Funkciju kompozīcija matemātikā: definīcija, pieraksts un piemēri
Funkciju kompozīcija matemātikā — skaidra definīcija, pieraksts un saprotami piemēri. Uzzini, kā g∘f darbojas un risini piemērus soli pa solim.
Matemātikā funkciju kompozīcija ir veids, kā no divām citām funkcijām izveidot jaunu funkciju.
Definīcija un pieraksts
Ja f ir funkcija no kopas X uz Y (rakstām f : X → Y) un g ir funkcija no Y uz Z (rakstām g : Y → Z), tad kompozīcija g ∘ f ir funkcija no X uz Z. To formāli pieraksta kā g ∘ f : X → Z un vērtību pie punkta x ∈ X apraksta kā
(g ∘ f)(x) = g(f(x)).
Šeit vispirms uz x pielietojam f, iegūstam f(x), pēc tam uz šī rezultāta pielietojam g. Piezīme: simbols ∘ tiek lasīts kā "sastādīts ar" vai "komponēts ar" un forma g ∘ f var šķist pret intuitīvu secību (vispirms f, pēc tam g), taču tā ir standarta notācija.
Nosacījumi, kad kompozīcija ir definēta
Kompozīcija g ∘ f ir definēta tikai tad, ja attēls (vai kodomēns) funkcijai f ir saderīgs ar funkcijas g domēnu. Īsāk sakot, ja f(X) ⊆ Dom(g). Ja tas nav izpildīts, tad dažiem x vērtības g(f(x)) nebūs definētas.
Īpašības
- Asociatīvums: kompozīcija ir asociatīva: ja f : X→Y, g : Y→Z, h : Z→W, tad h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f. Tas nozīmē, ka secība, kā mēs grupējam kompozīcijas, nemaina gala funkciju.
- Identitāte: katrai kopai X atbilst identitātes funkcija id_X : X → X, kurai id_X(x) = x visiem x. Tiek turēts: f ∘ id_X = id_Y ∘ f = f.
- Inverzes funkcija: ja f : X → Y ir bijektīva (gan injektīva, gan surjektīva), pastāv unikāla inversa funkcija f^{-1} : Y → X, un f^{-1} ∘ f = id_X, f ∘ f^{-1} = id_Y.
- Nekomutatīvums: kompozīcija parasti nav komutativa: g ∘ f parasti ≠ f ∘ g. Lai abas būtu vienādas, jāizpilda īpaši nosacījumi.
Praktiskie aspekti par domēnu un attēlu
Pat ja f un g individuāli ir definētas uz visām reālām skaitļu vērtībām, to kompozīcijas domēns var būt ierobežotāks. Piemēram, ja g satur sakni vai dalījumu, jāpārliecinās, ka f(x) neizraisīs nedefinētību (negatīvu argumentu kvadrātsaknei, nulli dalāmajā utt.). Vienmēr jānosaka Dom(g ∘ f) = { x ∈ Dom(f) | f(x) ∈ Dom(g) }.
Piemēri
Šeit ir vēl viens piemērs. Lai f ir funkcija, kas divkāršo skaitli (reizina to ar 2), un g ir funkcija, kas atņem 1 no skaitļa.
Tos varētu rakstīt šādi:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g, kas sastāv no f, būtu funkcija, kas divkāršo skaitli un pēc tam no tā atņem 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f, kas sastāv no g, būtu funkcija, kas no skaitļa atņem 1 un tad to dubulto:
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) = 2x - 2.
Šajā piemērā skaidri redzams, ka g ∘ f ≠ f ∘ g (jo 2x − 1 ≠ 2x − 2 visiem x), tātad kompozīcija nav komutatīva.
Papildu piemēri un pielietojums
- Ja f(x) = x^2 un g(x) = √x ar domēnu reālajiem nenegatīvajiem skaitļiem, tad g ∘ f dod atpakaļ |x|, jo √(x^2) = |x|, bet f ∘ g dod x uzs D domēna ierobežojuma dēļ.
- Funkciju kompozīcija ir fundamentāla daudziem jomas: analizē, kaskādes pārveidojumi datorgrafikā, signālu apstrādē, funkciju iterācijā dinamiskajās sistēmās u.c.
Kopsavilkums
Funkciju kompozīcija g ∘ f nozīmē "vispirms pielieto f, tad g" un ir definēta tikai tad, ja rezultāti no f atbilst g domēnam. Tā ir asociatīva, tai ir identitātes elements, bet tā nav obligāti komutatīva. Saprašana par domēnu un attēlu ir svarīga, lai izvairītos no nedefinētām izteiksmēm.
Īpašības
Var pierādīt, ka funkciju kompozīcija ir asociatīva, kas nozīmē:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Tomēr funkciju kompozīcija parasti nav komutatīva, kas nozīmē:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
To var redzēt pirmajā piemērā, kur (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 un (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir funkciju sastāvs?
A: Funkciju kompozīcija ir veids, kā no divām citām funkcijām izveidot jaunu funkciju, izmantojot ķēdes veida procesu.
J: Kā tiek rakstīta g vērtība, kas sastāv no f?
A: Vērtību g, kas sastāv no f, raksta kā (g ∘ f)(x) un definē kā g(f(x)).
J: Kādi ir daži funkciju piemēri?
A: Piemērs varētu būt funkcija, kas divkāršo skaitli (reizina to ar 2), un funkcija, kas atņem 1 no skaitļa.
J: Kāds būtu g piemērs, kas sastāv no f?
A: Piemērs g, kas sastāv no f, varētu būt funkcija, kas divkāršo skaitli un pēc tam no tā atņem 1. Tas ir (g ∘ f)(x)=2x-1.
J: Kāds būtu f piemērs, kas sastāv no g?
A: Ar g sastādītas f piemērs būtu funkcija, kas no skaitļa atņem 1 un pēc tam to dubulto; tas ir (f ∘ g)(x)=2(x-1).
J: Vai kompozīciju var attiecināt arī uz binārajām attiecībām?
A: Jā, kompozīciju var attiecināt arī uz binārajām attiecībām, kur to dažkārt attēlo ar vienu un to pašu simbolu (kā R ∘ S).
Meklēt