Ņemot divus skaitļus — lielāko a un mazāko b — to attiecību iegūst, tos dalot: a/b. Citu attiecību var veidot, saskaitot abus skaitļus a+b un dalot ar lielāko skaitli a: (a+b)/a. Ja abas attiecības ir vienādas, tad šī kopīgā vērtība tiek dēvēta par zelta attiecību. Grieķu burts φ {\displaystyle \varphi } 
(phi) parasti apzīmē šo skaitli.
Definīcija un vienādojums
Ja a/b = φ {\displaystyle \varphi } , tad a = φ·b, un otrā attiecība kļūst par (φ+1)/φ. Līdzsvarojot attiecības, iegūst vienādojumu
φ^{2} = φ + 1
Šis kvadrātvienādojums dod slēgtu formulu zelta attiecībai:
φ = {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}
Skaitliskā vērtība
Zelta attiecības decimālā seka sākas ar 1,6180339887... (neperiodiska, nebeidzama). Tas ir iracionāls skaitlis, jo to nevar izteikt kā divu veselu skaitļu attiecību. Tā kā φ apmierina x^2 − x − 1 = 0, tas ir kvadrātirracionāls (algebrisks pakāpes 2 skaitlis).
Dažas elementāras īpašības
- Kvadrātvienādojums: φ^2 = φ + 1.
- Atgriezeniskums: 1/φ = φ − 1. Tas izriet tieši no vienādojuma φ^2 = φ +1.
- Konjugāts: otrs sakne x^2 − x −1 =0 ir (1−√5)/2 ≈ −0,6180339887… (bieži apzīmēta ar φ' vai ψ).
- Pieraksts kā virknes turpinājums: φ = [1; 1, 1, 1, …], t.i., nepārtraukts vienkāršs lūzums ar visiem 1.
- Reizināšanas īpašības: φ^n = F_n·φ + F_{n−1}, kur F_n ir n-tā Fibonači skaitļa vērtība.
Sakarības ar Fibonači virkni
Fibonači skaitļu rindā katrs nākamais ir divu iepriekšējo summa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Attiecības starp blakus esošiem Fibonači skaitļiem (F_{n+1}/F_n) konverģē uz φ, jo lielākiem n tās arvien vairāk tuvojas zelta attiecībai.
Ģeometrijā un kultūrā
Zelta attiecība parādās daudzviet ģeometrijā un vizuālajās proporcijās:
- zelta taisnstūris (blakus malas attiecība φ) — ja no zelta taisnstūra tiek norezervēts kvadrāts, atlikušais taisnstūris ir līdzīgs sākotnējam (ar proporciju φ),
- regulārais piecstūris un pentagrams satur proporcijas, kas ir saistītas ar φ,
- zvēru spirāles un aproximācijas ar logaritmisko spirāli (zelta spirāle),
- mākslā un arhitektūrā bieži minēta kā estētiski patīkama proporcija (piemēram, renesanses kompozīcijās), taču tās nozīme estētikā nav viennozīmīgi pierādīta — tā biežāk ir vadlīnija nekā stingrs likums.
Piemērs skaitļos
Piemēram, ja b = 1 un a/b = φ {\displaystyle \varphi } , tad a = φ. Otrā attiecība (a+b)/a ir (φ+1)/φ, kas saskaņā ar vienādojumu dod atpakaļ φ, jo φ^2 = φ + 1.
Šeit arī neliels skaidrojums par sakarību ar kvadrātsakni: {\sqrt {5}}
nozīmē tādu skaitli, kuru reizinot ar sevi, iegūst 5: {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5
.
Kopsavilkums
- Zelta attiecība φ ir konkrēts algebrisks skaitlis, kas apmierina φ^2 = φ + 1 un kura vērtība ir φ = (1+√5)/2 ≈ 1,6180339887….
- Tā ir iracionāla un parādās gan matemātiskās strukturās (Fibonači virkne, regulārie piecstūri), gan dabā un mākslā kā bieži pieminēta proporcija.
