Divpadsmitzīmju sistēma (duodecimālā) — definīcija un īpašības
Divpadsmitzīmju sistēma (duodecimālā) — definīcija, priekšrocības un īpašības: kā bāze 12 uzlabo dalīšanu, skaitļu reprezentāciju un izmantojamību matemātikā.
Divpadsmitzīmju sistēma (pazīstama arī kā 12 bāze, duzenālā vai reti vienciparu sistēma) ir skaitļu sistēma ar divpadsmit bāzi. Divpadsmitdaļskaitļu sistēmā lielos skaitļus izsaka ar 12 skaitļu grupām. Piemēram, skaitli piecdesmit (ko mēs parasti rakstām kā 50) divpadsmitdaļīgā sistēmā rakstītu kā 42, jo tas ir vienāds ar 4×12+2.
Skaits 12 ir mazākais skaitlis, kam ir četri faktori (2, 3, 4, 6). Ja skaitļus 10 un 12 dalām ar 3, iegūstam attiecīgi 3,333... un 4. Ja to pašu izdarīs ar 6, rezultāts būs 1,666... un 2. Tātad divpadsmitzīmju sistēma var labāk kontrolēt daļskaitļus nekā decimālā sistēma.
Digitālās zīmes un rakstība
Divpadsmitdaļskaitļu sistēmā izmanto 12 atsevišķas zīmes ciparu vietās. Visbiežāk tās ir:
- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — kā decimālē;
- A vai cits simbols (piem., ↊) — par 10 decimālajā;
- B vai cits simbols (piem., ↋) — par 11 decimālajā.
Parasti bāzi norāda pie skaitļa, piemēram, 42 (bāzē 12) raksturo 4×12 + 2. Dažās publikācijās par divpadsmitzīmju sistēmu izmanto īpašus simbolus vietā A un B, bet visvienkāršāk — A = 10, B = 11.
Konversija starp decimālo un bāzi 12
Lai pārvērstu decimālu skaitli uz bāzi 12, dala skaitli ar 12 un ieraksta atlikumus (līdzīgi kā citu bāzu pārvēršanā). Piemērs — 50 decimālajā:
- 50 ÷ 12 = 4, atlikums 2 → zemākais cipars 2
- 4 ÷ 12 = 0, atlikums 4 → augstākais cipars 4
- Tātad 50₁₀ = 42₁₂ (lasās "četrdesmit divi bāzē divpadsmit").
Atpakaļ pārveidojumam no bāzes 12 uz decimālo izmanto pozicionālu summu: piemēram, 42₁₂ = 4×12 + 2 = 50₁₀.
Daļskaitļu attēlojums bāzē 12
Viena no galvenajām priekšrocībām ir labāka sadalāmība — daudz biežāk racionāli daļskaitļi izteiksies ar galīgu skaitli. Piemēri:
- 1/2 = 0.6₁₂ (jo 6/12 = 1/2)
- 1/3 = 0.4₁₂ (jo 4/12 = 1/3)
- 1/4 = 0.3₁₂ (jo 3/12 = 1/4)
- 1/6 = 0.2₁₂ (jo 2/12 = 1/6)
- 1/12 = 0.1₁₂ (viena divpadsmitā daļa)
Savukārt daļas ar dalītājiem 5 vai 7 parasti būs periodiskas (piem., 1/5 bāzē 12 dod periodisku virknēšanos). Tādējādi bāze 12 dod finītākas reprezentācijas daudziem ikdienā svarīgiem daļskaitļiem nekā decimālā bāze 10.
Pielietojumi, vēsture un kultūra
Divpadsmitums ir plaši sastopams ikdienā un kultūrā: ducis, gross (12² = 144), 12 mēneši gadā, 12 stundas uz pulksteņa sejas, 12 pamattoni rietumu mūzikas temperējumā u.c. Vēsturiski dažas sabiedrības izmantoja divpadsmitkārtīgas sistemātikas preču skaitīšanā un tirgos.
Ir arī mūsdienu entuziasti un organizācijas (piem., Dozenal Society), kas popularizē divpadsmitzīmju sistēmu kā alternatīvu decimālajai, uzsverot tās matemātiskās ērtības praktiskos aprēķinos.
Priekšrocības un trūkumi
- Priekšrocības: labāka dalāmība (1/2, 1/3, 1/4, 1/6 beidzamie); daļskaitļi bieži tiek izteikti finīti; vienkāršāks noteiktu sadalījumu darbības.
- Trūkumi: nepieciešama jauna ciparu simbolu prakse (A, B vai īpaši simboli); pieraduma barjera plašai sabiedrībai; lielākas pārejas izmaksas iekārtām, mācībām un standartiem.
Kopsavilkumā: divpadsmitzīmju (duodecimālā) sistēma ir pozicionāla skaitļu sistēma ar bāzi 12, kas piedāvā praktiskas priekšrocības daļskaitļu attēlošanā un sadalāmībā. Tomēr tās ieviešana plašā mērogā prasa gan tehniskas, gan sociālas adaptācijas.
Kā attēlot 10 un 11 divciparu sistēmā
Divciparu sistēmā nav ciparu simbolu, kas apzīmē 10 un 11, tāpēc tiek izmantoti burti no angļu alfabēta, īpaši X (no romiešu cipara, kas apzīmē desmit) un E (no vienpadsmit sākumburta). Daži cilvēki izmanto arī A un B (kā sešciparu sistēmā).
Edna Kramere savā 1951. gada grāmatā The Main Stream of Mathematics lietoja * un # decimālskaitļiem 10 un 11. Šie simboli tika izvēlēti tāpēc, ka tie ir pieejami rakstāmmašīnās un pogu telefonos.
Šajā rakstā "X" un "E" apzīmē 10 un 11 ciparus aiz komata.
Divciparu vērtības
| Decimālskaitļi | Duodecimal |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | X |
| 11 | E |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 50 | 42 |
| 60 | 50 |
| 100 | 84 |
| 144 | 100 |
| 500 | 358 |
| 720 | 500 |
| 1000 | 6E4 |
| 1728 | 1000 |
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir duodecimālā sistēma?
A: Divpadsmitdaļskaitļu sistēma ir skaitļu sistēma ar divpadsmit ciparu bāzi.
J: Kā duodecimālajā sistēmā izsaka lielos skaitļus?
A: Lieli skaitļi duodecimālajā sistēmā tiek izteikti ar 12 skaitļu grupām.
J: Kāds ir decimālā skaitļa 50 ekvivalents duodecimālajā sistēmā?
A: Divciparu skaitļa 50 ekvivalents ir 42.
J: Kāpēc divciparu sistēmā 12 tiek uzskatīts par svarīgu skaitli?
A: 12 ir svarīgs skaitlis divciparu sistēmā, jo tas ir mazākais skaitlis, kam ir četri faktori: 2, 3, 4 un 6.
J: Kādi ir rezultāti, dalot 10 un 12 ar 3 divciparu sistēmā?
A: Divpadsmit dalot 10 ar 3, rezultāts ir 3,333... un 12 dalot ar 3, rezultāts ir 4.
J: Vai divciparu sistēmā var labāk kontrolēt daļskaitļus nekā decimālajā sistēmā?
Atbilde: Nē, divciparu sistēma nevar kontrolēt frakcijas labāk nekā decimālā sistēma.
Jautājums: Kādi ir rezultāti, dalot 6 un 5 ar 3 divciparu sistēmā?
A: Divciparu sistēmā 6 dalot ar 3, rezultāts ir 1,666... un 5 dalot ar 3, rezultāts ir 2. Divciparu sistēmā 5 dalot ar 2, rezultāts ir 2,4.
Meklēt