AlegsaOnline.com

Determinants (kvadrātveida matricas): definīcija, īpašības, aprēķins

Determinants (kvadrātveida matricas): skaidra definīcija, būtiskās īpašības un soli pa solim aprēķina metodes ar piemēriem un praktisku pielietojumu lineārajā algebrā.

Autors: Leandro Alegsa Izveides datums: 2021. gada 17. maijs Pēdējā atjaunināšana: 2025. gada 15. oktobris

Kvadrātveida matricas determinants ir skalārs (skaitlis), kas stāsta par to, kā šī matrica uzvedas. Determinantu var aprēķināt no matricas skaitļiem.

"Matricas A determinants {\displaystyle A} $A$ " formulā raksta kā det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ vai | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ . Dažreiz det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}}\right)} un | [ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ mēs vienkārši rakstām det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}} un | a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}\right|} .

Kas ir determinants — saīsināts skaidrojums

Determinants ir viens skaitlis, kas raksturo kvadrātveida matricas īpašības: vai tā ir invertējama (apgriežama), kā tā ietekmē telpas orientāciju un tilpuma mērogu. Ja determinanta vērtība ir 0, matrica nav invertējama un tās rindas vai kolonnas ir lineāri atkarīgas.

Izteiksme un pieraksti

Parasti determinants tiek apzīmēts ar det(A) vai |A|. Lai ilustrētu, mazām matricām izmanto vienkāršus formulējumus:

2x2 matricas A = [[a b],[c d]] determinants: det(A) = ad − bc.
3x3 matricām bieži izmanto Sarrus noteikumu vai koferentu izplešanos (skat. zemāk).

Galvenās īpašības

Multiplikatīva īpašība: det(AB) = det(A) · det(B).
Transponēšana: det(A^T) = det(A).
Invercija: ja A ir invertējama, tad det(A^−1) = 1 / det(A).
Rindu (kolonnu) operāciju ietekme:
- Divu rindu apmaiņa maina determinanta zīmi (reizina ar −1).
- Rindas reizināšana ar skaitli k reizinās determinant ar k.
- Rindas (vai kolonnas) pievienošana citai rindai nemaina determinantā vērtību.
Lineāra atkarība: ja kāda rinda vai kolonna ir lineāri atkarīga no pārējām, det(A) = 0.
Orientācija un mērskalojums: |det(A)| ir lineāru transformāciju mērogošanas faktors n-dimensiju tilpumam; zīme norāda orientācijas saglabāšanos vai maiņu.

Kā aprēķina determinantus

Ir vairāki veidi, atkarībā no matricas izmēra un vajadzīgas efektivitātes:

Tiešās formulas mazām matricām: 2x2: ad − bc; 3x3: var lietot Sarrus noteikumu.
Koferentu (Laplas) izplešanās: Izvēlas rindu vai kolonnu un aprēķina summu aij·Cij, kur Cij ir koferents. Šī metode ir skaidra, taču sarežģīta lielām matricām (kompleksitāte n!).
Rindu samazināšana (Gauss/ LU faktorizācija): Izmantojot rindu elementārās operācijas un pārrēķinot, kā tās ietekmē determinantus, var efektīvi iegūt det(A). Ar LU sadalījumu vai gausa elimināciju aprēķins prasa apmēram O(n^3) darbību un ir piemērots lieliem n.
Permutāciju formula: det(A) = Σ_{σ∈S_n} sgn(σ) Π_i a_{i,σ(i)}, kur summa iet pāri visām permutācijām σ un sgn(σ) ir permutācijas zīme. Šī definīcija ir teorētiski svarīga, bet praktiski dārga aprēķināšanai.

Piemērs — 2x2 matrica

Ja A = [[2, 3], [5, 7]], tad det(A) = 2·7 − 3·5 = 14 − 15 = −1. No tā redzams, ka A ir invertējama (det ≠ 0) un transformācija apgriež orientāciju (negatīvs mērogošanas faktors).

Praktiski padomi

Strādājot ar lielām matricām, izmantojiet LU/Gauss metodes skaitliskai stabilitātei un ātrumam.
Pirms aprēķina pārbaudiet, vai rindas vai kolonnas nav acīmredzami proporcionālas — tas uzreiz norāda, ka determinanta vērtība ir 0.
Ja nepieciešama tikai informācija par invertējamību, pietiek pateikt, vai det(A) = 0 vai ≠ 0; pilnu skaitlisko vērtību ne vienmēr vajag.

Determinants ir fundamentāls lielums lineārajā algebrā ar plašu pielietojumu teorētiskā un skaitliskā matemātikā, inženierzinātnēs un fizikā.

Interpretācija

Ir vairāki veidi, kā saprast, ko determinants saka par matricu.

Ģeometriskā interpretācija

Uz n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ matricu var skatīties kā uz lineāras kartes aprakstu n {\displaystyle n} dimensijās. Šajā gadījumā determinants norāda koeficientu, ar kādu šī matrica mērogo (palielina vai samazina) n {\displaystyle n}dimensiju telpasapgabalu.

Piemēram, 2 × 2 {\displaystyle 2\reiz 2} $2\times 2$ matrica A {\displaystyle A} $A$ , kas ir lineāra karte, pārveidos kvadrātu divdimensiju telpā par paralelogramu. Šī paralelogrāma laukums būs det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ reizes lielāks par kvadrāta laukumu.

Tādā pašā veidā 3 × 3 {\displaystyle 3\reiz 3} $3\times 3$ matrica B {\displaystyle B} $B$ , kas tiek uzskatīta par lineāru karti, pārvērš kubu trīsdimensiju telpā par paralēleipu. Šī parallelipīda tilpums būs det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ reizes lielāks par kuba tilpumu.

Determinants var būt negatīvs. Lineārā karte var izstiept un mērogot tilpumu, bet tā var arī atspoguļot to pāri asij. Kad tas notiek, determinanta zīme mainās no pozitīvas uz negatīvu vai no negatīvas uz pozitīvu. Negatīvs determinants nozīmē, ka tilpums ir atspoguļots pāri nepāra skaitam asīm.

"Vienādojumu sistēmas" interpretācija

Matricu var aplūkot kā lineāru vienādojumu sistēmas aprakstu. Šai sistēmai ir unikāls netriviāls atrisinājums tieši tad, ja determinants nav 0. (Netriviāls nozīmē, ka atrisinājums nav tikai nulles.)

Ja determinants ir nulle, tad vai nu nav unikāla netriviāla risinājuma, vai arī tādu ir bezgalīgi daudz.

Singulārās matricas

Matricei ir apgrieztā matrica tieši tad, ja tās determinants nav 0. Šā iemesla dēļ matricu ar nenulles determinantu sauc par invertojamu. Ja determinants ir 0, tad matricu sauc par neinvertojamu jeb singulāru.

No ģeometriskā viedokļa par singulāro matricu var domāt kā par paralelāleipēda "saplacināšanu" paralelogramā vai paralelogramu par līniju. Tad tilpums vai laukums ir 0, un nav lineāras kartes, kas atgrieztu veco formu.

Determinanta aprēķināšana

Ir vairāki veidi, kā aprēķināt determinantu.

Formulas mazām matricām

Varat atcerēties formulas 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ un 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ matricām:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3 × 3 {\displaystyle 3\reiz 3} $3\times 3$ matricām formula ir šāda:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Lai atcerētos šo formulu, varat izmantot Sarrusa likumu (skatīt attēlu).

Kofaktoru paplašināšanās

Lielākām matricām determinantu ir grūtāk aprēķināt. Viens no veidiem, kā to izdarīt, ir kofaktoru izvēršana.

Pieņemsim, ka mums ir n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ matrica A {\displaystyle A} $A$ . Vispirms izvēlamies jebkuru matricas rindu vai sleju. Katram skaitlim a i j {\displaystyle a_{ij}}} $a_{ij}$ šajā rindā vai slejā aprēķinām tā kofaktoru C i j {\displaystyle C_{ij}}}. $C_{ij}$ . Tad det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}}. $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Lai aprēķinātu šādu kofaktoru C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ dzēsīsim i rindu {\displaystyle i} $i$ un j stabiņu {\displaystyle j} $j$ no matricas A {\displaystyle A} $A$ . Tādējādi iegūstam mazāku ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\ reizes (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ matricu. To saucam par M {\displaystyle M} $M$ . Kofaktors C i j {\displaystyle C_{ij}}} $C_{ij}$ tad ir vienāds ar ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Šeit ir 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ matricas kreisā slejas kofaktora izvēršanas piemērs:

det [ 1 3 2 2 2 1 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\krāsa {red}1}&3&2\\{krāsa {red}2}&1&1\\{krāsa {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&&={{krāsa {red}1}\cdot C_{11}+{krāsa {red}2}\cdot C_{21}+{krāsa {red}0}\cdot C_{31}\&&=\left({krāsa {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}}pareizais)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&2\3&4\end{bmatrix}}}pareizais)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\beidzis{bmatrica}}}pa labi)\\&=({{krāsa {ārdā}1}\cdot 1\cdot 1)+({krāsa {ārdā}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{krāsa {ārdā}0}\\&=-11.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Kā redzat šeit, mēs varam ietaupīt darbu, izvēloties rindu vai kolonnu, kurā ir daudz nullīšu. Ja a i j {\displaystyle a_{ij}}} $a_{ij}$ ir 0, mums nav jāaprēķina C i j {\displaystyle C_{ij}}. $C_{ij}$ .

Saistītās lapas

Tilpums

Iestādes kontrole

BNF: cb11975737s (dati)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir determinants?

A: Determinants ir skalārs (skaitlis), kas norāda, kā uzvedas kvadrātveida matrica.

J: Kā var aprēķināt matricas determinantu?

A: Matricas determinantu var aprēķināt no matricas skaitļiem.

J: Kā tiek rakstīts matricas determinants?

A: Matricas determinantu formulā raksta kā det(A) vai |A|.

J: Vai ir citi veidi, kā uzrakstīt matricas determinantu?

A: Jā, det([a b c d]) un |[a b c d]| var vienkārši rakstīt det [a b c d] un |[a b c d]|.

J: Ko nozīmē, kad mēs sakām "skalārs"?

A: Skalārs ir atsevišķs skaitlis vai lielums, kam ir lielums, bet nav ar to saistīts virziens.

J: Kas ir kvadrātveida matricas?

A: Kvadrātveida matricas ir matricas ar vienādu rindu un kolonnu skaitu, piemēram, 2x2 vai 3x3 matricas.