Paralēlais postulāts
Ģeometrijā paralēles postulāts ir viena no Eiklīda ģeometrijas aksiomām. Dažkārt to dēvē arī par piekto Eiklīda postulātu, jo tas ir piektais postulāts Eiklīda "Elementos".
Postulāts saka, ka:
Ja nogriežat taisni ar divām līnijām un divi iekšējie leņķi, ko veido šīs līnijas, ir mazāki par 180°, tad abas līnijas galu galā satiksies, ja tās pagarināsiet pietiekami ilgi.
Ģeometrijas jomu, kurā ievērotas visas Eiklīda aksiomas, sauc par Eiklīda ģeometriju. Ģeometriju, kurā netiek ievērotas visas Eiklīda aksiomas, sauc par neeiklīda ģeometriju.
Ja iekšējo leņķu α (alfa) un β (beta) summa ir mazāka par 180°, abas taisnes kaut kur krustojas, ja abas ir pagarinātas līdz bezgalībai.
Vēsture
Daži matemātiķi uzskatīja, ka Eiklīda piektais postulāts ir daudz garāks un sarežģītāks nekā pārējie četri postulāti. Daudzi no viņiem uzskatīja, ka to var pierādīt, pamatojoties uz citām vienkāršākām aksiomām. Daži matemātiķi paziņoja, ka ir pierādījuši šo postulātu no vienkāršākiem postulātiem, taču izrādījās, ka viņi visi ir kļūdījušies.
Playfēra aksioma
Vēl viens jaunāks apgalvojums, pazīstams kā Playfēra aksioma, ir līdzīgs Eiklīda piektajam postulātam. Tajā teikts, ka:
Ja ir dota taisna līnija un punkts, kas neatrodas uz šīs līnijas, caur šo punktu var novilkt tikai vienu taisnu līniju, kas nesaskan ar otru taisnu līniju.
Patiesībā matemātiķi atklāja, ka šī aksioma ir ne tikai līdzīga Eiklīda piektajam postulātam, bet tai ir tieši tāda pati nozīme. Matemātiski šos divus apgalvojumus sauc par "ekvivalentiem" apgalvojumiem. Mūsdienās matemātiķi biežāk izmanto Playfēra aksiomu nekā sākotnējo Eiklīda paralēlo postulātu.
Neeiklīda ģeometrija
Galu galā daži matemātiķi mēģināja izveidot jaunas ģeometrijas, neizmantojot aksiomu. Vienu no neeiklīda ģeometrijas veidiem sauc par eliptisko ģeometriju. Eliptiskajā ģeometrijā paralēles postulāts ir aizstāts ar aksiomu, kas nosaka, ka:
Ja ir dota taisna līnija un punkts, kas neatrodas uz šīs līnijas, caur šo punktu nevar novilkt taisnu līniju, kas galu galā nešķērsotu otru taisni.
Matemātiķi atklāja, ka, aizvietojot Eiklīda piekto postulātu ar šo aksiomu, viņi joprojām varēja pierādīt daudzas citas Eiklīda teorēmas. Viens no veidiem, kā iztēloties eliptisko ģeometriju, ir domāt par zemeslodes virsmu. Uz zemeslodes garuma līnijas šķiet paralēlas pie ekvatora, bet visas tās satiekas pie poliem. 19. gadsimta beigās tika pierādīts, ka eliptiskā ģeometrija ir konsekventa. Tas pierādīja, ka Eiklīda piektais postulāts nav neatkarīgs no pārējiem postulātiem. Pēc tam matemātiķi lielākoties pārstāja mēģināt pierādīt piekto postulātu no pārējiem četriem postulātiem. Tā vietā daudzi matemātiķi sāka pētīt citas ģeometrijas, kas neatbilst Eiklīda piektajam postulātam.
Cita aksioma, ar kuru matemātiķi dažkārt aizstāj Eiklīda piekto aksiomu, ir šāda:
Ja ir dota taisna līnija un punkts, kas neatrodas uz šīs līnijas, var uzzīmēt vismaz divas taisnas līnijas caur šo punktu, kas galu galā nešķērsos otru taisni.
To sauc par hiperbolisko ģeometriju.
Cita ģeometrija vienkārši atceļ Eiklīda piekto postulātu un ne ar ko to neaizstāj. To sauc par neitrālo ģeometriju jeb absolūto ģeometriju.
