Skaitļu bāze (radikss): definīcija, piemēri un pārvēršana

Uzzini skaitļu bāzes (radikss) definīciju, skaidrus piemērus un vienkāršas pārvēršanas metodes — no decimālās līdz binārajai, heksadecimālai un citām sistēmām.

Matemātikā bāze jeb radikss ir dažādu ciparu vai ciparu un burtu kombināciju skaits, ko izmanto skaitīšanas sistēmā, lai apzīmētu skaitļus. Piemēram, mūsdienās visbiežāk izmantotā bāze ir decimālā sistēma. Tā kā "dec" nozīmē 10, tajā izmanto 10 ciparus no 0 līdz 9. Lielākā daļa cilvēku pieņem, ka izmantojam bāzi 10, jo mums ir 10 pirksti.

Parasti bāze ir vesels skaitlis, kas ir lielāks par 1, taču matemātikā eksistē arī citas iespējas (piem., negatīvas, nestrādātas vai irracionālas bāzes). Pozicionālajās sistēmās skaitļa vērtība atkarīga no cipara pozīcijas un bāzes pakāpēm.

Skaitļa bāzi parasti ierāda kā apakšrakstu blakus skaitlim. Piemēram, 23 8 {\displaystyle 23_{8}} nozīmē skaitli "23" bāzē 8 (oktalē), kas decimālajā (bāze 10) sistēmā ir 19, jo 2·8 + 3 = 19.

Pozicionālā sistēma — kā tas darbojas

Pozicionālā bāzes sistēma nozīmē, ka katrs cipars attēlo noteiktu bāzes pakāpi, reizinātu ar cipara vērtību. Vispārīgs skaitļa ABC... kārtībā bāzē b izteiksies kā:

A·b^n + B·b^(n−1) + ... + C·b^0 + D·b^(−1) + ...

Šeit cipariem jābūt mazākiem par b (piem., b = 10 → cipari 0–9; b = 16 → cipari 0–9 un A–F).

Bieži sastopamās bāzes

• Binārā (bāze 2) — cipari 0 un 1. Plaši izmanto datorzinātnē.
• Oktālā (bāze 8) — cipari 0–7. Agrāk plašāk lietota datortehnikā.
• Decimālā (bāze 10) — cilvēku ikdienā visizplatītākā.
• Hexadecimālā (bāze 16) — cipari 0–9 un burti A–F (A=10...F=15). Ļoti ērta datortehnikā, lai attēlotu bināros datus kompaktā veidā.
• Seksagesimālā (bāze 60) — vēsturiska bāze, kas izmantota laika un leņķu mērījumos (piem., stundas/minūtes/sekundes, grādi/ministras/sekundes).

Piemēri

• 23₈ = 2·8 + 3 = 16 + 3 = 19₁₀.
• 1101₂ = 1·2³ + 1·2² + 0·2 + 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀.
• 1A3₁₆ = 1·16² + 10·16 + 3 = 256 + 160 + 3 = 419₁₀.
• 0.101₂ = 1·2^(−1) + 0·2^(−2) + 1·2^(−3) = 1/2 + 0 + 1/8 = 0.625₁₀.

Kā pārvērst skaitli no vienas bāzes uz otru

Visbiežāk lietotās metodes:

1) Veselās daļas pārvēršana (no bāzes x uz decimālo)

Iznīcina pozīcijas summu: reiziniet katru ciparu ar bāzes pakāpi un saskaitiet. Piemērs: 23₈ → 2·8¹ + 3·8⁰ = 16 + 3 = 19.

2) No decimālās uz citu bāzi (veselā daļa)

Izmantojiet dalīšanu ar bāzi: daliet skaitli ar m; pierakstiet atlikumu; atkārtojiet ar kvocientu, līdz kvocients = 0. Atlikumi lasāmi no pēdējā uz pirmo. Piemērs: 19₁₀ → dalot ar 8:

• 19 ÷ 8 = 2, atlikums 3
• 2 ÷ 8 = 0, atlikums 2

Tātad 19₁₀ = 23₈.

3) Decimālās daļas pārvēršana

Reiziniet decimāldaļu ar mērķbāzi b. Veselā daļa rezultātā ir nākamais cipars; tad turpiniet ar jaunās rezultāta decimāldaļas reizināšanu. Atkārtojiet līdz pietiekamai precizitātei vai līdz daļa kļūst 0.

Piemērs: pārvērst 0.625₁₀ uz bināro:

• 0.625·2 = 1.25 → cipars 1, turpmākā daļa 0.25
• 0.25·2 = 0.5 → cipars 0, turpmākā daļa 0.5
• 0.5·2 = 1.0 → cipars 1, turpmākā daļa 0

Tātad 0.625₁₀ = 0.101₂.

4) Pārvēršana starp divām ne-decimālām bāzēm

Parasti ērtākais veids ir pārvērst pirmo skaitli uz decimālo, tad no decimālās uz mērķbāzi, izmantojot iepriekš aprakstītās metodes. Dažreiz var pārvērst tieši, ja bāzes ir saistītas (piem., 2 → 8 vai 16, jo 8 = 2³, 16 = 2⁴).

Notācija un burti

Ja bāze pārsniedz 10, ciparus pēc 9 parasti apzīmē ar burtiem: A = 10, B = 11 utt. Piemēram, F₁₆ = 15₁₀. Lai skaidri norādītu bāzi, izmanto apakšrakstu (piem., 1F₁₆) vai pēkšņi zīmes kā 1F(16) atkarībā no konteksta.

Netipiskas bāzes (īss ieskats)

• Negatīvās bāzes (piem., −2 — negabāze): ļauj attēlot gan pozitīvus, gan negatīvus veselus bez zīmes simbola.
• Irracionālas bāzes (piemēram, φ — zelta griezums): teorētiski iespējamas un pētāmas frakciju un kombinatorikas kontekstos.
• Boolean un citas neraksturīgas sistēmas — speciāli formāli vai vēsturiskie piemēri.

Padomi un biežākās kļūdas

• Pārliecinieties, ka visi cipari parādās dotajā bāzē (piem., nav cipara 9 bāzē 8).
• Lai izvairītos no kļūdām ar frakcijām, nosakiet vēlamo precizitātes līmeni (cik ciparu pēc komata).
• Atcerieties, ka praktiskai datortehnikai bieži izmanto heksadecimālo vai bināro reprezentāciju, bet cilvēku lietošanai ērtākā ir decimālā.

Šādi skaitļu bāžu pamati palīdz saprast, kā skaitļi tiek attēloti un pārvērsti dažādās sistēmās — gan ikdienā, gan datorzinātnēs un inženierzinātnēs.

Jautājumi un atbildes

J: Kas matemātikā ir bāze vai radikss?

J: Kāds ir mūsdienās visbiežāk izmantotās bāzes piemērs?

J: Kāpēc visbiežāk izmanto bāzi 10?

Vai bāze vienmēr ir vesels skaitlis, kas ir lielāks par 1?

J: Vai matemātiski ir iespējami necilo skaitļu pamati?

J: Kā apzīmē skaitļa bāzi?

J: Ko nozīmē piemērs "23 8"?

Meklēt pēc burta