Gamma funkcija — definīcija un faktoriālais paplašinājums kompleksiem skaitļiem

Matemātikā gamma funkcija (Γ(z)) ir faktoriālās funkcijas paplašinājums visiem kompleksajiem skaitļiem, izņemot veselos negatīvos skaitļus. Pozitīviem veseliem skaitļiem tā ir definēta kā Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

Gamma funkcija ir definēta visiem kompleksajiem skaitļiem. Bet tā nav definēta veseliem negatīviem skaitļiem un nullei. Kompleksajam skaitlim, kura reālā daļa nav negatīvs vesels skaitlis, funkciju definē:

Definīcija (Eilera integrālais formulējums) — ja Re(z) > 0, tad

Γ(z) = ∫₀^∞ t^z−1 e^−t dt.

Analītiskā paplašināšana un rekurences attiecība

Integralālais formulējums dod Γ(z) kā holomorfu funkciju pusplānā Re(z) > 0. Lai paplašinātu uz visu komplekso plakni (izņemot negatīvos veselus), izmanto rekurences formulu:

Γ(z+1) = z Γ(z).

Ar šo vienādojumu un integrālo definīciju gamma funkcija tiek analītiski paplašināta visiem z ∈ C, izņemot z = 0, −1, −2, ... — šajās vietās Γ(z) ir polusi.

Polusi un rezidūjas

Gamma funkcijai ir vienkārši polusi negatīvajos veselajos punktos z = 0, −1, −2, ... . Rezidūjas šajos polos doti ar formulu:

Res(Γ, z = −n) = (−1)ⁿ / n! , kur n = 0, 1, 2, ... .

Galvenās identitātes un formulu kopa

Rekurrence: Γ(z+1) = z Γ(z).
Reflekcijas formula (Eulera refleksija): Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z). Šī formula savieno vērtības pāros, kas summējas līdz 1, un ļauj izteikt Γ(z) pie negatīvām reālajām daļām.
Eilera produkta attēlojums: Γ(z) = lim_n→∞ n! n^z−1 / (z (z+1) ... (z+n)).
Vajadzinājuma (Weierstrass) produkts: 1/Γ(z) = z e^{γ z} ∏_n=1^∞ (1 + z/n) e^−z/n, kur γ ir Ēlera–Mascheroni konstante.
Beta funkcija: B(x,y) = ∫₀¹ t^x−1 (1−t)^y−1 dt = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y) (Re(x), Re(y) > 0).
Stīrlinga aproksimācija: Γ(z+a) ~ √(2π) z^z+a−1/2 e^−z (1 + O(1/z)) kā |z|→∞ šaurā sektorā izņemot negatīvo reālo asi; īpaši, Γ(z+1) ~ √(2π z)) (z/e)^z.

Vērtības un piemēri

Vērtība pie pozitīviem veseliem: Γ(n) = (n−1)! (piem., Γ(1)=1, Γ(2)=1, Γ(3)=2, utt.).
Vērtība pie pusveselajiem argumentiem: Γ(1/2) = √π, un kopumā Γ(n + 1/2) var izteikt ar kvadrātiskajām saknēm un faktoriāliem:
Γ(1/2+n) = ( (2n)! / (4^n n!) ) √π / (2n)!! — biežāk lieto rekurenci: Γ(z+1) = z Γ(z).
Gamma funkcijai nav nulles; 1/Γ(z) ir visuāla (entīra) funkcija ar nullēm tieši vietās z = 0, −1, −2, ... .

Unikalitāte un īpašības

Bohr–Mollerup teorema nodrošina unikālu raksturojumu: ja f(x) ir pozitīva funkcija uz (0,∞), kas apmierina f(1)=1, f(x+1)=x f(x) un ir logaritmiski konveksa (log-convex), tad f(x)=Γ(x). Tātad gamma funkcija ir vienīgais „dabiskā” paplašinājuma variants faktoriālam ar minētajām īpašībām.

Praktiskās lietojuma jomas

Gamma funkcija ir būtiska daudzās matemātikas un lietišķajās disciplīnās:

Statistika un varbūtības teorija: definē gamma sadalījumu, beta sadalījumu, un citus nepārtrauktos sadalījumus;
Matemātiskā fizikā: integrālu aprēķinos, regulārizācijā un specalizētās funkcijās (piem., Bessel funkcijās);
Kombinatorikā un analīzē: ģenerēšana faktoriālu izteikšanai frakcijveida argumentiem;
Komplekso funkciju teorijā: analītiskā paplašināšana un polu uzvedība.

Savienība ar citiem jēdzieniem un formulām

Daudzas sarežģītākas identitātes un funkcijas (piem., digamma ψ(z) = d/dz ln Γ(z), poligamma funkcijas, Hurvica zeta funkcija u.c.) iegūst definīciju un īpašības caur gamma funkciju. Numeriskos aprēķinos bieži izmanto īpašas bibliotekas, jo tie nodrošina precīzu vērtību aprēķinus arī kompleksiem argumentiem.

Kopsavilkums

Gamma funkcija ir galvenais paplašinājums faktoriālam uz reāliem un kompleksiem skaitļiem, definēta ar Eilera integrālo formulējumu Re(z) > 0 un analītiski paplašināta visā kompleksajā plaknē, izņemot negatīvos veselus. Tai piemīt bagāta formulu un īpašību kopa — rekurence, refleksija, produkta attēlojumi un saikne ar beta funkciju — kas padara to neaizvietojamu daudzās teorētiskās un pielietotajās jomās.

Gamma funkcija gar reālās ass daļu

Īpašības

Īpašas vērtības

Dažas konkrētas gamma funkcijas vērtības ir šādas:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1,32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3,32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={{\tfrac {4}{3}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{{\skvrt {\pi}}&\aprox -3,544907701811\\\Gamma (1/2)&={{\skvrt {\pi}}&\aprox 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\Gamma (5/2)&={{\tfrac {3}{4}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 1,32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\Gamma (7/2)&={{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\{end{array}}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Pi funkcija

Gauss ieviesa Pi funkciju. Tas ir cits veids, kā apzīmēt gamma funkciju. Izmantojot gamma funkciju, Pi funkcija ir šāda.

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {{d}}t}{t}},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

lai

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

katram nenegatīvam veselam skaitlim n.

Pieteikumi

Analītiskā skaitļu teorija

Gama funkciju izmanto, lai pētītu Rīmana zetas funkciju. Rīmana zetas funkcijas īpašība ir tās funkcionālais vienādojums:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhards Rīmans atrada sakarību starp šīm divām funkcijām. Tas bija 1859. gada darbā "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Par pirmskaitļu skaitu, kas mazāks par doto daudzumu").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{{\infty }{\frac {t^{z}}}{e^{t}-1}}}\;{\frac {dt}{t}}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir gamma funkcija matemātikā?

A: Gamma funkcija ir galvenais temats speciālo funkciju jomā matemātikā.

J: Kāds ir faktoriālās funkcijas paplašinājums uz visiem kompleksajiem skaitļiem, izņemot negatīvos veselos skaitļus?

A: Gamma funkcija ir faktoriālās funkcijas paplašinājums uz visiem kompleksajiem skaitļiem, izņemot negatīvos veselos skaitļus.

J: Kā gamma funkcija ir definēta veseliem pozitīviem skaitļiem?

A: Pozitīviem veseliem skaitļiem gamma funkciju definē kā Γ(n) = (n-1)!.

Vai gamma funkcija ir definēta visiem kompleksajiem skaitļiem?

A: Jā, gamma funkcija ir definēta visiem kompleksajiem skaitļiem.

Vai gamma funkcija ir definēta negatīviem veseliem skaitļiem un nullei?

A: Nē, gamma funkcija nav definēta negatīviem veseliem skaitļiem un nullei.

J: Kā gamma funkcija ir definēta kompleksam skaitlim, kura reālā daļa nav negatīvs vesels skaitlis?

A: Gamma funkciju kompleksajam skaitlim, kura reālā daļa nav negatīvs vesels skaitlis, definē ar īpašu formulu, kas tekstā nav dota.

J: Kāpēc gamma funkcija ir svarīga matemātikā?

A: Gamma funkcija ir svarīga matemātikā, jo tā ir galvenais temats speciālo funkciju jomā un paplašina faktoriālo funkciju uz visiem kompleksajiem skaitļiem, izņemot negatīvos veselos skaitļus.