Zelta attiecība (φ): definīcija, formula un īpašības

Zelta attiecība (φ): definīcija, formula un īpašības — uzzini, kā aprēķināt φ, tā saistību ar Fibonači virkni, piemērus matemātikā, mākslā un dabā.

Ņemot divus skaitļus — lielāko a un mazāko b — to attiecību iegūst, tos dalot: a/b. Citu attiecību var veidot, saskaitot abus skaitļus a+b un dalot ar lielāko skaitli a: (a+b)/a. Ja abas attiecības ir vienādas, tad šī kopīgā vērtība tiek dēvēta par zelta attiecību. Grieķu burts φ {\displaystyle \varphi } (phi) parasti apzīmē šo skaitli.

Definīcija un vienādojums

Ja a/b = φ {\displaystyle \varphi } , tad a = φ·b, un otrā attiecība kļūst par (φ+1)/φ. Līdzsvarojot attiecības, iegūst vienādojumu

φ^{2} = φ + 1

Šis kvadrātvienādojums dod slēgtu formulu zelta attiecībai:

φ = {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

Skaitliskā vērtība

Zelta attiecības decimālā seka sākas ar 1,6180339887... (neperiodiska, nebeidzama). Tas ir iracionāls skaitlis, jo to nevar izteikt kā divu veselu skaitļu attiecību. Tā kā φ apmierina x^2 − x − 1 = 0, tas ir kvadrātirracionāls (algebrisks pakāpes 2 skaitlis).

Dažas elementāras īpašības

• Kvadrātvienādojums: φ^2 = φ + 1.
• Atgriezeniskums: 1/φ = φ − 1. Tas izriet tieši no vienādojuma φ^2 = φ +1.
• Konjugāts: otrs sakne x^2 − x −1 =0 ir (1−√5)/2 ≈ −0,6180339887… (bieži apzīmēta ar φ' vai ψ).
• Pieraksts kā virknes turpinājums: φ = [1; 1, 1, 1, …], t.i., nepārtraukts vienkāršs lūzums ar visiem 1.
• Reizināšanas īpašības: φ^n = F_n·φ + F_{n−1}, kur F_n ir n-tā Fibonači skaitļa vērtība.

Sakarības ar Fibonači virkni

Fibonači skaitļu rindā katrs nākamais ir divu iepriekšējo summa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Attiecības starp blakus esošiem Fibonači skaitļiem (F_{n+1}/F_n) konverģē uz φ, jo lielākiem n tās arvien vairāk tuvojas zelta attiecībai.

Ģeometrijā un kultūrā

Zelta attiecība parādās daudzviet ģeometrijā un vizuālajās proporcijās:

• zelta taisnstūris (blakus malas attiecība φ) — ja no zelta taisnstūra tiek norezervēts kvadrāts, atlikušais taisnstūris ir līdzīgs sākotnējam (ar proporciju φ),
• regulārais piecstūris un pentagrams satur proporcijas, kas ir saistītas ar φ,
• zvēru spirāles un aproximācijas ar logaritmisko spirāli (zelta spirāle),
• mākslā un arhitektūrā bieži minēta kā estētiski patīkama proporcija (piemēram, renesanses kompozīcijās), taču tās nozīme estētikā nav viennozīmīgi pierādīta — tā biežāk ir vadlīnija nekā stingrs likums.

Piemērs skaitļos

Piemēram, ja b = 1 un a/b = φ {\displaystyle \varphi } , tad a = φ. Otrā attiecība (a+b)/a ir (φ+1)/φ, kas saskaņā ar vienādojumu dod atpakaļ φ, jo φ^2 = φ + 1.

Šeit arī neliels skaidrojums par sakarību ar kvadrātsakni: {\sqrt {5}} nozīmē tādu skaitli, kuru reizinot ar sevi, iegūst 5: {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5.

Kopsavilkums

• Zelta attiecība φ ir konkrēts algebrisks skaitlis, kas apmierina φ^2 = φ + 1 un kura vērtība ir φ = (1+√5)/2 ≈ 1,6180339887….
• Tā ir iracionāla un parādās gan matemātiskās strukturās (Fibonači virkne, regulārie piecstūri), gan dabā un mākslā kā bieži pieminēta proporcija.

Zelta attiecība dabā

Dabā zelta vidusdaļu bieži izmanto lapu vai ziedu sakārtojumā. Tajos izmanto zelta leņķi, kas ir aptuveni 137,5 grādi. Šādā leņķī sakārtotas lapas vai ziedi vislabāk izmanto saules gaismu.

Izmantojot zelta leņķi, optimāli izmantosiet saules gaismu. Šis ir skats no augšas.


Parastā efejas lapa, uz kuras redzams zelta griezums

Jautājumi un atbildes

J: Kāda ir divu skaitļu attiecība?

J: Kā var atrast citu attiecību?

J: Kā sauc gadījumu, kad šīs divas attiecības ir vienādas?

J: Ja b = 1 un a/b = צ , ko tas nozīmē attiecībā uz a?

J: Kā šo skaitli var pierakstīt?

J: Ko nozīmē, ja no tā atņem 1 vai dala 1 ar to?

J: Vai zelta attiecība ir iracionāls skaitlis?

Meklēt pēc burta