Paralēlskaldnis (paralelipīds) — definīcija, īpašības un piemēri

Īpašības

Jebkuru no trim paralēlo virsmu pāriem var uzskatīt par prizmas pamatplaknēm. Paralleleipēdam ir trīs četru paralēlo malu kopas; malas katrā kopā ir vienāda garuma.

Parallelipēdi rodas no kuba lineārām transformācijām (nedegenerētiem gadījumiem: bijektīvām lineārām transformācijām).

Tā kā katrai sienai ir punktu simetrija, parallelepipēds ir zonoēdrēns. Arī visam parallelepipēdam ir punktu simetrija _{Ci (}sk. arī triklīnu). Katra virsma, skatoties no ārpuses, ir pretējās virsmas spoguļattēls. Sienas parasti ir hirālas, bet parallelepipēds tāds nav.

Telpas aizpildīšanas teselēcija ir iespējama ar jebkuras paralēlplaknes kongruentām kopijām.

Tilpums

Paralleleipēda tilpums ir tā pamatnes laukuma A un augstuma h reizinājums. Pamatne ir jebkura no parallelipīda sešām virsmām. Augstums ir perpendikulārais attālums starp pamatni un pretējo virsmu.

Alternatīvā metode definē vektorus a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) un c = (c1, c2, c3), lai attēlotu trīs malas, kas satiekas vienā virsotnē. Tad paralēleleipēda tilpums ir vienāds ar skalārā trīskāršā reizinājuma a - (b × c) absolūto vērtību:

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Tas ir taisnība, jo, izvēloties b un c kā pamatnes malas, pamatnes laukums pēc šķērsnes reizinājuma definīcijas (skat. šķērsnes reizinājuma ģeometrisko nozīmi),

A = | b | | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \pa labi|\levi|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

kur θ ir leņķis starp b un c, un augstums ir

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha , }

kur α ir iekšējais leņķis starp a un h.

No attēla var secināt, ka α lielums ir ierobežots līdz 0° ≤ α < 90°. Turpretī vektors b × c var veidot ar a iekšējo leņķi β, kas lielāks par 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Tā kā b × c ir paralēls h, β vērtība ir β = α vai β = 180° - α. Tātad

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

un

h = | a | | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Mēs secinām, ka

V = A h = | a | | | b × c | | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

kas pēc skalārā (vai punktveida) reizinājuma definīcijas ir ekvivalents absolūtajai vērtībai a - (b × c), Q.E.D.

Pēdējā izteiksme ir arī ekvivalenta trīsdimensiju matricas, kas izveidota, izmantojot a, b un c kā rindas (vai kolonnas), determinanta absolūtajai vērtībai:

V = | det [ a 1 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

To atrod, izmantojot Kramera likumu trim samazinātām divdimensiju matricām, kas iegūtas no oriģināla.

Ja a, b un c ir paralēlā cauruļvada malu garumi un α, β un γ ir iekšējie leņķi starp malām, tilpums ir šāds

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Atbilstošais tetraedrs

Jebkura tetraedra, kuram ir trīs parallelipīda konverģējošās malas, tilpums ir vienāds ar vienu sesto daļu no šī parallelipīda tilpuma (skat. pierādījumu).

Īpašie gadījumi

Parallelipēdiem ar simetrijas plakni ir divi gadījumi:

• tam ir četras taisnstūra formas
• tam ir divas rombiskas virsmas, bet no pārējām virsmām divas blakus esošās ir vienādas un pārējās divas arī (abi pāri ir viens otra spoguļattēli).

Skat. arī monoklīniskie.

Taisnstūra kuboīds, ko sauc arī par taisnstūra parallelipīdu vai dažreiz vienkārši par kuboīdu, ir parallelipīds, kura visas virsmas ir taisnstūra formas; kubs ir kubs ar kvadrātveida virsmām.

Rombastūris ir parallelepipēds ar visām rombiskām šķautnēm; trīsstūra trapeces ir rombstūris ar kongruentām rombiskām šķautnēm.

Perfekts parallelepipēds

Perfekts paralēlniekkalns ir paralēlniekkalns ar veselu skaitli garām malām, sejas diagonālēm un telpas diagonālēm. 2009. gadā tika pierādīts, ka eksistē vairāki desmiti ideālu parallelelipīdu, tādējādi atbildot uz Ričarda Gija atklāto jautājumu. Vienam no piemēriem ir malas 271, 106 un 103, mazās sejas diagonāles 101, 266 un 255, lielās sejas diagonāles 183, 312 un 323 un telpas diagonāles 374, 300, 278 un 272.

Ir zināmi daži ideāli paralēlopipēdi ar divām taisnstūrveida virsmām. Bet nav zināms, vai ir tādi, kuru visas virsmas ir taisnstūra formas; šādu gadījumu sauc par perfektu kuboīdu.

Parallelotope

Parallelipīda vispārinājumu lielākās dimensijās Kokseters nosauca par paralelotopu.

Konkrēti n-dimensiju telpā to sauc par n-dimensiju paralelotopu jeb vienkārši n-paralelotopu. Tādējādi paralelograms ir 2-paralelotops, bet paralelāleipēds ir 3-paralelotops.

Vispārīgāk runājot, paralelotopam jeb voronoi paralelotopam ir paralēlas un kongruentas pretējas šķautnes. Tātad 2paralelotops ir paralelogons, kas var ietvert arī dažus sešstūrus, un 3paralelotops ir paraleloedrs, kas ietver 5 veidu daudzstūrus.

N-paralellopola diagonāles krustojas vienā punktā, un šis punkts tās šķērso. Inversija šajā punktā atstāj n-paralellotipu nemainīgu. Sk. arī izometrijas grupu fiksētie punkti Eiklīda telpā.

Malas, kas izstaro no vienas k-paralelotopa virsotnes, veido k-veida ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} vektoru telpas k-rāmis, un paralelotops var tikt iegūts no šiem vektoriem, ņemot vektoru lineārās kombinācijas ar svariem no 0 līdz 1.

R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, kur m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, iegultā n-paralelotopa n-apjomu var aprēķināt, izmantojot Grama determinantu. Alternatīvi, apjoms ir vektoru ārējā reizinājuma norma:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Ja m = n, tad tas ir n vektoru determinanta absolūtā vērtība.

Vēl viena formula, lai aprēķinātu n-paralellopa P tilpumu R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. , kura n + 1 virsotnes ir V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}}. , ir

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 1 ] T , .... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}}(P)=|{\rm {det}}} ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kur [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} ir rindas vektors, ko veido V i {\displaystyle V_{i}}} un 1 konkatenācija. Noteicošais lielums nemainās, ja no [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} atņem [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}. (i > 0), un [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} novietojot pēdējā pozīcijā, mainās tikai tā zīme.

Līdzīgi jebkura n-daudzstūra, kuram ir n paralelotopa konverģējošo malu, tilpums ir vienāds ar 1/n! no šī paralelotopa tilpuma.

Leksikogrāfija

Šis vārds parādās kā parallelipipedon sera Henrija Bilingslija 1570. gadā izdotajā Eiklīda "Elementu" tulkojumā. Pjērs Hérigone 1644. gadā izdotajā Cursus mathematicus izmantoja rakstību parallelepipedum. Oksfordas Angļu valodas vārdnīcā tagadējais parallelepiped pirmo reizi minēts Valtera Čārletona grāmatā Chorea gigantum (1663).

Čārlza Hutona vārdnīcā (1795) ir parallelopiped un parallelopipedon, kas liecina par apvienojošās formas parallelo- ietekmi, it kā otrais elements būtu pipedon, nevis epipedon. Noa Vebsters (1806) iekļauj rakstību parallelopiped. Oksfordas angļu valodas vārdnīcas 1989. gada izdevumā parallelopiped (un parallelipiped) ir skaidri aprakstītas kā nepareizas formas, bet 2004. gada izdevumā tās ir uzskaitītas bez komentāriem, un ir norādīta tikai izruna ar uzsvaru uz piektās zilbes pi (/paɪ/).

Atkāpjoties no tradicionālās izrunas, ir paslēpts atšķirīgais grieķu valodas saknes iedalījums, kurā epi- ("uz") un pedon ("zeme") apvienojas, veidojot epiped - plakana "plakne". Tādējādi paralēleipēda virsmas ir plakana, un pretējās virsmas ir paralēlas.