Elektriskā plūsma: definīcija, formula, Gausa likums un SI vienības
Uzzini elektriskās plūsmas definīciju, formulu, Gausa likumu un SI vienības — skaidri paskaidrots ar formulu atvasinājumiem un praktiskiem piemēriem studentiem un inženieriem.
Definīcija un izpratne
Iedomājieties elektrisko lauku E, kas šķērso virsmu. No šīs virsmas izvēlamies bezgalīgi mazu laukuma elementu (dA), pār kuru lauks E tiek uzskatīts par nemainīgu. Pieņemsim, ka leņķis starp E un laukuma elementa virzienu (normāli) ir i. Elektrisko plūsmu caur šo elementu definē kā E dA cos(i). Tā kā E un dA ir vektori, plūsma ir šo vektoru punktveida reizinājums (dot product).
Izmantojot pilnu vektoru apzīmējumu, elektriskā plūsma caur nelielu laukumu d A {\displaystyle d\mathbf {A} }
ir dot produkts:
d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } 
Šeit dA vektora modulis ir laukuma elements, bet tā virziens ir noteikts ar virsmas normāli — parasti ārā vērsta normāle, ja runa ir par slēgtu (Gausa) virsmu. Signu un virzienu izvēle ir svarīga, jo pozitīva plūsma nozīmē, ka lauka līnijas iziet no iekšpuses uz āru, bet negatīva — ieiet virsmā.
Virsmu integrālis — elektriskā plūsma caur virsmu
Elektriskā plūsma caur veselumu (atklātu vai slēgtu) virsmu S tiek aprēķināta kā virsmas integrālis:
Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } 
Integrāls summē (integrē) dot produktu E ⋅ dA pa visu virsmu S. Ja lauka virziens vai stiprums mainās pa virsmu, tas tiek ņemts vērā integrāļa aprēķinā.
Gausa likums (integrālā forma)
Ja virsma S ir slēgta (Gausa virsma), tad kopējā elektriskā plūsma caur šo virsmu saistīta ar iekšpusē esošo kopējo lādiņu QS ar sekojošu izteiksmi:
Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={{\frac {Q_{S}}}{\epsilon _{0}}}} 
Šajā izteiksmē QS ir kopējais lādiņš, kas atrodas virsmas iekšpusē (t.sk. brīvais un saistītais lādiņš), un ε0 ir elektriskā konstante (vakuma permitivitāte). Šo sakarību sauc par Gausa likumu elektriskajam laukam integrālajā formā — tas ir viens no četriem Maksvela vienādojumiem.
Kā saprast ārpus virsmas esošo lādiņu ietekmi
Kopējā plūsma caur slēgtu virsmu atkarīga tikai no iekšpusē esošā lādiņa QS. Lādiņi, kas atrodas ārpus slēgtās virsmas, nepalielina vai nesamazina neto plūsmu — to lauka līnijas parasti iekļūst virsmā un pēc tam iziet no tās, radot nullei summēto papildu plūsmu. Tomēr elektriskā lauka E jebkurā konkrētā virsmas punktā var tikt ietekmēta arī no ārpus virsmas esošiem lādiņiem — tas nozīmē, ka, lai atrastu E kā funkciju telpā bez augstas simetrijas, aprēķini var būt sarežģīti.
Gausa likumu var izmantot praktiski tikai tad, ja laukam ir pietiekami augsta simetrija (piemēram, sfēriskā, cilindriskā vai plaknes simetrija). Tad ar izvēlētas Gausa virsmas palīgā var viegli noteikt E. Bez simetrijas problēmas risināšana prasa uzlabotas analītiskas metodes vai datorrēķinus.
Atvasinājums un diferencālā forma
No Gausa likuma integrālās formas, izmantojot Diverģences teoremu (Gauss–Ostrogradski teorēmu), iegūst arī diferenciālo formu:
- ∇·E = ρ/ε0, kur ρ ir tilpuma lādiņa blīvums. Šī diferenciālā forma parāda, ka elektriskā lauka diverģence jeb "izplūde" punktā ir proporcionāla tajā esošajam lādiņam.
Piemērs — punktveida lādiņš
Apsveriet punktveida lādiņu q, kas atrodas pie atbalsta centra. Izvēloties sfērisku Gausa virsmu ar rādiusu r, elektriskais lauks uz virsmas ir radiāls un vienāds visos puntos: E = (1/4πε0) q / r^2. Plūsma caur virsmu tad ir E reiz virsmas laukums 4πr^2, kas vienkāršojas līdz:
ΦE = q / ε0.
Šis piemērs labi ilustrē, kā simetrija padara Gausa likuma pielietošanu vienkāršu.
SI vienības
Elektriskā plūsma SI vienībās ir volti metru (V·m). Tāpat to bieži izsaka ekvivalentā vienībā Ņūtona reizināts ar metru kvadrātu uz kulonu (N·m2·C−1), jo V = N·m·C−1. SI bāzes vienībās elektriskās plūsmas dimensija ir:
kg·m3·s−3·A−1.
Piezīmes un lietojums
- Gausa likums ir fundamentāla elektrostatikā un nodrošina vienkāršu saikni starp lauka plūsmu un iekšējā lādiņa daudzumu.
- Praktiskajās problēmās bieži izvēlas Gausa virsmu atbilstoši ķermeņa simetrijai, lai samazinātu integrāļu sarežģītību.
- Kaut arī integrālā forma ir lietderīga daudzos gadījumos, dažkārt ērtāk izmantot diferenciālo formu ∇·E = ρ/ε0, īpaši teorētiskos atvasinājumos un lauka simetrijas trūkuma gadījumā.
Ja nepieciešams, varu pievienot zīmējumu aprakstu vai soli pa solim rādīt, kā aprēķināt plūsmu dažādām Gausa virsmām (sfēra, cilindrs, plakne).
Saistītās lapas
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir elektriskais strāvojums?
A: Elektriskais plūsma ir elektriskā lauka, E, un diferenciālā laukuma uz virsmas, dA, punktveida reizinājums.
J: Kā aprēķina elektrisko plūsmu?
A: Elektrisko plūsmu var aprēķināt, izmantojot vienādojumu EdAcos(i), kur E ir elektriskais lauks un dA ir bezgalīgi mazs virsmas laukums, kurā E paliek nemainīgs. Leņķis starp E un dA ir i.
J: Ko nosaka Gausa likums par elektrisko lauku?
A: Gausa likums elektriskajam laukam nosaka, ka slēgtai Gausa virsmai elektriskais strāvojums caur to ir vienāds ar tīro lādiņu, ko tā aptver, dalot ar elektrisko konstanti (ε0). Šī sakarība ir spēkā visās situācijās, bet to var izmantot tikai tad, ja elektriskajā laukā ir augstas simetrijas pakāpes.
J: Kādi ir daži simetrisku situāciju piemēri, kuros Gausa likumu var izmantot aprēķiniem?
A: Piemēri ir sfēriskā un cilindriskā simetrija.
J: Kādas ir elektriskās plūsmas SI vienības?
A: Elektriskā plūsma SI mērvienībās ir voltmetri (V m) vai ņūtonmetri kvadrātmetri uz vienu kulonu (N m2 C-1). Elektriskās plūsmas SI pamatvienības ir kg-m3-s-3-A-1.
J: Vai elektriskā plūsma ir atkarīga no lādiņiem ārpus slēgtas virsmas?
A: Nē, elektrisko plūsmu neietekmē lādiņi, kas atrodas ārpus slēgtas virsmas, tomēr tie var ietekmēt tīro elektrisko lauku tās iekšienē.
Meklēt