Kas ir Eiklīda ģeometrija: aksiomas, Elementi un neeiklīda alternatīvas
Uzzini Eiklīda ģeometrijas pamatus: Elementi, aksiomas un 19. gs. neeiklīda alternatīvas — teorijas, vēsture un to nozīme mūsdienu matemātikā.
Eiklīda ģeometrija ir matemātikas sistēma, kas apraksta plaknes un telpas īpašības, izmantojot loģiski secīgas definīcijas, aksiomas un pierādījumus. Tradicionāli to saista ar Eiklīdu, kurš šo pieeju sistemātiski noformulēja savā grāmatā Elementi. Tā bija viena no pirmajām darbībām, kurā ģeometrija tika izklāstīta kā aksiomātiska sistēma: Eiklīds vispirms izvirza vairākas skaidras, intuitīvas pamatprincīpas — aksiomas — un no tām secīgi pierāda citas teorēmas.
Eiklīda aksiomas (pamatprincipi)
Eiklīda darbā tradicionāli izdala piecus galvenos postulātus/aksiomas, ko var izteikt vienkāršoti šādi:
- Var uzzīmēt taisnu līniju starp jebkurām divām punktām.
- Veikt taisnes segmenta pagarinājumu bezgalīgā virzienā.
- Var uzzīmēt apļa centru un rādiusu jebkuriem dobiem parametriem (jeb uzbūvēt apli ar jebkuru rādiusu un centru).
- Visi taisnu leņķu leņķi ir vienādi (reti formulēts kā "visi taisnie leņķi ir vienādi").
- Paralēlais postulāts: ja divas taisnes, krustojot trešo taisni, veido iekšējos leņķus vienā pusē, kuru summa ir mazāka par 180°, tad tās krustosies, pagarinot; līdz ar to caur punktu ārpus dotas taisnes var izvilkt tikai vienu līniju, kas ir ar to paralēla.
No šīm pamatpieņēmumiem Eiklīds izveido plašu teorēmu kopumu par taisnēm, leņķiem, trijstūriem, daudzstūriem, skaitļu attiecībām u. c. Daļa no Elementiem attiecas arī uz skaitļu teoriju un proporcijām, ne tikai uz ģeometriju.
Neeiklīda ģeometrijas un paralēlā postulāta loma
Jau gadsimtiem ilgi matemātiķi mēģināja pierādīt piekto postulu no pārējām aksiomām, taču bez panākumiem. 19. gadsimtā tika atklātas alternatīvas ģeometrijas, kurās neeiklīda ģeometrija iegūst nozīmīgu vietu: tās rodas, ja nomaina vai maina paralēlo postulātu, bet saglabā pārējās Eiklīda aksiomas.
Vairāki matemātiķi, tostarp Kārlis Frīdrihs Gauss, Jānošs Bolājs un Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis, neatkarīgi attīstīja idejas, kas noveda pie divām galvenajām neeiklīda ģeometriju klasēm:
- Hiperboliskā ģeometrija — caur ārpus dotas taisnes punktu var izvilkt vairāk nekā vienu paralēlu; raksturīga negatīva kurvatura un īpašības, piemēram, trijstūru leņķu summa ir mazāka par 180°.
- Eliptiskā (saukt arī par sfērisku) ģeometrija — caur ārpus dotas taisnes punktu nav paralēļu; raksturīga pozitīva kurvatura un trijstūru leņķu summa pārsniedz 180°.
Atklājums, ka paralēlais postulāts nav nepieciešami izrietošs no pārējām aksiomām un ka kopējā aksiomātiskā sistēma var radīt vairākus, loģiski saskaņotus ģeometriju modeļus, bija būtisks pavērsiens matemātikā. Mūsdienās Eiklīda un neeiklīda ģeometrijas tiek interpretētas kā dažādi modeļi atkarībā no telpas kurvatures un aksiomu kopas, un tām ir gan teorētiska nozīme (axiomātiskā metode, konsistence), gan praktiskas pielietojuma jomas — piemēram, relativitātes teorijā izmantotās telpas ir neeiklīdas.
Aksiomas
Eiklīds izdara šādus pieņēmumus. Tie ir aksiomas, un nav jāpierāda.
- Jebkurus divus punktus var savienot ar taisnu līniju.
- Jebkuru taisnas līnijas posmu var pagarināt (pagarināt) līdz bezgalībai, tādējādi tas kļūst par taisnu līniju.
- Ar taisnas līnijas posmu var uzzīmēt apli tā, lai viens posma galapunkts būtu apļa centrs, bet otrs galapunkts atrastos uz apļa. Taisnes posms kļūst par apļa rādiusu.
- Visi taisnie leņķi ir kongruenti
- Paralēlais postulāts. Ja divas taisnes krustojas ar trešo tā, ka vienā pusē iekšējo leņķu summa ir mazāka par diviem taisnajiem leņķiem, tad abām taisnēm neizbēgami ir jāšķērso viena otra šajā pusē, ja tās tiek pietiekami pagarinātas.
Statuss
Eiklīda ģeometrija ir pirmās kārtas teorija. Ar tās palīdzību var izdarīt un pierādīt tādus apgalvojumus kā "Par visiem trijstūriem...". Tādi apgalvojumi kā "Par visām trijstūru kopām..." ir ārpus šīs teorijas darbības jomas.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Eiklīda ģeometrija?
A: Eiklīda ģeometrija ir matemātikas sistēma, ko pirmo reizi aprakstīja Eiklīds savā mācību grāmatā Elementi. Tā sastāv no dažām aksiomām, kas veido pamatu turpmākajiem darbiem, un no šīm aksiomām var pierādīt citas teorēmas.
J: Kas uzrakstīja "Elementus"?
A: Eiklīds uzrakstīja Elements, kas bija pirmais sistemātiskais ģeometrijas izklāsts, kā tolaik bija zināms.
J: Kādi ir daži piemēri neeiklīda ģeometrijai?
A: Neeiklīdiskās ģeometrijas 19. gadsimtā izstrādāja Kārlis Frīdrihs Gauss, Jבnoss Bolejs un Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis. Tajās bieži vien neizmanto paralēlo postulātu, bet gan balstās uz pārējām četrām aksiomām.
J: Par ko ir runa elementos?
A: Elementos ir aplūkota ģeometrija, kāda tā bija pazīstama tajā laikā, un sniegts sistemātisks tās apraksts.
Jautājums: Cik aksiomu ir Eiklīda ģeometrijai?
A: Eiklīda ģeometrijai ir dažas aksiomas, kas veido tās pamatu turpmākajam darbam.
J: Kas izstrādāja neeiklīdiskās ģeometrijas?
A: Neeiklīdisko ģeometriju 19. gadsimtā izstrādāja Kārlis Frīdrihs Gauss, Jבnoss Bolejs un Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis.
Vai neeiklīda ģeometrijā izmanto visas piecas aksiomas vai tikai četras?
A: Neeiklīda ģeometrijā bieži neizmanto paralēlo postulātu, bet gan tikai četras no piecām aksiomām.
Meklēt