Lielums (matemātika): definīcija, veidi un piemēri

Uzzini, kas ir matemātiskais lielums: definīcija, galvenie veidi (garums, platība, tilpums, leņķi) un skaidri piemēri saprotamai izpratnei.

Matemātiskā objekta lielums ir īpašība, kas ļauj salīdzināt to ar citiem tāda paša veida objektiem — var teikt, vai tas ir lielāks, mazāks vai vienāds ar citu. Par šo ideju plašāk var lasīt arī saistītajā rakstā: lielums. Matemātiskā valodā to bieži formulē kā sakārtojumu (ordnu) objektu klasē, kurai objekts pieder; skat. arī Matemātiskā terminoloģija.

Definīcija un interpretācijas

Vispārīgā izpratnē lielums nozīmē kādu salīdzināmu kvantitāti, piemēram, garumu, laukumu vai skaitlisku vērtību. Precīzā matemātiskā definīcija atkarīga no konteksta:

• dažkārt tas ir elementam piešķirts reāla skaitļa izmērs (piem., garums reālās skaitļu ass punktam);
• citreiz tas ir sakārtojums objektu kopā pēc kāda kritērija (piem., leņķi sakārtoti pēc leņķa lieluma);
• mērījumu teorijā lielums tiek definēts kā mērāma funkcija (piemēram, mērs laukumiem vai tilpumiem).

Lielumu veidi un vēsturiskie piemēri

Senie grieķi un vēlākie matemātiķi izšķīra vairākus plaši saprotamus lielumu veidus, piemēram:

• (pozitīvas) frakcijas — skaitliskas attiecības, ko var salīdzināt pēc vērtības;
• līnijas posmi (sakārtoti pēc garuma) — segmenti ģeometrijā, kurus salīdzina pēc to garumiem;
• plaknes figūras (sakārtotas pēc platības);
• cietvielas (sakārtotas pēc tilpuma);
• Leņķi (sakārtoti pēc leņķa lieluma).

Senajiem grieķiem bija skaidra ideja, ka dažādi lielumu veidi nav ekvivalentas sistēmas — piemēram, garuma un laukuma sakārtojumi nevar būt tieši pārnēsājami viens uz otru (tie nav izomorfiski). Viņi arī izvairījās no negatīvajiem lielumiem, uzskatot, ka lielums ir pozitīva vai vismaz nulle.

Matemātiskā formalizācija

Lielumu var formalizēt dažādos veidos atkarībā no jomas:

• Daļēji sakārtotas kopas: ja ne visi elementi ir savstarpēji salīdzināmi, izmanto daļēju kārtību (piem., vektoru daļskaitļu koordinātu salīdzināšana);
• Totāli sakārtotas kopas: visi elementi ir savstarpēji salīdzināmi (piem., reālie skaitļi ar parasto < attiecību);
• Mēri un integrāli: mērāmi lielumi (garums, laukums, tilpums) tiek definēti kā mērīšanas funkcijas — piemēram, Lebesgue mērs reālajām kopām;
• Metriskās un normētās telpas: izmanto attālumu vai normu, lai izmērītu elementu "lielumu" vai atšķirību (piem., vektora garums normā).

Mērvienības un mērīšana

Praktiski lielumi tiek mēroti ar vienībām: garums (metri, collas), laukums (kvadrātmetri), tilpums (litri, kubikmetri), laiks (sekundes) utt. Pārvēršot starp vienībām, saglabājas relatīvais salīdzinājums (piem., 3 m < 5 m). Matemātikā bieži vien izmanto dimensiju analīzi, lai nodrošinātu jēgpilnus salīdzinājumus (nesalīdzināmi ir objekti ar dažādām dimensijām, piemēram, garums pret laiku).

Galvenās īpašības un ierobežojumi

• Tranzitivitāte: ja a > b un b > c, tad a > c (salīdzināšanas konsekvence);
• Antisimetrija (ja definēta): ja a ≤ b un b ≤ a, tad a = b;
• Komparabilitāte: ne visās strukturās visi elementi ir salīdzināmi — dažas lielumu sistēmas ir tikai daļēji sakārtotas;
• Nulles un negatīvo vērtību loma: daudzos kontekstos nulle tiek uzskatīta par mazāko vai neutrālo lielumu; mūsdienu matemātikā negatīvie skaitļi tiek pilnībā pieņemti un interpretēti, piemēram, kā virziena vai aizņemšanas rādītāji.

Praktiski piemēri

• Skaitļi: 1/2 < 3/4 — frakcijas salīdzināmas pēc to decimālās vērtības.
• Līnijas posmi: ja segmenta garums ir 2 cm un cita 5 cm, tad 2 cm < 5 cm.
• Plaknes figūras: taisnstūris ar laukumu 6 m² ir mazāks par taisnstūri ar 9 m² pēc platības.
• Leņķi: 30° < 60° — leņķus sakārto pēc to lieluma (Leņķi).
• Ne salīdzināmi objekti: garuma un laukuma tieša salīdzināšana nav jēgpilna bez papildu definīcijas vai konteksta.

Secinājums

Lielums matemātikā ir pamatjēdziens, kas aptver gan vienkāršus salīdzinājumus (mazāks/lielāks), gan sarežģītākas strukturālās definīcijas (mēri, normas, metrikas). Vēsturiski izpratne ir attīstījusies — no fokusēšanās uz pozitīviem lielumiem Senajā Grieķijā līdz mūsdienu plašajam rīku komplektam, kas ietver negatīvus skaitļus, reālu skaitļu līniju, mēru teoriju un abstraktas sakārtošanas struktūras.

Jautājumi un atbildes

J: Kāda ir lieluma definīcija?

J: Kādus lielumu veidus atšķīra senie grieķi?

J: Vai viņi uzskatīja negatīvus lielumus par nozīmīgiem?

Jautājums: Kā mēs šodien joprojām galvenokārt izmantojam lielumu?

Vai senie grieķi pierādīja, ka divu veidu lielumi nevar būt vienādi?

J: Ko viņi neņēma vērā, runājot par dažādiem lielumu veidiem?

J: Kāds bija viens no veidiem, kā senie grieķi sakārtoja dažādus lielumu veidus?

Meklēt pēc burta