Kas ir fraktāls? Definīcija, piemēri un pielietojumi

Atklāj, kas ir fraktāls — skaidra definīcija, vizuāli piemēri un reāli pielietojumi mākslā, zinātnē un tehnoloģijās. Uzzini vairāk!

Fraktāls ir jebkurš raksts, kas, skatoties uz to kā uz attēlu, rada attēlu, kuru palielinot, joprojām būs tas pats attēls. To var sagriezt daļās, kas izskatās kā mazāka sākotnējā attēla versija. Vārdu fraktāls 1975. gadā Benuā Mandelbrots (Benoît Mandelbrot) izveidoja no latīņu valodas vārda fractus, kas nozīmē "salauzts" vai "lauzts". Vienkāršs piemērs ir koks, kas sazarojas mazākos zaros, un šie zari - vēl mazākos zaros utt. Fraktāli ir ne tikai skaisti, bet tiem ir arī daudz praktisku pielietojumu.

Kas raksturo fraktālus?

Galvenās fraktālu īpašības ir:

• Pašlīdzība (self-similarity) — daļas atgādina veselumu, bieži vien neatkarīgi no mēroga.
• Smalkas detaļas jeb nesamazināma sarežģītība — tuvinot, var atklāt arvien jaunas struktūras.
• Fraktālā (ne-ģeometriskā) dimensija — fraktāla "izmērs" var būt neskaitlisks un lielāks par tā topoloģisko dimensiju; to sauc par fraktālo dimensiju.
• Iteratīvas ģenerēšanas process — fraktālus bieži iegūst, atkārtoti piemērojot vienu un to pašu noteikumu vai transformāciju.

Matemātiski un dabas piemēri

• Matemātiskie fraktāli: Mandelbrota kopa un Julia kopas, Sierpiņska trijstūris, Kohs sniegpārslas līnija — tie visi tiek definēti ar vienkāršām atkārtotām formulām, bet rada sarežģītas formas.
• Dabas fraktāli: koki, lapu nervu tīkli, upju deltas, piekrastes līnijas, mākoņi, sniega pārslas, asinsvadi un plaušu alveolu struktūra — daudzi bioloģiski un ģeoloģiski veidojumi rāda fraktālas īpašības.

Kā mēra fraktālus — fraktālā dimensija

Fraktālā dimensija nav vienkārši 1D, 2D vai 3D. To aprēķina ar dažādām metodēm, piemēram, metodi "kastīšu skaits" (box-counting). Vienkāršs paskaidrojums: ja, samazinot mērogus, nepieciešamais kastīšu skaits mainās kā N(s) ~ s^{-D}, tad D ir fraktālā dimensija. Praktiski tas nozīmē, ka fraktālam var būt dimensija, piemēram, 1.3 vai 1.8 — vērtības starp 1 un 2, kas norāda uz sarežģītību starp līniju un plakni.

Kā fraktālus ģenerē

• Iterējošo funkciju sistēmas (IFS) — vienkāršas lineāras transformācijas, kas atkārtojas, rada tādus fraktālus kā Barnsleja fougera vai Sierpiņska trijstūris.
• Escape-time algoritmi — piemēram, Mandelbrota un Julia kopām, kur punkti kompleksajā plaknē tiek iterēti, un krāsa atkarīga no iznākuma.
• L-sistēmas — formalizētas gramatikas, kas modelē augšanu (bieži izmanto bioloģisku ainavu modelēšanai, piemēram, koku zaru ģenerēšanai).

Pielietojumi

Fraktāli un fraktālās idejas tiek izmantotas daudzās jomās:

• Datortehnika un grafika — reālistiskas ainavas, tekstūras un specialie efekti, kur nepieciešama daudzslāņaina detaļaina struktūra.
• Datu saspiešana — fraktālās metodes var efektīvi kodēt atkārtotus rakstus attēlos.
• Antenu dizains — fraktālas antenas nodrošina plašu frekvenču diapazonu un kompaktu formu.
• Medicína — asinsvadu un plaušu struktūru analīze, audzēju augšanas modeļi, attēlu apstrāde.
• Ģeoloģija un meteoroloģija — reljefa, krastu līniju un mākoņu modeļu analīze.
• Finanšu modeli — tirgus laika rindas reizēm modelē ar fraktālām vai pašlīdzīgām īpašībām, lai aprakstītu svārstīgumu.

Kāpēc fraktāli ir svarīgi?

Fraktāli palīdz saprast, kā no vienkāršiem noteikumiem var rasties sarežģīta un bagātīga struktūra. Tie savieno matemātiku ar dabu un tehnoloģijām, sniedzot instrumentus gan teorētiskiem pētījumiem, gan praktiskiem risinājumiem.

Ja vēlaties, varu piedāvāt vizuālus piemērus vai īsu pamācību, kā ģenerēt Mandelbrota kopu vai vienkāršu L-sistēmas koku ar populāriem programmēšanas rīkiem.

Piemēri

Ir daudz fraktālu veidu, kas veidoti visdažādākajos veidos. Viens no piemēriem ir Sierpinska trijstūris, kur lielā trijstūra iekšpusē ir bezgalīgs skaits mazo trijstūru. Cits piemērs ir Mandelbrota kopa, kas nosaukta Benuā Mandelbrota vārdā. Sierpinska trijstūri veido, izmantojot modeļus, bet Mandelbrota kopas pamatā ir vienādojums.

Dabā ir arī daudz dabisku fraktālu piemēru, tostarp koki, sniegpārslas, daži dārzeņi un krasta līnijas.

Koha līkne

Koha līkne ir vienkāršs fraktāla piemērs. Vispirms sāciet ar taisnas līnijas daļu, ko sauc par taisnas līnijas posmu. Sagrieziet taisni 3 vienāda izmēra gabalos. Atbrīvojieties no šo gabalu vidusdaļas un ievietojiet augšējo daļu trīsstūra, kura malas ir vienāda garuma ar izgriežamo gabalu. Tagad mums ir 4 taisnes posmi, kuru gali saskaras. Tagad mēs varam darīt to pašu, ko tikko izdarījām ar pirmo segmentu, ar katru no 4 bitiem. Tagad to pašu varam darīt atkal un atkal ar visiem galarezultātā iegūtajiem bitiem. Tagad mēs to darām bezgalīgi un skatāmies, ko esam ieguvuši.

Koha līknes garums ir bezgalība, un Koha līknes laukums ir nulle. Tas ir diezgan dīvaini. Taisnes posma (ar dimensiju 1) garums varētu būt 1, bet laukums 0. Kvadrāta ar garumu 1 un platumu 1 (ar dimensiju 2) laukums būs 1 un garums bezgalība.

Līdzības dimensija

Tātad Koča līkne šķiet lielāka nekā kaut kas ar dimensiju 1 un mazāka nekā kaut kas ar dimensiju 2. Līdzības dimensijas ideja ir dot dimensiju, kas dod labāku priekšstatu par garumu vai laukumu fraktāliem. Tātad Koča līknei vēlamies dimensiju starp 1 un 2.

Koha līkni var sagriezt četrās daļās, no kurām katra ir 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} no oriģināla izmēra. Mēs saucam to gabalu skaitu, kuros var sagriezt fraktālu, par N {\displaystyle N} , un mēs saucam izmēru starpību B {\displaystyle B} . Ievietojam vienādojumā:

log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}}

Kur log {\displaystyle \log } ir skaitļa logaritms. Šis skaitlis ir fraktāla Hausdorfa dimensija. Koha līknē tas ir log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {1}{3}}}}=1,2619... } , kā mēs vēlējāmies.

Koha līkne ir viena no vienkāršākajām fraktālformām, tāpēc tās dimensiju ir viegli noteikt. Tās līdzības dimensija un Hausdorfa dimensija ir vienādas. Tas neattiecas uz sarežģītākiem fraktāliem.

Koch sniegpārsliņa

Koča sniegpārsliņa (jeb Koča zvaigzne) ir tas pats, kas Koča līkne, tikai tā sākas ar vienādmalu trijstūri, nevis ar līnijas posmu.

Kā izveidot Koha līkni

Meklēt pēc burta