsotni. Šķērseniskās ass garums ir vienāds ar 2a. b ir perpendikulārās līnijas posma garums no virsotnes līdz asimptotai. Konjugētās ass garums ir vienāds ar 2b.

Divi iepriekšminētā hiperbolas veida zari ir vērsti pa labi un pa kreisi. Ja zari atveras uz augšu un uz leju un šķērsass atrodas uz y ass, tad hiperbolu var pierakstīt kā vienādojumu

y 2 a 2 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}}{b^{2}}}=1.}

Hiperbolas grafiks (sarkanās līknes). Asimptotes ir attēlotas kā zilas pārtrauktas līnijas. Centrs ir apzīmēts ar C, un abi virsotnes atrodas -a un a. Fokusi ir apzīmēti ar F1 un F2.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir hiperbola?

J: Kā var izveidot hiperbolu?

J: Kur dabā var atrast hiperbolas piemērus?

J: Kāds vienādojums apraksta vienu labi zināmu hiperbolas piemēru?

J: Kādi ir vēl citi konisko šķērsgriezumu veidi bez hiperbolām?

J: Ar ko šie dažādie veidi atšķiras viens no otra?

Meklēt pēc burta