Gēdela numerācija
Formālajā skaitļu teorijā Gēdela numerācija ir funkcija, kas katram kādas formālās valodas simbolam un formulai piešķir unikālu dabisko skaitli, ko sauc par Gēdela skaitli (GN). Šo jēdzienu pirmo reizi izmantoja Kurts Gēdelis, lai pierādītu savu nepilnības teorēmu.
Gēdela numerāciju var interpretēt kā kodējumu, kurā katram matemātiskās notācijas simbolam tiek piešķirts skaitlis, un tad naturālo skaitļu plūsma var reprezentēt kādu formu vai funkciju. Pēc tam aprēķināmo funkciju kopas numerāciju var attēlot ar Gēdela skaitļu plūsmu (ko sauc arī par efektīvajiem skaitļiem). Rodžersa ekvivalences teorēma nosaka kritērijus, pēc kuriem aprēķināmo funkciju kopas numerācijas ir Gēdela numerācijas.
Definīcija
Ņemot vērā saskaitāmu kopu S, Gēdela numerācija ir injektīvā funkcija.
f : S → N {\displaystyle f:S\to \mathbb {N} } 
gan ar f, gan ar f - 1{\displaystyle f^{-1}} 
(f apgrieztā vērtība) ir aprēķināmas funkcijas.
Piemēri
Bāzes notācija un virknes
Viena no vienkāršākajām Gēdela numerācijas shēmām tiek izmantota katru dienu: Atbilstība starp veseliem skaitļiem un to attēlojumiem kā simbolu virknēm. Piemēram, secību 2 3 pēc noteikta noteikumu kopuma saprot kā skaitli divdesmit trīs. Līdzīgi simbolu virknes no kāda N simbolu alfabēta var kodēt, identificējot katru simbolu ar skaitli no 0 līdz N un nolasot virkni kā veselā skaitļa N+1 bāzes N+1 atveidojumu.
Jautājumi un atbildes
J: Kas ir Gēdela skaitlis?
A: Gēdela numerācija ir funkcija, kas katram formālās valodas simbolam un formulai piešķir unikālu dabisko skaitli, ko sauc par Gēdela skaitli (GN).
J: Kas pirmais izmantoja Gēdela numerācijas jēdzienu?
A: Kurts Gēdelis pirmais izmantoja Gēdela numerācijas koncepciju, lai pierādītu savu nepilnības teorēmu.
J: Kā mēs varam interpretēt Gēdela numerāciju?
A: Mēs varam interpretēt Gēdela numerāciju kā kodējumu, kurā katram matemātiskās notācijas simbolam ir piešķirts skaitlis, un dabisko skaitļu plūsma var pārstāvēt kādu formu vai funkciju.
J: Kā mēs saucam dabiskos skaitļus, kas piešķirti ar Gēdela numerāciju?
A: Dabiskos skaitļus, kas piešķirti ar Gēdela numerāciju, sauc par Gēdela skaitļiem vai efektīvajiem skaitļiem.
J: Ko nosaka Rodžersa ekvivalences teorēma?
A: Rodžersa ekvivalences teorēma nosaka kritērijus, pēc kuriem aprēķināmo funkciju kopas numerācijas ir Gēdela numerācijas.
J: Ko attēlo Gēdela skaitļu plūsma?
A: Aprēķināmo funkciju kopas numerāciju var attēlot ar Gēdela skaitļu plūsmu.
J: Kāpēc Gēdela numerācija ir svarīga formālajā skaitļu teorijā?
O: Gēdela numerācija ir svarīga formālajā skaitļu teorijā, jo tā nodrošina veidu, kā matemātiskās formulas un funkcijas attēlot kā naturālos skaitļus, kas ļauj pierādīt tādas svarīgas teorēmas kā nepilnības teorēmu.
