Determinants

Kvadrātveida matricas determinants ir skalārs (skaitlis), kas stāsta par to, kā šī matrica uzvedas. Determinantu var aprēķināt no matricas skaitļiem.

"Matricas A determinants {\displaystyle A} $A$ " formulā raksta kā det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ vai | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ . Dažreiz det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}}\right)} un | [ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ mēs vienkārši rakstām det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}} un | a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}\right|} .

Interpretācija

Ir vairāki veidi, kā saprast, ko determinants saka par matricu.

Ģeometriskā interpretācija

Uz n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ matricu var skatīties kā uz lineāras kartes aprakstu n {\displaystyle n} dimensijās. Šajā gadījumā determinants norāda koeficientu, ar kādu šī matrica mērogo (palielina vai samazina) n {\displaystyle n}dimensiju telpasapgabalu.

Piemēram, 2 × 2 {\displaystyle 2\reiz 2} $2\times 2$ matrica A {\displaystyle A} $A$ , kas ir lineāra karte, pārveidos kvadrātu divdimensiju telpā par paralelogramu. Šī paralelogrāma laukums būs det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ reizes lielāks par kvadrāta laukumu.

Tādā pašā veidā 3 × 3 {\displaystyle 3\reiz 3} $3\times 3$ matrica B {\displaystyle B} $B$ , kas tiek uzskatīta par lineāru karti, pārvērš kubu trīsdimensiju telpā par paralēleipu. Šī parallelipīda tilpums būs det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ reizes lielāks par kuba tilpumu.

Determinants var būt negatīvs. Lineārā karte var izstiept un mērogot tilpumu, bet tā var arī atspoguļot to pāri asij. Kad tas notiek, determinanta zīme mainās no pozitīvas uz negatīvu vai no negatīvas uz pozitīvu. Negatīvs determinants nozīmē, ka tilpums ir atspoguļots pāri nepāra skaitam asīm.

"Vienādojumu sistēmas" interpretācija

Matricu var aplūkot kā lineāru vienādojumu sistēmas aprakstu. Šai sistēmai ir unikāls netriviāls atrisinājums tieši tad, ja determinants nav 0. (Netriviāls nozīmē, ka atrisinājums nav tikai nulles.)

Ja determinants ir nulle, tad vai nu nav unikāla netriviāla risinājuma, vai arī tādu ir bezgalīgi daudz.

2 × 2 {\displaystyle 2\reiz 2} $2\times 2$ matricai [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\b&d\end{bmatrix}}}. ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ , determinants ir paralēllogrammas laukums. (Platība ir vienāda ar a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ .)

Singulārās matricas

Matricei ir apgrieztā matrica tieši tad, ja tās determinants nav 0. Šā iemesla dēļ matricu ar nenulles determinantu sauc par invertojamu. Ja determinants ir 0, tad matricu sauc par neinvertojamu jeb singulāru.

No ģeometriskā viedokļa par singulāro matricu var domāt kā par paralelāleipēda "saplacināšanu" paralelogramā vai paralelogramu par līniju. Tad tilpums vai laukums ir 0, un nav lineāras kartes, kas atgrieztu veco formu.

Determinanta aprēķināšana

Ir vairāki veidi, kā aprēķināt determinantu.

Formulas mazām matricām

Varat atcerēties formulas 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ un 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ matricām:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3 × 3 {\displaystyle 3\reiz 3} $3\times 3$ matricām formula ir šāda:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Lai atcerētos šo formulu, varat izmantot Sarrusa likumu (skatīt attēlu).

Kofaktoru paplašināšanās

Lielākām matricām determinantu ir grūtāk aprēķināt. Viens no veidiem, kā to izdarīt, ir kofaktoru izvēršana.

Pieņemsim, ka mums ir n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ matrica A {\displaystyle A} $A$ . Vispirms izvēlamies jebkuru matricas rindu vai sleju. Katram skaitlim a i j {\displaystyle a_{ij}}} $a_{ij}$ šajā rindā vai slejā aprēķinām tā kofaktoru C i j {\displaystyle C_{ij}}}. $C_{ij}$ . Tad det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}}. $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Lai aprēķinātu šādu kofaktoru C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ dzēsīsim i rindu {\displaystyle i} $i$ un j stabiņu {\displaystyle j} $j$ no matricas A {\displaystyle A} $A$ . Tādējādi iegūstam mazāku ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\ reizes (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ matricu. To saucam par M {\displaystyle M} $M$ . Kofaktors C i j {\displaystyle C_{ij}}} $C_{ij}$ tad ir vienāds ar ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Šeit ir 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ matricas kreisā slejas kofaktora izvēršanas piemērs:

det [ 1 3 2 2 2 1 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\krāsa {red}1}&3&2\\{krāsa {red}2}&1&1\\{krāsa {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&&={{krāsa {red}1}\cdot C_{11}+{krāsa {red}2}\cdot C_{21}+{krāsa {red}0}\cdot C_{31}\&&=\left({krāsa {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}}pareizais)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&2\3&4\end{bmatrix}}}pareizais)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\beidzis{bmatrica}}}pa labi)\\&=({{krāsa {ārdā}1}\cdot 1\cdot 1)+({krāsa {ārdā}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{krāsa {ārdā}0}\\&=-11.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Kā redzat šeit, mēs varam ietaupīt darbu, izvēloties rindu vai kolonnu, kurā ir daudz nullīšu. Ja a i j {\displaystyle a_{ij}}} $a_{ij}$ ir 0, mums nav jāaprēķina C i j {\displaystyle C_{ij}}. $C_{ij}$ .

3 × 3 {\displaystyle 3\reiz 3} $3\times 3$ determinanta formula ir reizinājumu summa. Šie reizinājumi iet pa diagonālēm, kas "apvij" līdz matricas augšdaļai. Šo triku sauc par Sarrusa likumu.

Saistītās lapas

Tilpums

Iestādes kontrole

BNF: cb11975737s (dati)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir determinants?

A: Determinants ir skalārs (skaitlis), kas norāda, kā uzvedas kvadrātveida matrica.

J: Kā var aprēķināt matricas determinantu?

A: Matricas determinantu var aprēķināt no matricas skaitļiem.

J: Kā tiek rakstīts matricas determinants?

A: Matricas determinantu formulā raksta kā det(A) vai |A|.

J: Vai ir citi veidi, kā uzrakstīt matricas determinantu?

A: Jā, det([a b c d]) un |[a b c d]| var vienkārši rakstīt det [a b c d] un |[a b c d]|.

J: Ko nozīmē, kad mēs sakām "skalārs"?

A: Skalārs ir atsevišķs skaitlis vai lielums, kam ir lielums, bet nav ar to saistīts virziens.

J: Kas ir kvadrātveida matricas?

A: Kvadrātveida matricas ir matricas ar vienādu rindu un kolonnu skaitu, piemēram, 2x2 vai 3x3 matricas.