Teilora rinda

Vēsture

Senās Grieķijas filozofs Zenons no Elejas pirmais nāca klajā ar šīs sērijas ideju. Tā rezultātā radās paradokss, ko sauc par "Zenona parodoksālo". Viņš uzskatīja, ka nav iespējams saskaitīt bezgalīgu vērtību skaitu un kā rezultātu iegūt vienu galīgo vērtību.

Cits grieķu filozofs, Aristotelis, sniedza atbildi uz šo filozofisko jautājumu. Taču matemātisku risinājumu piedāvāja Arhimeds, izmantojot savu izsmelšanas metodi. Viņš spēja pierādīt, ka, ja kaut kas ir sadalīts bezgalīgi daudzos sīkos gabaliņos, tad, tos visus saskaitot kopā, vienalga veidojas vienots veselums. To pašu vairākus simtus gadu vēlāk pierādīja senais ķīniešu matemātiķis Liu Hui.

Agrākie zināmie Teilora sērijas piemēri ir Mādhavas no Saņgamāgramas Indijā 1300. gados. Vēlākie indiešu matemātiķi rakstīja par viņa darbu ar trigonometrisko funkciju sinusa, kosīna, tangensa un arktangensa funkcijām. Mūsdienās nav saglabājies neviens no Mādhavas rakstiem vai ierakstiem. Citi matemātiķi balstījās uz Mādhavas atklājumiem un turpināja strādāt ar šīm virknēm līdz pat 1500. gadam.

1600. gados šajā jomā strādāja skotu matemātiķis Džeimss Gregorijs. Gregorijs pētīja Teilora sērijas un publicēja vairākas Maklērina sērijas. 1715. gadā Brūks Teilors atklāja vispārīgu metodi, kā virknes piemērot visām funkcijām. (Visi iepriekšējie pētījumi parādīja, kā šo metodi piemērot tikai konkrētām funkcijām.) Kolins Maklaurins 1700. gados publicēja īpašu Teilora rindu gadījumu. Šo rindu, kuras pamatā ir ap nulli, sauc par Maklērina rindu.

Definīcija

Teilora rindu var izmantot, lai aprakstītu jebkuru funkciju ƒ(x), kas ir gluda funkcija (jeb, matemātiski izsakoties, "bezgalīgi diferencējama").Funkcija ƒ var būt reāla vai kompleksa. Tad Teilora rindu izmanto, lai aprakstītu, kā šī funkcija izskatās kāda skaitļa a apkārtnē.

Šī Teilora sērija, kas rakstīta kā jaudas sērija, izskatās šādi:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Šo formulu var rakstīt arī sigma izteiksmē kā:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}}

Šeit n! ir n faktoriāls. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) ir ƒ n-tais atvasinājums punktā a. a {\displaystyle a} ir skaitlis funkcijas apgabalā. Ja funkcijas Teilora rinda ir vienāda ar šo funkciju, tad funkciju sauc par "analītisko funkciju".

Maclaurin sērija

Kad a = 0 {\displaystyle a=0} funkciju sauc par Maklaurina rindu. Maklērina rinda, kas rakstīta kā jaudas rinda, izskatās šādi:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Maklaurina virkne, rakstot sigma formā, ir:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}}

Kopējā Teilora sērija

Dažas svarīgas Teilora un Maklērina sērijas ir šādas.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ visiem x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{{\infty }{\frac {(-1)^{n}}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ visiem}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ visiem x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ visiem}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 visiem x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{teksts{ visiem}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n visiem x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ visiem }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ visiem x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ visiem}x\! }

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ visiem | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}=\sum _{n=0}}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ visiem }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n visiem | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ visiem }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{{\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {2x^{5}}}{15}}}++\cdots {\teksts {\text{ for }}}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Kur B n {\displaystyle B_{n}} ir n-tais Bernuļa skaitlis, bet ln {\displaystyle \ln } ir naturālais logaritms.