Virsmas integrālis — definīcija un pielietojums matemātikā un fizikā

Aplūkojiet virsmu S, uz kuras ir definēts skalārais lauks f. Ja mēs uzskatām, ka S ir no kāda materiāla, un katram x S punktā skaitlis f(x) ir materiāla blīvums punktā x, tad f virsmas integrālis virs S ir masa uz S biezuma vienību. (Tas ir taisnība tikai tad, ja virsma ir bezgalīgi plāns apvalks.) Viena no pieejām virsmas integrāla aprēķināšanai ir sadalīt virsmu daudzos ļoti mazos gabaliņos, pieņemt, ka katrā gabaliņā blīvums ir aptuveni konstants, atrast katra gabaliņa masu uz biezuma vienību, reizinot gabaliņa blīvumu ar tā laukumu, un tad iegūtos skaitļus saskaitīt, lai atrastu S kopējo masu uz biezuma vienību.

Lai atrastu skaidru formulu virsmas integrālam, matemātiķi parametrizē S, aplūkojot S līknes koordinātu sistēmu, piemēram, platuma un garuma koordinātas uz sfēras. Lai šāda parametrizācija ir x(s, t), kur (s, t) mainās kādā T apgabalā plaknē. Tad virsmas integrāls ir dots šādi

∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x}} \pār \daļēji s}\\\times {\daļēji \mathbf {x} \over \daļējs t}\\pa labi|ds\,dt}

kur labajā pusē starp svītrām esošā izteiksme ir x(s, t) parciālo atvasinājumu savstarpējā reizinājuma lielums.

Piemēram, lai atrastu virsmas laukumu kādai vispārīgai funkcionālajai figūrai, piemēram, z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)} , mums ir

A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\\right\|dx\,dy}

kur r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))} . Tātad ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ). {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} } un ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))} . Tātad,

A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\daļējais f \pār \daļējo x}\pa labi)\times \left(0,1,{\daļējais f \pār \daļējo y}\pa labi)\pa labi\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\daļējais f \over \daļējais x},-{\daļējais f \over \daļējais y},1\right)\right\|dx\,dy\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}}

kas ir formula, ko izmanto vispārējās funkcionālās formas virsmas laukumam. Vektoru otrajā rindā var atpazīt kā virsmas normāles vektoru.

Ievērojiet, ka krusteniskā reizinājuma klātbūtnes dēļ iepriekš minētās formulas darbojas tikai attiecībā uz virsmām, kas iegultas trīsdimensiju telpā.

Aplūkojiet vektoru lauku v uz S, tas ir, katram x S punktā v(x) ir vektors.

Virsmas integrāli var definēt komponentes veidā saskaņā ar skalārā lauka virsmas integrāļa definīciju; rezultāts ir vektors. Piemēram, tas attiecas uz elektrisko lauku kādā fiksētā punktā, ko rada elektriski uzlādēta virsma, vai gravitāciju kādā fiksētā punktā, ko rada materiāla loksne. Ar to var aprēķināt arī magnētisko plūsmu caur virsmu.

Alternatīvi matemātiķi var integrēt vektoru lauka normālo komponenti; rezultāts ir skalārs. Piemērs ir šķidrums, kas plūst caur S, un v(x) nosaka šķidruma ātrumu punktā x. Plūsmu definē kā šķidruma daudzumu, kas plūst caur S laika vienībā.

No šī attēla izriet, ka, ja vektoru lauks katrā punktā ir tangents uz S, tad plūsma ir vienāda ar nulli, jo šķidrums plūst paralēli S, bet ne uz iekšpusi, ne uz ārpusi. Tas nozīmē arī to, ka, ja v plūst ne tikai gar S, t. i., ja v ir gan tangenciālā, gan normālā komponente, tad plūsmu veido tikai normālā komponente. Pamatojoties uz šo apsvērumu, lai atrastu plūsmu, mums katrā punktā ir jāņem v punktu reizinājums ar virsmas vienības normāli uz S, tādējādi iegūstot skalāro lauku, un iegūtais lauks jāintegrē kā iepriekš. Tādējādi iegūstam formulu

∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x}) \over \daļējs s}\\\times {\daļējs \mathbf {x} \over \daļējs t}}\pa labi)ds\,dt. }

Šīs izteiksmes labajā pusē esošais šķērsdarījums ir virsmas normāle, ko nosaka parametrizācija.

Šī formula definē integrāli kreisajā pusē (ņemiet vērā punktu un virsmas elementa vektora apzīmējumu).

Izmantojot diferenciālo ģeometriju un vektoru aprēķinu, var iegūt dažādus noderīgus rezultātus virsmas integrāļiem, piemēram, diverģences teorēmu un tās vispārinājumu - Stoksa teorēmu.

Parametrizācijas maiņa

Iepriekš minētajā diskusijā virsmas integrāli definēja, izmantojot virsmas parametrizāciju S. Konkrētai virsmai var būt vairākas parametrizācijas. Piemēram, pārvietojot Ziemeļpola un Dienvidpola atrašanās vietas uz sfēras, visiem sfēras punktiem mainās ģeogrāfiskais platums un garums. Tad rodas dabisks jautājums, vai virsmas integrāļa definīcija ir atkarīga no izvēlētās parametrizācijas. Skalāru lauku integrāļiem atbilde uz šo jautājumu ir vienkārša - virsmas integrāļa vērtība būs vienāda neatkarīgi no izmantotās parametrizācijas.

Vektoru lauku integrāļi ir sarežģītāki, jo ir iesaistīta virsmas normāle. Matemātiķi ir pierādījuši, ka, ja ir dotas divas vienas un tās pašas virsmas parametrizācijas, kuru virsmas normāles ir vērstas vienā virzienā, abas parametrizācijas dod vienu un to pašu vērtību virsmas integrālim. Tomēr, ja šo parametrizāciju normāles ir vērstas pretējos virzienos, tad virsmas integrāļa vērtība, kas iegūta, izmantojot vienu parametrizāciju, ir negatīva no tās, kas iegūta, izmantojot otru parametrizāciju. No tā izriet, ka, ja ir dota virsma, mums nav nepieciešams pieturēties pie kādas vienreizējas parametrizācijas, bet, integrējot vektoru laukus, mums iepriekš jāizlemj, uz kuru virzienu būs vērsta normāle, un tad jāizvēlas jebkura parametrizācija, kas atbilst šim virzienam.

Parametrizācijas darbojas uz virsmas daļām

Vēl viena problēma ir tā, ka dažkārt virsmām nav parametrizāciju, kas aptver visu virsmu; tas attiecas, piemēram, uz cilindra virsmu (ar galīgu augstumu). Acīmredzams risinājums ir sadalīt šo virsmu vairākās daļās, aprēķināt virsmas integrāli katrai daļai un pēc tam tās visas saskaitīt. Tā tas patiešām notiek, bet, integrējot vektoru laukus, atkal ir jābūt uzmanīgiem, kā izvēlēties normālpunkta vektoru katram virsmas gabaliņam, lai, kad gabaliņus atkal saliek kopā, rezultāti būtu konsekventi. Attiecībā uz cilindru tas nozīmē, ka, ja mēs nolemjam, ka sānu apgabalā normāle būs vērsta ārpus ķermeņa, tad arī augšējai un apakšējai apaļajai daļai normālei jābūt vērstai ārpus ķermeņa.

Nesaskaņotas virsmas normālvērtības

Visbeidzot, ir virsmas, kurām nav virsmas normāles katrā punktā, un rezultāti ir konsekventi (piemēram, Mobija josla). Ja šādu virsmu sadala gabalos, katram gabalam izvēlas parametrizāciju un atbilstošu virsmas normāli un gabalus atkal saliek kopā, normālvektorus, kas nāk no dažādiem gabaliem, nevar saskaņot. Tas nozīmē, ka kādā krustpunktā starp diviem gabaliem normālvektori būs vērsti pretējos virzienos. Šādu virsmu sauc par neorientējamu. Vektoru laukus nevar integrēt uz neorientējamām virsmām.

• Diverģences teorēma
• Stoksa teorēma
• Lineārā integrāle
• Tilpuma integrāle
• Dekarta koordinātu sistēma
• Tilpuma un virsmas laukuma elementi sfēriskā koordinātu sistēmā
• Tilpuma un virsmas laukuma elementi cilindriskajā koordinātu sistēmā
• Holšteina-Herringa metode