Virsmas integrālis — definīcija un pielietojums matemātikā un fizikā
Virsmas integrālis — skaidra definīcija un praktiski piemēri matemātikā un fizikā, ar pielietojumiem elektromagnētismā, grafikiem un soli pa solim skaidrojumu sapratnei.
Matemātikā virsmas integrālis ir noteikts integrāls, kas aprēķināts pār virsmu (dažkārt skatāma kā līkumu kopa telpā). Tāpat kā lineārais integrāls apstrādā vienu dimensiju vai vienu mainīgo, virsmas integrālu parasti uzskata par divkāršu integrālu pa divām neatkarīgām parametrizācijas koordinātām. Virsmas integrēšanai izmanto gan funkcijas, kas kā vērtības atdod skaitļus (t.s. skalārus laukus), gan vektoru laukus (funkcijas, kuras atgriež vektorus). Virsmas integrāļi ir plaši pielietojami arī fizikā, īpaši klasiskajā elektromagnētisma teorijā un plūsmu aprakstos.
Parametrizācija un pamatformula
Lai aprēķinātu virsmas integrāli praktiski, virsmu parasti parametrizē ar vektorfunkciju r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), kur (u,v) pieder kādam parametriskam apgabalam D R^2. Ja r ir gluda (atvasinājumi r_u un r_v pastāv un ir nepārtraukti), tad vietējais elementa laukums izteicas kā
- dS = |r_u × r_v| dudv, kur r_u = ∂r/∂u un r_v = ∂r/∂v, un × apzīmē vektorproduktu.
Tātad skalāra virsmas integrāļa definīcija ir
- ∬_S f dS = ∬_D f(r(u,v)) · |r_u × r_v| dudv.
Vektoru laukuma virsmas integrālis (plūsma)
Ja virsmai piesaista orientāciju (normāles virzienu), var definēt virsmas elementa vektoru dS_vec = n dS, kur n ir vienības normālvektors. Biežāk lietotā formula, izmantojot parametrizāciju, ir
- ∬_S F · dS_vec = ∬_D F(r(u,v)) · (r_u × r_v) dudv.
Šajā formulā integrands F(r(u,v)) · (r_u × r_v) satur gan laukuma izmēru (caur |r_u × r_v|), gan normāles virzienu (caur r_u × r_v). Orientācijas izvēle (kājiska vai pretēja) ietekmē integrāļa zīmi — slēgtām virsmām parasti tiek pieņemta ārpuses normāle kā pozitīva orientācija.
Vajadzības un nosacījumi
- Virsmai jābūt gludai vai gabaliņos gludai (piecewise smooth), lai parametrizācija darbotos.
- Funkcijai (skalāram vai vektoram) jābūt atbilstoši gludai uz virsmas vai uz parametriskā apgabala D.
- Ja virsma ir slēgta (piem., sfēra), tad virsmas integrāļa izteiksme bieži sasaista ar tilpuma integrāli caur Diverģences teoremu (Gauss). Ja virsmai ir malas, tad Stokes teorema sasaista virsmas integrāli ar līnijas integrāli ap malām.
Galvenās teorēmas saistībā ar virsmas integrāļiem
- Diverģences (Gauss) teorēma: ∭_V div F dV = ∬_{∂V} F · n dS, kas sasaista 3D tilpuma integrāli ar virsmas plūsmu caur slēgto robežvirsmu ∂V.
- Stokes teorema: ∬_S (curl F) · n dS = ∮_{∂S} F · dr, kas sasaista virsmas integrāli ar tangenciālu līnijas integrāli pa virsmas malu.
Pielietojumi fizikā
Virsmas integrāļi raksturo daudz fizisku lielumu:
- Elektriskā plūsma: virsmas integrālis ∬_S E · n dS sniedz kopējo elektrisko plūsmu caur virsmu; pēc Gauss likuma slēgtai virsmai plūsma ir saistīta ar tajā ietvertā lādiņa lielumu (Q/ε0).
- Magnētiskā plūsma: ∬_S B · n dS izmanto magnētiskā lauka plūsmas aprakstam; magnētiskajam laukam slēgtai virsmai plūsma parasti ir nulle, jo divergence B = 0 klasiskajā elektrodinamikā.
- Plūsma šķidrumos: ja v ir ātruma vektors, tad ∬_S v · n dS mēra šķidruma tilpuma plūsmu caur virsmu (dažkārt saukts par caurplūdi).
Praktiski piemēri
- Sfēras laukuma aprēķins: parametrizējot sfēru ar r(θ,φ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ) (θ ∈ [0,2π], φ ∈ [0,π]), iegūst dS = R^2 sinφ dφ dθ un kopējais laukums ∬_S 1 dS = 4πR^2.
- Plūsma caur sfēru: ja F ir radiāls lauks, piemēram F = a r̂ / r^2, tad plūsma caur sfēru ar r = R ir ∬_S F · n dS = 4πa (neatkarīgi no R), kas ir bieži sastopams piemērs elektrostatikā.
Komentāri un padomi
- Vienkāršākos uzdevumos vispirms meklē ērtu parametrizāciju (plakne, sfēra, cilindra sāns utt.).
- Pievērs uzmanību orientācijai — ja nepieciešams, apgriez normāli (mainīsies integrāļa zīme).
- Dažreiz ir ērtāk izmantot simetriju (piem., sfēriska simetrija) vai pārveidot virsmas integrāli uz tilpuma integrāli, izmantojot piemērotu teoremu.
Kopsavilkumā, virsmas integrālis ir instruments, kas ļauj summēt skalārus vai vektoriskus laukus pa divdimensiju virsmu telpā; tā formulējums caur parametrizāciju un r_u × r_v ir praktiski visplašāk izmantotais paņēmiens, bet dažādas teoremas (Gauss, Stokes) ļauj saistīt un vienkāršot aprēķinus, it īpaši fizikā.
Virsmas integrāla definīcija balstās uz virsmas sadalīšanu mazos virsmas elementos.
Viena virsmas elementa ilustrācija. Šie elementi ir bezgalīgi mazi, izmantojot ierobežošanas procesu, lai tuvinātu virsmu.
Skalāru lauku virsmas integrāļi
Aplūkojiet virsmu S, uz kuras ir definēts skalārais lauks f. Ja mēs uzskatām, ka S ir no kāda materiāla, un katram x S punktā skaitlis f(x) ir materiāla blīvums punktā x, tad f virsmas integrālis virs S ir masa uz S biezuma vienību. (Tas ir taisnība tikai tad, ja virsma ir bezgalīgi plāns apvalks.) Viena no pieejām virsmas integrāla aprēķināšanai ir sadalīt virsmu daudzos ļoti mazos gabaliņos, pieņemt, ka katrā gabaliņā blīvums ir aptuveni konstants, atrast katra gabaliņa masu uz biezuma vienību, reizinot gabaliņa blīvumu ar tā laukumu, un tad iegūtos skaitļus saskaitīt, lai atrastu S kopējo masu uz biezuma vienību.
Lai atrastu skaidru formulu virsmas integrālam, matemātiķi parametrizē S, aplūkojot S līknes koordinātu sistēmu, piemēram, platuma un garuma koordinātas uz sfēras. Lai šāda parametrizācija ir x(s, t), kur (s, t) mainās kādā T apgabalā plaknē. Tad virsmas integrāls ir dots šādi
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x}} \pār \daļēji s}\\\times {\daļēji \mathbf {x} \over \daļējs t}\\pa labi|ds\,dt} 
kur labajā pusē starp svītrām esošā izteiksme ir x(s, t) parciālo atvasinājumu savstarpējā reizinājuma lielums.
Piemēram, lai atrastu virsmas laukumu kādai vispārīgai funkcionālajai figūrai, piemēram, z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)}
, mums ir
A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\\right\|dx\,dy} 
kur r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
. Tātad ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ). {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} } 
un ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
. Tātad,
A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\daļējais f \pār \daļējo x}\pa labi)\times \left(0,1,{\daļējais f \pār \daļējo y}\pa labi)\pa labi\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\daļējais f \over \daļējais x},-{\daļējais f \over \daļējais y},1\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}} 
kas ir formula, ko izmanto vispārējās funkcionālās formas virsmas laukumam. Vektoru otrajā rindā var atpazīt kā virsmas normāles vektoru.
Ievērojiet, ka krusteniskā reizinājuma klātbūtnes dēļ iepriekš minētās formulas darbojas tikai attiecībā uz virsmām, kas iegultas trīsdimensiju telpā.
Vektoru lauku virsmas integrāļi
Aplūkojiet vektoru lauku v uz S, tas ir, katram x S punktā v(x) ir vektors.
Virsmas integrāli var definēt komponentes veidā saskaņā ar skalārā lauka virsmas integrāļa definīciju; rezultāts ir vektors. Piemēram, tas attiecas uz elektrisko lauku kādā fiksētā punktā, ko rada elektriski uzlādēta virsma, vai gravitāciju kādā fiksētā punktā, ko rada materiāla loksne. Ar to var aprēķināt arī magnētisko plūsmu caur virsmu.
Alternatīvi matemātiķi var integrēt vektoru lauka normālo komponenti; rezultāts ir skalārs. Piemērs ir šķidrums, kas plūst caur S, un v(x) nosaka šķidruma ātrumu punktā x. Plūsmu definē kā šķidruma daudzumu, kas plūst caur S laika vienībā.
No šī attēla izriet, ka, ja vektoru lauks katrā punktā ir tangents uz S, tad plūsma ir vienāda ar nulli, jo šķidrums plūst paralēli S, bet ne uz iekšpusi, ne uz ārpusi. Tas nozīmē arī to, ka, ja v plūst ne tikai gar S, t. i., ja v ir gan tangenciālā, gan normālā komponente, tad plūsmu veido tikai normālā komponente. Pamatojoties uz šo apsvērumu, lai atrastu plūsmu, mums katrā punktā ir jāņem v punktu reizinājums ar virsmas vienības normāli uz S, tādējādi iegūstot skalāro lauku, un iegūtais lauks jāintegrē kā iepriekš. Tādējādi iegūstam formulu
∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x}) \over \daļējs s}\\\times {\daļējs \mathbf {x} \over \daļējs t}}\pa labi)ds\,dt. } 
Šīs izteiksmes labajā pusē esošais šķērsdarījums ir virsmas normāle, ko nosaka parametrizācija.
Šī formula definē integrāli kreisajā pusē (ņemiet vērā punktu un virsmas elementa vektora apzīmējumu).
Vektoru lauks uz virsmas.
Teorēmas, kas saistītas ar virsmas integrāļiem
Izmantojot diferenciālo ģeometriju un vektoru aprēķinu, var iegūt dažādus noderīgus rezultātus virsmas integrāļiem, piemēram, diverģences teorēmu un tās vispārinājumu - Stoksa teorēmu.
Padziļināti jautājumi
Parametrizācijas maiņa
Iepriekš minētajā diskusijā virsmas integrāli definēja, izmantojot virsmas parametrizāciju S. Konkrētai virsmai var būt vairākas parametrizācijas. Piemēram, pārvietojot Ziemeļpola un Dienvidpola atrašanās vietas uz sfēras, visiem sfēras punktiem mainās ģeogrāfiskais platums un garums. Tad rodas dabisks jautājums, vai virsmas integrāļa definīcija ir atkarīga no izvēlētās parametrizācijas. Skalāru lauku integrāļiem atbilde uz šo jautājumu ir vienkārša - virsmas integrāļa vērtība būs vienāda neatkarīgi no izmantotās parametrizācijas.
Vektoru lauku integrāļi ir sarežģītāki, jo ir iesaistīta virsmas normāle. Matemātiķi ir pierādījuši, ka, ja ir dotas divas vienas un tās pašas virsmas parametrizācijas, kuru virsmas normāles ir vērstas vienā virzienā, abas parametrizācijas dod vienu un to pašu vērtību virsmas integrālim. Tomēr, ja šo parametrizāciju normāles ir vērstas pretējos virzienos, tad virsmas integrāļa vērtība, kas iegūta, izmantojot vienu parametrizāciju, ir negatīva no tās, kas iegūta, izmantojot otru parametrizāciju. No tā izriet, ka, ja ir dota virsma, mums nav nepieciešams pieturēties pie kādas vienreizējas parametrizācijas, bet, integrējot vektoru laukus, mums iepriekš jāizlemj, uz kuru virzienu būs vērsta normāle, un tad jāizvēlas jebkura parametrizācija, kas atbilst šim virzienam.
Parametrizācijas darbojas uz virsmas daļām
Vēl viena problēma ir tā, ka dažkārt virsmām nav parametrizāciju, kas aptver visu virsmu; tas attiecas, piemēram, uz cilindra virsmu (ar galīgu augstumu). Acīmredzams risinājums ir sadalīt šo virsmu vairākās daļās, aprēķināt virsmas integrāli katrai daļai un pēc tam tās visas saskaitīt. Tā tas patiešām notiek, bet, integrējot vektoru laukus, atkal ir jābūt uzmanīgiem, kā izvēlēties normālpunkta vektoru katram virsmas gabaliņam, lai, kad gabaliņus atkal saliek kopā, rezultāti būtu konsekventi. Attiecībā uz cilindru tas nozīmē, ka, ja mēs nolemjam, ka sānu apgabalā normāle būs vērsta ārpus ķermeņa, tad arī augšējai un apakšējai apaļajai daļai normālei jābūt vērstai ārpus ķermeņa.
Nesaskaņotas virsmas normālvērtības
Visbeidzot, ir virsmas, kurām nav virsmas normāles katrā punktā, un rezultāti ir konsekventi (piemēram, Mobija josla). Ja šādu virsmu sadala gabalos, katram gabalam izvēlas parametrizāciju un atbilstošu virsmas normāli un gabalus atkal saliek kopā, normālvektorus, kas nāk no dažādiem gabaliem, nevar saskaņot. Tas nozīmē, ka kādā krustpunktā starp diviem gabaliem normālvektori būs vērsti pretējos virzienos. Šādu virsmu sauc par neorientējamu. Vektoru laukus nevar integrēt uz neorientējamām virsmām.
Saistītās lapas
- Diverģences teorēma
- Stoksa teorēma
- Lineārā integrāle
- Tilpuma integrāle
- Dekarta koordinātu sistēma
- Tilpuma un virsmas laukuma elementi sfēriskā koordinātu sistēmā
- Tilpuma un virsmas laukuma elementi cilindriskajā koordinātu sistēmā
- Holšteina-Herringa metode
Meklēt