Matemātikā funkciju kompozīcija ir veids, kā no divām citām funkcijām izveidot jaunu funkciju.
Definīcija un pieraksts
Ja f ir funkcija no kopas X uz Y (rakstām f : X → Y) un g ir funkcija no Y uz Z (rakstām g : Y → Z), tad kompozīcija g ∘ f ir funkcija no X uz Z. To formāli pieraksta kā g ∘ f : X → Z un vērtību pie punkta x ∈ X apraksta kā
(g ∘ f)(x) = g(f(x)).
Šeit vispirms uz x pielietojam f, iegūstam f(x), pēc tam uz šī rezultāta pielietojam g. Piezīme: simbols ∘ tiek lasīts kā "sastādīts ar" vai "komponēts ar" un forma g ∘ f var šķist pret intuitīvu secību (vispirms f, pēc tam g), taču tā ir standarta notācija.
Nosacījumi, kad kompozīcija ir definēta
Kompozīcija g ∘ f ir definēta tikai tad, ja attēls (vai kodomēns) funkcijai f ir saderīgs ar funkcijas g domēnu. Īsāk sakot, ja f(X) ⊆ Dom(g). Ja tas nav izpildīts, tad dažiem x vērtības g(f(x)) nebūs definētas.
Īpašības
- Asociatīvums: kompozīcija ir asociatīva: ja f : X→Y, g : Y→Z, h : Z→W, tad h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. Tas nozīmē, ka secība, kā mēs grupējam kompozīcijas, nemaina gala funkciju.
- Identitāte: katrai kopai X atbilst identitātes funkcija id_X : X → X, kurai id_X(x) = x visiem x. Tiek turēts: f ∘ id_X = id_Y ∘ f = f.
- Inverzes funkcija: ja f : X → Y ir bijektīva (gan injektīva, gan surjektīva), pastāv unikāla inversa funkcija f^{-1} : Y → X, un f^{-1} ∘ f = id_X, f ∘ f^{-1} = id_Y.
- Nekomutatīvums: kompozīcija parasti nav komutativa: g ∘ f parasti ≠ f ∘ g. Lai abas būtu vienādas, jāizpilda īpaši nosacījumi.
Praktiskie aspekti par domēnu un attēlu
Pat ja f un g individuāli ir definētas uz visām reālām skaitļu vērtībām, to kompozīcijas domēns var būt ierobežotāks. Piemēram, ja g satur sakni vai dalījumu, jāpārliecinās, ka f(x) neizraisīs nedefinētību (negatīvu argumentu kvadrātsaknei, nulli dalāmajā utt.). Vienmēr jānosaka Dom(g ∘ f) = { x ∈ Dom(f) | f(x) ∈ Dom(g) }.
Piemēri
Šeit ir vēl viens piemērs. Lai f ir funkcija, kas divkāršo skaitli (reizina to ar 2), un g ir funkcija, kas atņem 1 no skaitļa.
Tos varētu rakstīt šādi:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g, kas sastāv no f, būtu funkcija, kas divkāršo skaitli un pēc tam no tā atņem 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f, kas sastāv no g, būtu funkcija, kas no skaitļa atņem 1 un tad to dubulto:
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) = 2x - 2.
Šajā piemērā skaidri redzams, ka g ∘ f ≠ f ∘ g (jo 2x − 1 ≠ 2x − 2 visiem x), tātad kompozīcija nav komutatīva.
Papildu piemēri un pielietojums
- Ja f(x) = x^2 un g(x) = √x ar domēnu reālajiem nenegatīvajiem skaitļiem, tad g ∘ f dod atpakaļ |x|, jo √(x^2) = |x|, bet f ∘ g dod x uzs D domēna ierobežojuma dēļ.
- Funkciju kompozīcija ir fundamentāla daudziem jomas: analizē, kaskādes pārveidojumi datorgrafikā, signālu apstrādē, funkciju iterācijā dinamiskajās sistēmās u.c.
Kopsavilkums
Funkciju kompozīcija g ∘ f nozīmē "vispirms pielieto f, tad g" un ir definēta tikai tad, ja rezultāti no f atbilst g domēnam. Tā ir asociatīva, tai ir identitātes elements, bet tā nav obligāti komutatīva. Saprašana par domēnu un attēlu ir svarīga, lai izvairītos no nedefinētām izteiksmēm.
