Cilindrs

Bieži lietots

Parasti ar cilindru apzīmē taisna apļa cilindra galīgo šķērsgriezumu, t. i., cilindru, kura ģenerējošās līnijas ir perpendikulāras pamatnēm, un kura gali ir noslēgti, veidojot divas apļveida virsmas, kā attēlā (pa labi). Ja cilindram ir r r rādiuss un garums (augstums) h, tad tā tilpums ir dots ar:

V = πrh²

un tā virsmas laukums ir:

• augšdaļas laukums (πr²) +
• dibena laukums (πr²) +
• sānu laukums (2πrh).

Tāpēc bez augšējās vai apakšējās daļas (sānu laukums) virsmas laukums ir:

A = 2πrh.

Ar augšējo un apakšējo daļu virsmas laukums ir:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Dotajam tilpumam cilindram ar vismazāko virsmas laukumu ir h = 2r. Dotajam virsmas laukumam cilindram ar lielāko tilpumu ir h = 2r, t. i., cilindrs ietilpst kubā (augstums = diametrs).

Tilpums

Ir taisns apaļš cilindrs ar augstumu h vienību un pamatni ar r vienību rādiusu, kura koordinātu asis izvēlētas tā, ka sākumpunkts ir vienas pamatnes centrā un augstums tiek mērīts pa pozitīvo x asi. Plaknes šķērsgriezumam x vienību attālumā no sākuma ir laukums A(x) kvadrātvienību, kur

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

vai

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Tilpuma elements ir taisnais cilindrs ar pamatnes laukumu Aw_i kvadrātvienības un biezumu Δx_i vienības. Tātad, ja V kubikvienības ir labā apļveida cilindra tilpums, tad, izmantojot Rīmana summas,

C i l i n d e r v o l u m e = lim | | Δ → |0 | ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Tilpums\;no\;cilindrs} =\lim _{{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫0 h A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0h π r d 2y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Izmantojot cilindriskās koordinātas, tilpumu var aprēķināt, integrējot caur

= ∫ 0h0 ∫ 2π ∫ 0r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Cilindriskais šķērsgriezums

Cilindriskie griezumi ir cilindru krustpunkti ar plaknēm. Pareizajam apaļajam cilindram ir četras iespējas. plakne, kas ir cilindram pieskaras, krustojas ar cilindru vienā taisnā līnijā. Kad plakne ir paralēla pati sev, tā vai nu nešķērso cilindru, vai arī šķērso to divās paralēlās līnijās. Visas pārējās plaknes krustojas ar cilindru elipsei vai, ja tās ir perpendikulāras cilindra asij, - aplim.

Cita veida baloni

Elipsveida cilindrs jeb cilindroīds ir kvadriska virsma ar šādu vienādojumu Dekarta koordinātēs:

( x a ) +2 ( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1.}

Šis vienādojums attiecas uz eliptisku cilindru, kas ir parastā apaļā cilindra (a = b) vispārinājums. Vēl vispārīgāks ir vispārinātais cilindrs: šķērsgriezums var būt jebkura līkne.

Cilindrs ir deģenerēts kvadriks, jo vismaz viena no koordinātēm (šajā gadījumā z) vienādojumā neparādās.

Slīpā cilindra augšējā un apakšējā virsma ir novietotas viena no otras.

Ir arī citi neparastāki balonu veidi. Tie ir iedomāti eliptiskie cilindri:

( x a ) +2 ( y b ) =2 - 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=-1}}

hiperboliskais cilindrs:

( x a )2 - ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}}

un paraboliskais cilindrs:

x +2 a 2y =0 . {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Elipsveida cilindrs


Projektīvajā ģeometrijā cilindrs ir vienkārši konuss, kura virsotne ir bezgalībā, kas vizuāli atbilst cilindram perspektīvā, kas izskatās kā konuss pret debesīm.

Projektīvā ģeometrija

Projektīvajā ģeometrijā cilindrs ir vienkārši konuss, kura virsotne atrodas bezgalībā.

Tas ir noderīgi, definējot deģenerētos konususus, kas prasa ņemt vērā cilindriskos konususus.