Eilesera identitāte

Šis vienādojums ir Eilesera identitāte, ko dažkārt dēvē par Eilesera vienādojumu:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Ēlera skaitlis

e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , iedomātā vienība

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Eilesera identitāte ir nosaukta Šveices matemātiķa Leonarda Eilesera vārdā. Nav skaidrs, vai viņš pats to izgudroja.

Physics World aptaujā respondenti šo identitāti nosauca par "visdziļāko matemātisko apgalvojumu, kāds jebkad rakstīts", "brīnumainu un cildenu", "kosmiska skaistuma pilnu" un "prāta pārpilnu".

Eilesera identitātes matemātisks pierādījums, izmantojot Teilora virknes

Daudzus vienādojumus var uzrakstīt kā virkni kopā saskaitītu locekļu. To sauc par Teilora rindu

Eksponenciālo funkciju e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ var pierakstīt kā Teilora rindu.

e x = 1 + x + x 2 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Arī sinusu var rakstīt kā

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7}} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \pār (2n+1)!}{x^{2n+1}}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

un Cosine kā

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \pār 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{{\infty }{(-1)^{n} \pār (2n)!}{x^{2n}}}}. $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Šeit mēs redzam, kā veidojas modelis. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ šķiet, ka tā ir sinusa un kosinusa Teilora rindu summa, tikai ar visām zīmēm, kas mainītas uz pozitīvām. Identitāte, ko mēs faktiski pierādām, ir e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ } .

Tātad kreisajā pusē ir e i x {\displaystyle e^{ix}}. $e^{ix}$ , kura Teilora rinda ir 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Mēs šeit varam redzēt likumsakarību, ka katrs otrais loceklis ir i reizes sinusa locekļi un ka pārējie locekļi ir kosīna locekļi.

Labajā pusē ir cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}. $\cos(x)+i\sin(x)$ , kuras Teilora rinda ir kosinusa Teilora rinda plus i reizes sinusa Teilora rinda, ko var parādīt šādi:

( 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots)} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

ja tos saskaitām kopā, iegūstam

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Tāpēc:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Tagad, ja x aizstājam ar π {\displaystyle \pi } $\pi$ , iegūstam..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi ) } $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Tad mēs zinām, ka

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Tāpēc:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Jautājumi un atbildes

J: Kas ir Eioleras identitāte?

A: Eilesera identitāte, dažkārt saukta par Eilesera vienādojumu, ir vienādojums, kurā ir matemātiskās konstantes pi, Eilesera skaitlis un iedomātā vienība, kā arī trīs matemātiskās pamatdarbības (saskaitīšana, reizināšana un eksponentizācija). Vienādojums ir e^(i*pi) + 1 = 0.

J: Kas bija Leonards Eiļers?

A: Leonards Eulers bija šveiciešu matemātiķis, kura vārdā ir nosaukta šī identitāte. Nav skaidrs, vai viņš pats to izgudroja.

J: Kādas ir dažas reakcijas uz Eilesera identitāti?

A.: Aptaujā, kas tika veikta Physics World, respondenti identitāti nosauca par "dziļāko matemātisko apgalvojumu, kāds jebkad rakstīts", "brīnumainu un cildenu", "piepildītu ar kosmisku skaistumu" un "satriecošu".

J: Kādas konstantes ir iekļautas šajā vienādojumā?

A: Šajā vienādojumā ir šādas konstantes: "pi" (aptuveni 3,14159), Eilesera skaitlis (aptuveni 2,71828) un iedomātā vienība (vienāda ar -1).

J: Kādas ir dažas no šajā vienādojumā ietvertajām darbībām?

A: Šajā vienādojumā ir šādas darbības: saskaitīšana, reizināšana un eksponentizācija.

J: Kā mēs varam matemātiski izteikt pi?

A: Pi var izteikt matemātiski kā π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159}.

J: Kā mēs varam matemātiski izteikt Ēlera skaitli? A:Eilesera skaitli matemātiski var izteikt kā e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828}.