Paralēlskaldnis (paralelipīds) — definīcija, īpašības un piemēri

Uzzini paralēlskaldņa (paralelipīda) definīciju, galvenās īpašības un ilustrējošus piemērus — skaidri, ar zīmējumiem un formulām skolēniem un studentiem.

Autors: Leandro Alegsa

Ģeometrijā paralelipīds (bieži lietots sinonīms: paralēlskaldnis) ir trīsdimensiju konveksais daudzstūris, ko veido sešas sejas — katra no tām ir paralelogrami (dažkārt seju formu nosauc arī par rombiem). Par analogiju paralelogramam atbilst paralelipīds tā, kā kubs atbilst kvadrātam, vai kuboīds — taisnstūrim. Eiklīda ģeometrijā šo figūru var definēt, izmantojot dažādus, bet ekvivalentus jēdzienus; affinajā ģeometrijā, kurā leņķi nav nozīmīgi, paliek galvenokārt definīcija, kas ietver paralelogramus un paralelipīdus.

  • Trīs līdzvērtīgas definīcijas, kā paradīt paralelipīdu, ir:
    • daudzstūris ar sešām virsmām (sešstūris), no kurām katra ir paralelograms;
    • sešstūris ar trim paralēlu virsmu pāriem;
    • prizma, kuras pamatne ir paralelograms.

Taisnstūra kuboīds (sešas taisnstūra formas), kubs (sešas kvadrātveida formas) un rombveida kubs (sešas rombveida formas) ir specifiski paralelipīda gadījumi.

Galvenās īpašības

  • Paralelipīdam ir 6 sejas, 12 malas un 8 virsotnes.
  • Pretrunīgas sejas ir paralēlas un kongruentas (vienādas formas un izmēra).
  • Mala pieder vienam no trim paralēlu malu kopām — katā kopā ir 4 paralēlas malas ar vienādu garumu.
  • Visi četrstūriem veidotas sejas ir paralelogrami; speciālos gadījumos tie var būt taisnstūri (kuboīds), kvadrāti (kubs) vai rombi (rombveida paralelipīds).
  • Ir 4 telpiskās diagonāles (savieno pretējās virsotnes). Diagonāļu krustošanās punkts — paralelipīda centrs — ir tā simetrijas centrs.
  • Paralelipīds ir affīna transformācija no kubā — jebkura paralelipīda var iegūt, deformējot (lineāri) kubu bez sagriešanas vai locīšanas.
  • Paralelipīds ir zonoedrs — tas ir ģenerējams kā vektoru summa (minkovska summa) no trīs segmentiem.

Algebraiska un vektoru formulēšana

Ja paralelipīdu definē trīs malas, kas iziet no vienas virsotnes, un tām ir vektori a, b, c, tad:

  • Tilpums: V = |a · (b × c)| — t. i., absolūtā skalārā trīsvienība (skalārais triple produkts).
  • Virsmas laukums: S = 2( |a × b| + |b × c| + |c × a| ), jo laukumi pa pāriem seko no trīs dažādām seju tipoloģijām.
  • Telpiskā diagonāle (no sākotnējās virsotnes līdz pretējai): vektors d = a + b + c; tās garums |d| = sqrt((a + b + c) · (a + b + c)).

Īpašā gadījumā, ja malas ir savstarpēji perpendikulāras un to garumi ir a, b, c (taisnstūra paralelipīds jeb kuboīds), tad:

  • V = a · b · c;
  • S = 2(ab + bc + ca).

Formulas ar malu garumiem un leņķiem

Ja no katras virsotnes iziet malas garumos A, B, C, un leņķi starp šīm malām ir α (starpa A un B), β (starp B un C) un γ (starp C un A), tad vispārīgs tilpuma izteiksmes variants ir

V = A·B·C·sqrt(1 + 2 cosα cosβ cosγ − cos²α − cos²β − cos²γ).

Šī formula izriet no skalārā triple produkta, izmantojot malu moduļus un leņķu kosinusus.

Piemērs

Apsveram paralelipīdu, kuram no vienas virsotnes iziet vektori a = (1,2,0), b = (0,1,1) un c = (1,0,1). Vispirms aprēķinām b × c = (1,1,−1). Skalārais triple produkts a · (b × c) = 1·1 + 2·1 + 0·(−1) = 3. Tātad tilpums V = |3| = 3.

Specifiski gadījumi un pielietojumi

  • Kubs — visas sejas kvadrāti un visas malas vienādas un savstarpēji perpendikulāras.
  • Kuboīds (taisnstūra paralelipīds) — sejas taisnstūri, malas pāri perpendikulāri.
  • Romboedrs (rombveida paralelipīds) — sejas ir rombi; diagonāles var būt neperpendikulāras, bet pretējās sejas saglabā paralelitāti.

Paralelipīdu īpašības ir svarīgas daudzās matemātikas un inženierzinātņu jomās, piemēram, krustprodukts un skalārais triple produkts, telpiska integrācija, kravai aprēķini un 3D modelēšana. Tā kā paralelipīds ir affīna kubu transformācija, tas bieži parādās lineārajā algebrā un tīklu/tilu problēmās.

Ja nepieciešams, varu pievienot attēlu vai shēmu ar vektoriem a, b, c un parādīt soli pa solim aprēķinu citiem piemēriem.

Īpašības

Jebkuru no trim paralēlo virsmu pāriem var uzskatīt par prizmas pamatplaknēm. Paralleleipēdam ir trīs četru paralēlo malu kopas; malas katrā kopā ir vienāda garuma.

Parallelipēdi rodas no kuba lineārām transformācijām (nedegenerētiem gadījumiem: bijektīvām lineārām transformācijām).

Tā kā katrai sienai ir punktu simetrija, parallelepipēds ir zonoēdrēns. Arī visam parallelepipēdam ir punktu simetrija Ci (sk. arī triklīnu). Katra virsma, skatoties no ārpuses, ir pretējās virsmas spoguļattēls. Sienas parasti ir hirālas, bet parallelepipēds tāds nav.

Telpas aizpildīšanas teselēcija ir iespējama ar jebkuras paralēlplaknes kongruentām kopijām.

Tilpums

Paralleleipēda tilpums ir tā pamatnes laukuma A un augstuma h reizinājums. Pamatne ir jebkura no parallelipīda sešām virsmām. Augstums ir perpendikulārais attālums starp pamatni un pretējo virsmu.

Alternatīvā metode definē vektorus a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) un c = (c1, c2, c3), lai attēlotu trīs malas, kas satiekas vienā virsotnē. Tad paralēleleipēda tilpums ir vienāds ar skalārā trīskāršā reizinājuma a - (b × c) absolūto vērtību:

V = | a ( b × c ) | = | b ( c × a ) | = | c ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|} {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Tas ir taisnība, jo, izvēloties b un c kā pamatnes malas, pamatnes laukums pēc šķērsnes reizinājuma definīcijas (skat. šķērsnes reizinājuma ģeometrisko nozīmi),

A = | b | | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \pa labi|\levi|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,} {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

kur θ ir leņķis starp b un c, un augstums ir

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha , } {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

kur α ir iekšējais leņķis starp a un h.

No attēla var secināt, ka α lielums ir ierobežots līdz 0° ≤ α < 90°. Turpretī vektors b × c var veidot ar a iekšējo leņķi β, kas lielāks par 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Tā kā b × c ir paralēls h, β vērtība ir β = α vai β = 180° - α. Tātad

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,} {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

un

h = | a | | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. } {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|.}

Mēs secinām, ka

V = A h = | a | | | b × c | | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,} {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

kas pēc skalārā (vai punktveida) reizinājuma definīcijas ir ekvivalents absolūtajai vērtībai a - (b × c), Q.E.D.

Pēdējā izteiksme ir arī ekvivalenta trīsdimensiju matricas, kas izveidota, izmantojot a, b un c kā rindas (vai kolonnas), determinanta absolūtajai vērtībai:

V = | det [ a 1 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. } {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}

To atrod, izmantojot Kramera likumu trim samazinātām divdimensiju matricām, kas iegūtas no oriģināla.

Ja a, b un c ir paralēlā cauruļvada malu garumi un α, β un γ ir iekšējie leņķi starp malām, tilpums ir šāds

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. } {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}.}

Atbilstošais tetraedrs

Jebkura tetraedra, kuram ir trīs parallelipīda konverģējošās malas, tilpums ir vienāds ar vienu sesto daļu no šī parallelipīda tilpuma (skat. pierādījumu).

Vektori, kas definē paralēleļplānu.Zoom
Vektori, kas definē paralēleļplānu.

Īpašie gadījumi

Parallelipēdiem ar simetrijas plakni ir divi gadījumi:

  • tam ir četras taisnstūra formas
  • tam ir divas rombiskas virsmas, bet no pārējām virsmām divas blakus esošās ir vienādas un pārējās divas arī (abi pāri ir viens otra spoguļattēli).

Skat. arī monoklīniskie.

Taisnstūra kuboīds, ko sauc arī par taisnstūra parallelipīdu vai dažreiz vienkārši par kuboīdu, ir parallelipīds, kura visas virsmas ir taisnstūra formas; kubs ir kubs ar kvadrātveida virsmām.

Rombastūris ir parallelepipēds ar visām rombiskām šķautnēm; trīsstūra trapeces ir rombstūris ar kongruentām rombiskām šķautnēm.

Taisnstūrveida paralēlniedruļplāksneZoom
Taisnstūrveida paralēlniedruļplāksne

Perfekts parallelepipēds

Perfekts paralēlniekkalns ir paralēlniekkalns ar veselu skaitli garām malām, sejas diagonālēm un telpas diagonālēm. 2009. gadā tika pierādīts, ka eksistē vairāki desmiti ideālu parallelelipīdu, tādējādi atbildot uz Ričarda Gija atklāto jautājumu. Vienam no piemēriem ir malas 271, 106 un 103, mazās sejas diagonāles 101, 266 un 255, lielās sejas diagonāles 183, 312 un 323 un telpas diagonāles 374, 300, 278 un 272.

Ir zināmi daži ideāli paralēlopipēdi ar divām taisnstūrveida virsmām. Bet nav zināms, vai ir tādi, kuru visas virsmas ir taisnstūra formas; šādu gadījumu sauc par perfektu kuboīdu.

Parallelotope

Parallelipīda vispārinājumu lielākās dimensijās Kokseters nosauca par paralelotopu.

Konkrēti n-dimensiju telpā to sauc par n-dimensiju paralelotopu jeb vienkārši n-paralelotopu. Tādējādi paralelograms ir 2-paralelotops, bet paralelāleipēds ir 3-paralelotops.

Vispārīgāk runājot, paralelotopam jeb voronoi paralelotopam ir paralēlas un kongruentas pretējas šķautnes. Tātad 2paralelotops ir paralelogons, kas var ietvert arī dažus sešstūrus, un 3paralelotops ir paraleloedrs, kas ietver 5 veidu daudzstūrus.

N-paralellopola diagonāles krustojas vienā punktā, un šis punkts tās šķērso. Inversija šajā punktā atstāj n-paralellotipu nemainīgu. Sk. arī izometrijas grupu fiksētie punkti Eiklīda telpā.

Malas, kas izstaro no vienas k-paralelotopa virsotnes, veido k-veida ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} vektoru telpas k-rāmis, un paralelotops var tikt iegūts no šiem vektoriem, ņemot vektoru lineārās kombinācijas ar svariem no 0 līdz 1.

R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, kur m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, iegultā n-paralelotopa n-apjomu {\displaystyle m\geq n}var aprēķināt, izmantojot Grama determinantu. Alternatīvi, apjoms ir vektoru ārējā reizinājuma norma:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. } {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}

Ja m = n, tad tas ir n vektoru determinanta absolūtā vērtība.

Vēl viena formula, lai aprēķinātu n-paralellopa P tilpumu R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, kura n + 1 virsotnes ir V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}}. {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}, ir

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 1 ] T , .... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}}(P)=|{\rm {det}}} ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,} {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kur [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}{\displaystyle [V_{i}\ 1]} ir rindas vektors, ko veido V i {\displaystyle V_{i}}}{\displaystyle V_{i}} un 1 konkatenācija. Noteicošais lielums nemainās, ja no [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}{\displaystyle [V_{0}\ 1]} atņem [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}. {\displaystyle [V_{i}\ 1]}(i > 0), un [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} novietojot{\displaystyle [V_{0}\ 1]} pēdējā pozīcijā, mainās tikai tā zīme.

Līdzīgi jebkura n-daudzstūra, kuram ir n paralelotopa konverģējošo malu, tilpums ir vienāds ar 1/n! no šī paralelotopa tilpuma.

Leksikogrāfija

Šis vārds parādās kā parallelipipedon sera Henrija Bilingslija 1570. gadā izdotajā Eiklīda "Elementu" tulkojumā. Pjērs Hérigone 1644. gadā izdotajā Cursus mathematicus izmantoja rakstību parallelepipedum. Oksfordas Angļu valodas vārdnīcā tagadējais parallelepiped pirmo reizi minēts Valtera Čārletona grāmatā Chorea gigantum (1663).

Čārlza Hutona vārdnīcā (1795) ir parallelopiped un parallelopipedon, kas liecina par apvienojošās formas parallelo- ietekmi, it kā otrais elements būtu pipedon, nevis epipedon. Noa Vebsters (1806) iekļauj rakstību parallelopiped. Oksfordas angļu valodas vārdnīcas 1989. gada izdevumā parallelopiped (un parallelipiped) ir skaidri aprakstītas kā nepareizas formas, bet 2004. gada izdevumā tās ir uzskaitītas bez komentāriem, un ir norādīta tikai izruna ar uzsvaru uz piektās zilbes pi (/paɪ/).

Atkāpjoties no tradicionālās izrunas, ir paslēpts atšķirīgais grieķu valodas saknes iedalījums, kurā epi- ("uz") un pedon ("zeme") apvienojas, veidojot epiped - plakana "plakne". Tādējādi paralēleipēda virsmas ir plakana, un pretējās virsmas ir paralēlas.

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir paralēleipēds?


A: Parallelipīds ir trīsdimensiju figūra, ko veido seši paralelogrami.

J: Kādu citu terminu dažkārt lieto, lai apzīmētu parallelipīdu?


A: Dažreiz lieto arī terminu "rombveida" ar tādu pašu nozīmi kā "parallelipīds".

J: Kā parallelipīds ir saistīts ar paralelogramu?


A: Parallelipīds ir saistīts ar paralelogramu tāpat kā kubs ar kvadrātu vai kuboīds ar taisnstūri.

J: Vai Eiklīda ģeometrijā paralēlplaknes definīcija ietver visus četrus saistītos jēdzienus?


A: Jā, Eiklīda ģeometrijā paralēleskopa definīcija ietver visus četrus saistītos jēdzienus: paralēleskops, paralelograms, kubs un kvadrāts.

J: Kāds ir afinās ģeometrijas konteksts?


A: Afinās ģeometrijas konteksts ir tāds, kurā leņķi netiek diferencēti.

J: Kādas figūras afinās ģeometrijas kontekstā ir iekļautas paralēlplaknes definīcijā?


A: Afīnajā ģeometrijā parallelipīda definīcija pieļauj tikai paralelogramus un parallelipipēdus.

J: Kādas ir trīs līdzvērtīgas paralēlplaknes definīcijas?


A: Trīs ekvivalentas parallelipīda definīcijas ir šādas: daudzstūris ar sešām virsmām, no kurām katra ir paralelograms; sešstūris ar trim paralēlo virsmu pāriem; un prizma, kuras pamatne ir paralelograms.


Meklēt
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3