Eiklīda Elementi — antīkās ģeometrijas 13 sējumu pamats

Eiklīda Elementi — 13 sējumu antīkās ģeometrijas un skaitļu teorijas pamats: aksiomas, pierādījumi un mantojums, kas veido mūsdienu matemātikas pamatu.

Eiklīda Elementi (dažkārt: Elementi, grieķu: Στοιχεῖα Stoicheia) ir liels matemātikas grāmatu kopums par ģeometriju, ko sengrieķu matemātiķis, pazīstams kā Eiklīds (ap 325. g. p. m. ē. - 265. g. p. m. ē.), sarakstīja Aleksandrijā (Ēģiptē) ap 300. gadu pirms mūsu ēras. Komplektā ir 13 sējumi jeb sadaļas, un tas bieži vien ir iespiests kā 13 fiziskas grāmatas (ar numuriem I-XIII), nevis kā viena liela grāmata. Tas ir tulkots latīņu valodā ar nosaukumu "Euclidis Elementorum". Tas ir slavenākais seno laiku matemātikas teksts.

Eiklīds apkopoja visu, kas viņa laikā bija zināms par ģeometriju. Viņa Elementi ir galvenais antīkās ģeometrijas avots. Mācību grāmatas, kuru pamatā ir Eiklīds, tiek izmantotas līdz pat mūsdienām. Šajā grāmatā viņš sāk ar nelielu aksiomu kopumu (tas ir, ar to, ko visi uzskata par patiesiem). Pēc tam, pamatojoties uz šīm aksiomām, Eiklīds parāda ģeometrisko objektu un veselu skaitļu īpašības.

Elementi ietver arī darbus par perspektīvu, konusveida šķērsgriezumiem, sfērisko ģeometriju un, iespējams, kvadriskām virsmām. Līdztekus ģeometrijai darbs ietver arī skaitļu teoriju. Eiklīds nāca klajā ar ideju par lielākajiem kopējiem dalītājiem. Tie bija viņa Elementos. Divu skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais skaitlis, kas var vienmērīgi dalīties abos skaitļos.

Elementos aprakstīto ģeometrisko sistēmu ilgi dēvēja vienkārši par "ģeometriju" un uzskatīja par vienīgo iespējamo ģeometriju. Mūsdienās šo sistēmu dēvē par Eiklīda ģeometriju, lai to atšķirtu no citām tā sauktajām neeiklīdiskajām ģeometrijām, ko matemātiķi atklāja 19. gadsimtā.

Struktūra — 13 sējumu īss pārskats

• I sējums: pamateri, definīcijas, aksiomas un pamatkonstrukcijas (piem., konstrukcija vienādmalu trijstūrim; satur arī slaveno Pitagora teorēmu kā I.47).
• II sējums: ģeometriskas ekvivalences, ko bieži sauc par "ģeometrisko algebru" — identitātes, kas atbilst algebriskām formulām.
• III sējums: apļi — to īpašības un attiecības starp leņķiem, šķautnēm un loku garumiem.
• IV sējums: regulāru daudzstūru konstrukcijas (piem., regulāri daudzstūri, kuri ir nosakāmi ar cirkuli un lineālu).
• V sējums: Eudoksa proporciju teorija — abstrakts un vispārināts veids, kā runāt par attiecībām starp lielumiem, tostarp nekomensurabliem (neperiodiskiem) lielumiem.
• VI sējums: attiecību pielietojums līdzīgajos trijstūros un praktiskām problēmām.
• VII–IX sējumi: skaitļu teorija — definīcijas, dalāmība, Eiklīda algoritms (lielāko kopīgo dalītāju atrašanai) un rezultāti, tostarp pierādījums par pirmskaitļu bezgalību.
• X sējums: bezgala daudzveidīgs klasifikācijas mēģinājums reālām attiecībām/irracionālām proporcijām (sarežģītākais sējums pēc formulējuma un saturā).
• XI–XII sējumi: telpiskā (stereometrija) ģeometrija — ķermeņu un to tilpumu attiecības; XII izmanto "izsmelšanas metodi" tuvinājumu aprēķiniem (priekštecis integrālai domai).
• XIII sējums: regulāro plakanu un telpisko figūru, īpaši piecu Platonisko vielu (regulārie sešstūra, kuba līdz citiem), īpašības un to konstrukcijas.

Aksiomas, postulas un metode

Eiklīds sāk ar noteiktu definīciju, postulu un kopīgu izziņu (common notions) kopumu, uz kura balstās visi pierādījumi. No šiem pamatjēdzieniem tiek loģiski izvesti teikumi (propozīcijas). Sevišķi ievērojama ir piektā postula — paralēlā postula — kuras neatkarība no pārējām aksiomām vēlāk radīja neeiklīdiskās ģeometrijas attīstību. Eiklīda darba metodes pamatā ir tieša konstrukcija ar linhaudi (lineālu) un cirkuli un loģisks deduktīvs ceļš no aksiomām uz sarežģītākām teorijām.

Skaitļu teorija un algoritmi

Eiklīda algoritms (grāmatās VII–VIII) ir efektīva metode lielākā kopīgā dalītāja atrašanai un ir viens no Vecās pasaules praktiskākajiem ieguldījumiem skaitļu teorijā — tas joprojām tiek plaši lietots. Grāmatas IX satur arī slaveno pierādījumu, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz. Šie rezultāti padarīja Elementus par svarīgu avotu ne tikai ģeometrijā, bet arī aritmētikā.

Pārvērtības, izplatība un ietekme

Elementi tika plaši tulkoti un komentēti: arābu pasaulē tajos darbojās tulki un komentētāji, no turienes daļa zināšanu nokļuva Eiropā — viduslaikos radās vairākas latīņu tulkojumu versijas (piem., 12. gadsimtā esošie tulkojumi no arābu tekstiem). Pirmais plaši pazīstamais drukātais izdevums ar diagrammām parādījās 1482. gadā Venēcijā (izdevējs Erhard Ratdolt). Neskaitāmi viduslaiku un renesanses ieraksti, komentāri un mācību izdevumi nodrošināja Elementu izplatību Eiropā un aiz sevis atstāja spēcīgu kultūras un izglītības ietekmi — tas bija standarta mācību teksts ģeometrijā gadsimtiem ilgi.

Mūsdienu skatījums un kritika

Lai gan Eiklīda pieeja ir ārkārtīgi sistemātiska un iedvesmojoša, 19.–20. gadsimtā matemātiķi un loģiķi norādīja uz dažiem netieši pieņemtajiem pieņēmumiem tekstā (piem., par punktu, līniju, kontinuitāti, betweenness u. c.), kurus Eiklīds neraksturo pilnībā. Šo plaisu dēļ 19. gadsimtā attīstījās neeiklīdiskās ģeometrijas (parādot, ka paralēlā postula nav sekojoša no pārējām) un 20. gadsimtā Hilberta u. c. centieni formulēja stingrāku aksiomātisku pamatu ģeometrijai.

Kopsavilkums

Elementi ir monumentāls darbs, kas apvieno ģeometriju, skaitļu teoriju un loģisku deduktīvu metodi. Tā ietekme uz matemātikas mācīšanu, formālo domāšanu un zinātnes attīstību ir milzīga — daudzi no mūsu mūsdienu pamata jēdzieniem un metodēm var tieši vai netieši izsekot līdz Eiklīdam un viņa 13 sējumu strukturētajam izklāstam.

Jautājumi un atbildes

J: Kas uzrakstīja Eiklīda "Elementus"?

Q: Kad tas tika uzrakstīts?

J: Kāds ir Eiklīda "Elementu" latīņu tulkojuma nosaukums?

J: Kādi temati ir aplūkoti grāmatā?

J: Ko Eiklīds dara ar nelielu aksiomu kopumu?

J: Kas ir lielākais kopīgais dalītājs?

J: Kā mūsdienās dēvē mūsdienu ģeometrisko sistēmu salīdzinājumā ar to, ko sauca par "ģeometriju" antīkajos laikos?

Meklēt pēc burta